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5.1.2导数的概念及其几何意义 -B提高练
一、选择题
1．（2020·山东泰安高二期中）已知某质点的运动方程为 ，其中s的单位是m，t的单位
是s，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
所以该质点在 末的瞬时速度为 .
2．（2020·全国高二课时练）函数 在 处的导数 的几何意义是（ ）
A．在点 处与 的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点 的切线的斜率
C．点 与点 的连线的斜率
D．函数 的图象在点 处的切线的斜率
【答案】D
【详解】 的几何意义是函数 的图象在点 处的切线的斜率．
3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若k 的极限为－2，则在
PQ
点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
【答案】B
【详解】由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
4．（2020·全国高二课时练）函数 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图所示， 是函数 的图象在 （即点A）处切线的斜率 ， 是函数
的图象在 （即点B）处切线的斜率 ， 是割线 的
斜率．
由图象知, ，即 ．
5．（多选题）（2020·福建三明高二期中）某物体的运动方程为 （位移单位：m，时间单
位：s），若 ，则下列说法中错误的是（ ）
A． 是物体从开始到 这段时间内的平均速度
B． 是物体从 到 这段时间内的速度C． 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D． 是物体从 到 这段时间内的平均速度
【答案】ABD
【详解】 是物体在 这一时刻的瞬时速度.故C正确.
6. （多选题）（2021·全国高二课时练）以下论断错误的是（ ）
A.若直线 与曲线 有且只有一个公共点，则直线 一定是曲线 的切线；
B.若直线 与曲线 相切于点 ，且直线 与曲线 除点 外再没有
其他的公共点，则在点 附近，直线 不可能穿过曲线 ；
C.若 不存在，则曲线 在点 处就没有切线；
D.若曲线 在点 处有切线，则 必存在.
【答案】ABC
【详解】对于A中，根据函数在点 处的切线定义：在曲线的某点 附近取点 ，并使 沿曲线
不断接近 ，这样直线 的极限位置就是曲线在点 的切线. 直线 与曲线
有且只有一个公共点，但直线 不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点
不一定只有一个，例 是正弦曲线 的切线，但切线 与曲线 有无数多个
公共点，所以不正确；
对于B中，根据导数的定义：（1）导数： ，
（2）左导数： ，（3）右导数： ，
函数 在点 处可导当且仅当函数 在点 处的左导数和右导数都存在，且相等.
例如三次函数 在 处的切线 ，所以不正确；对于C中，切线与导数的关系：（1）
函数 在 处可导，则函数 在 处切线一定存在，切线方程为
（2）函数 在 处不可导，函数 在 处切线可能存
在，可能不存在，所以不正确；对于D中，根据导数的几何意义，可得曲线 在点
处有切线，则 必存在，所以是正确的.
二、填空题
7．已知函数f (x)在x＝x 处可导，若lim ＝1，则f ′(x)＝_______.
0 0
【答案】
【详解】∵lim ＝1∴lim ＝，即f (x)＝lim ＝.
0
8．（2020·全国高二课时练）设 ，则曲线 在点
处的切线的倾斜角是_______.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，则曲线
在点 处的切线斜率为 ，故所求切线的倾斜角为 .
9．（2020·陕西宝鸡高二月考）若抛物线 与直线 相切，则_________．
【答案】
【详解】设切点为 ，则 ，
所以 ．当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，将 代入直线 ，得 .
10．已知f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
【答案】2;－3
【详解】 ＝＝＝mΔx＋2mx，故f ′(x)＝lim ＝lim (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.所以m＝2.又f (1)＝－
1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.
三、解答题
11.（2020·安徽无为高级中学高二期中）利用导数的定义，求 在 处的导数f
′(1).
【详解】解：
，
∴ ，
∴
.
12．（2020·山东临沂高二周考）服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位:μg/mL）是时间t
（单位：min）的函数 ，假设函数 在 和 处的导数分别为和 ，试解释它们的实际意义．
【详解】 表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5
μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过 1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5
μg/mL． 表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6
μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6
μg/mL．
