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华侨城高级中学 2024 届高三深圳一模适应性考试
数学试题解析版
一．选择题（共8小题）
1．已知向量a=(1,m)，b =(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m=( )
A．−8 B．−6 C．6 D．8
【解答】解：向量a=(1,m)，b =(3,−2)，
∴a+b =(4,m−2)，
又(a+b)⊥b ，
∴12−2(m−2)=0，
解得：m=8，
故选：D．
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β B．若m//n，m//α，n//β，则α//β
C．若m⊥n，m//α，α⊥β，则n⊥β D．若m//n，m⊥α，α⊥β，则n//β
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若m⊥α，n⊥β，设直线m，n的方向向量分别为m,n，则平面α，β对应法向量为m,n，由m⊥n，
即m⊥n，则α⊥β，故A正确；
对于B，若m//n，m//α，n//β，则α与β可能平行或相交，故B错误；
对于C，若m⊥n，m//α，α⊥β，则n⊂β，或n//β，或n与β相交，故C错误；
对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又α⊥β，则n//β或n⊂β，D错误．
故选：A．
3．已知S 为等差数列{a }的前n项和，a +2a +a =24，则S =( )
n n 4 9 20 20
A．60 B．120 C．180 D．240
【解答】解：解法一、设等差数列{a }的首项为a ，公差为d，
n 1
则a +2a +a =(a +3d)+2(a +8d)+(a +19d)=4a +38d =24，
4 9 20 1 1 1 1
所以2a +19d =12，
1
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所以S =20a + ×20×19d =10(2a +19d)=10×12=120．
20 1 2 1
解法二、因为数列{a }为等差数列，所以a +2a +a =2a +2a =24，
n 4 9 20 12 9
所以a +a =12，
12 9
20(a +a )
所以S = 1 20 =10(a +a )=10(a +a )=120．
20 2 1 20 12 9
故选：B．
4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为
4的概率为( )
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，
x的可能取值分别为1，2，3，4，5，6，有6种情况，
其中，这6个点数的中位数为4时，x的可能取值为4，只有1种情况，
1
∴这6个点数的中位数为4的概率为P= ．
6
故选：A．
π π
5．已知函数 f(x)=cos(ωx+ )+1(ω>0)的最小正周期为π，则 f(x)在区间[0， ]上的最大值为( )
3 2
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
π 2π
【解答】解：函数 f(x)=cos(ωx+ )+1(ω>0)的最小正周期为 =π，
3 ω
π π π 4π
∴ω=2，函数 f(x)=cos(2x+ )+1，2x+ ∈[ ， ]．
3 3 3 3
π π 1 3
故当2x+ = 时， f(x)取得最大值为 +1= ．
3 3 2 2
故选：C．
6．在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=2acosA，则cosA=( )
1 2 3 6
A． B． C． D．
3 4 3 3
【解答】解：因为c=2acosA，
b2 +c2 −a2
由余弦定理可得c=2a⋅ ，将a=3，b=5代入整理得c=2 6 ，
2bc
c 6
所以cosA= = ．
2a 3
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司x2 y2 x2 y2
7．已知F ，F 是椭圆C : + =1(a>b>0)的两个焦点，双曲线C : − =1的一条渐近线l与C 交
1 2 1 a2 b2 2 m2 3m2 1
于A，B两点．若|FF |=|AB|，则C 的离心率为( )
1 2 1
2 3
A． B． C． 2−1 D． 3−1
2 2
【解答】解：如图所示，
x2 y2
由已知C : − =1，则渐近线l:y= 3x，
2 m2 3m2
即∠AOF =60°，
2
又|FF |=|AB|，
1 2
即|OF |=|OA|，且四边形AFBF 为矩形，
2 1 2
所以|AO|=|OF |=|AF |=c，
2 2
则|AF |= 3c，
1
又根据椭圆定义可知|AF |+|AF |= 3c+c=2a，
1 2
c 2
所以离心率e= = = 3−1．
a 3+1
故选：D．
8．已知函数 f(x)的定义域为R，y= f(x)+ex是偶函数，y= f(x)−3ex是奇函数，则 f(x)的最小值为( )
A．e B．2 2 C．2 3 D．2e
【解答】解：因为函数y= f(x)+ex为偶函数，则 f(−x)+e−x = f(x)+ex，即 f(x)− f(−x)=e−x −ex，①
又因为函数y= f(x)−3ex为奇函数，则 f(−x)−3e−x =−f(x)+3ex，即 f(x)+ f(−x)=3ex +3e−x，②
联立①②可得 f(x)=ex +2e−x，
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由基本不等式可得 f(x)=ex +2e−x 2 ex⋅2e−x =2 2 ，当且仅当ex =2e−x时，即当x= ln2时，等号成立，
2
故函数 f(x)的最小值为2 2．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
9．某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（万件） 50 96 142 185 227
若y与x线性相关，其线性回归方程为yˆ =b ˆ x+7.1，则下列说法正确的是( )
A．线性回归方程必过(3,140)
B．b ˆ=44.3
C．相关系数r<0
D．6月份的服装销量一定为272.9万件
1+2+3+4+5 50+96+142+185+227
【解答】解：对于A，因为x = =3,y = =140，所以线性回归方程必
5 5
过(3,140)，所以A正确；
对于B，由线性回归直线必过(3,140)，
所以3b ˆ+7.1=240，解得b ˆ=44.3，所以B正确；
对于C，因为b ˆ>0，所以相关系数r >0，所以C错误；
对于D，当x=6时，yˆ =6×44.3+7.1=272.9，
所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．
故选：AB．
10．设z ，z 为复数，下列命题中正确的是( )?
1 2
A．z +z =z +z
1 2 1 2
B．若z z =0，则z 与z 中至少有一个是0
1 2 1 2
C．若z2 +z2 =0，则z =z =0
1 2 1 2
D．|z z |=|z ||z |
1 2 1 2
第4页
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：对于A，设z =a+bi，z =c+di(a，b，c，d∈R)，
1 2
z +z =a+c+(b+d)i，z +z =a+c−(b+d)i，
1 2 1 2
z =a−bi，z =c−di，z +z =a+c−(b+d)i，故A正确；
1 2 1 2
对于B，z z =0，
1 2
则|z z |=|z ||z |=0，
1 2 1 2
故z 与z 中至少有一个是0，故B正确；
1 2
对于C，令z =1，z =i，满足z2 +z2 =0，但z ≠ z ，故C错误；
1 2 1 2 1 2
对于D，由复数模的性质可知，|z z |=|z ||z |，故D正确．
1 2 1 2
故选：ABD．
11．已知圆C:x2 + y2 −2kx−2y−2k =0，则下列命题是真命题的是( )
A．若圆C关于直线y=kx对称，则k =±1
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当k =1时，P(x,y)为圆C上任意一点，则y+ 3x的最大值为5+ 3
D．当k =1时，直线l:2x+ y+2=0，M 为直线l上的动点．过点M 作圆C的切线MA，MB，切点为
A，B，则|CM |⋅|AB|最小值为4
【解答】解：由圆C:x2 + y2 −2kx−2y−2k =0，得(x−k)2 +(y−1)2 =(k+1)2，
所以圆心C(k,1)，半径为|k+1|(k ≠−1)，故A不正确；
圆心C(k,1)，到x+1=0的距离为|k+1|，故存在直线x+1=0与所有的圆都相切，故B正确；
当k =1时，x2 + y2 −2x−2y−2=0，得(x−1)2 +(y−1)2 =22，
令x=1+2cosθ，y=1+2sinθ，
π
∴y+ 3x= 3+2 3cosθ+1+2sinθ=1+ 3+4sin(θ+ )5+ 3，故C正确；
3
当k =1时，x2 + y2 −2x−2y−2=0，得(x−1)2 +(y−1)2 =22，
圆心C(1,1)，半径r =2．
1
因为四边形MACB的面积S = |CM |⋅|AB|=2S =|CA|⋅|AM |=2|AM |=2 |CM |2 −4，
2 ∆CAM
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学科网（北京）股份有限公司要使四边形MACB面积最小，则需|CM |最小，此时CM 与直线l垂直，
|2+1+2|
∴又C到2x+ y+2=0的距离为d = = 5 ，
22 +1
∴|CM |⋅|AB|4 5−4 =4，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．已知集合A={x|−2−2}，则实数a的取值范围为
(−3,3) ．
【解答】解：集合A={x|−2−2}，
∴−2<1−a<4，解得−30，当1−2， f(e2)=2lne2 −(e2)2 +1=−e4 +5<−2，
e e e e2
所以 f(x) = f(e2)=−e4 +5．
min
16．如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且∆SAB是边长为 4 的等边三角形，C，D为圆弧AB的两
个三等分点，E是SB的中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：DE//平面SAC．
（2）求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：取SA的中点F ，连接CF，EF ，CD．
1
因为C，D为圆弧AB的两个三等分点，所以CD//AB，CD= AB．
2
1
因为E，F 分别为SB，SA的中点，所以EF //AB，EF = AB，
2
则CD//EF ，EF =CD，从而四边形CDEF 为平行四边形，
故DE//CF．
因为DEC平面SAC，CF二平面SAC，所以DE//平面SAC．
（2）解：以O为坐标原点，AB垂直平分线为x轴，
OB，OS的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB=SA=4，所以A(0，−2，0)，B(0，2，0)，C( 3,−1,0)，
D( 3，1，0)，S(0,0,2 3)，
则AC =( 3,1,0)，AS =(0,2,2 3)，BD=( 3,−1,0)，BS =(0，−2，2 3)．
设平面SAC的法向量为m=(x ，y ，z )，
1 1 1
m⋅AC = 3x + y =0
则 1 1 ，令x =1，得m=(1,− 3,1)．
1
m⋅AS =2y +2 3z =0
1 1
设平面SBD的法向量为n=(x ，y ，z )，
2 2 2
n⋅BD= 3x − y =0
则 2 2 ，令x =1，得n=(1, 3,1)．
2
n⋅BS =−2y +2 3z =0
2 2
设平面SAC与平面SBD所成锐二面角为θ，
|m⋅n| |1−3+1| 1
则cosθ=|cos〈m,n〉|= = = ．
|m||n| 5× 5 5
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所以平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值为 ．
5
17．某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从
这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X ，求X 的分布列和期望．
C2 +C2 4
【解答】解：（1）由题意可得，选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率P= 3 2 = ．
C2 15
6
（2）由题意可得，X 的所有可能取值为5，6，7，8，
C1C1 1 C2 +C1C1 1
P(X =5)= 1 3 = ，P(X =6)= 3 1 2 = ，
C2 5 C2 3
6 6
C1C1 2 C2 1
P(X =7)= 3 2 = ，P(X =8)= 2 = ，
C2 5 C2 15
6 6
故X 的分布列为：
X 5 6 7 8
1 1 2 1
P
5 3 5 15
1 1 2 1 19
故E(X)=5× +6× +7× +8× = ．
5 3 5 15 3
18．设抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ，点P(a,4)在抛物线C上，∆POF （其中O为坐标原点）的面
积为4．
（1）求a；
4
（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 ，证明：直线l过
3
定点，并求出此定点坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）设抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ，点P(a,4)在抛物线C上，∆POF （其中O为坐
标原点）的面积为4，
因为点P(a,4)在抛物线C上，所以16=2pa，即8= pa，
1 p
因为∆POF 的面积为4，所以 × ×4=4，解得 p=4，所以a=2；
2 2
4
证明：（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 ，
3
由（1）得C:y2 =8x，P(2,4)，
当直线l斜率为0时，不适合题意；
当直线l斜率不为0时，设直线l:x=my+t，设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
y2 =8x
由 ，得y2 −8my−8t =0，则△>0⇒2m2 +t >0，y + y =8m，y y =−8t，
x=my+t 1 2 1 2
4 y −4 y −4 4 y −4 y −4 4 8 8 4
因为直线PA，PB的斜率之和为 ，所以 1 + 2 = ，即 1 + 2 = ，所以 + = ，
3 x −2 x −2 3 y2 y2 3 y +4 y +4 3
1 2 1 −2 2 −2 1 2
8 8
1 2 2 2(y + y +8) 2(y + y +8) 2(8m+8) 1
所以 = + = 1 2 = 1 2 = ，整理得m=− t−2，
3 y +4 y +4 (y +4)(y +4) y y +4(y + y )+16 −8t+4×8m+16 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
所以直线l:x=my+t =(− t−2)y+t =t(− y+1)−2y，令− y+1=0，得y=2，x=−4，
2 2 2
所以直线l过定点(−4,2)．
19．对于给定的正整数n，记集合Rn ={α|α=(x ，x ，x ，…，x )，x ∈R， j=1，2，3，…，n}，其
1 2 3 n j
中元素α称为一个n维向量．特别地，0=(0,0,…,0)称为零向量．
设k∈R，α=(a ，a ，…，a )，β=(b ，b ，…，b )∈Rn，定义加法和数乘：α+β=(a +b ，a +b ，
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2
…，a +b )，kα=(ka ，ka ，…，ka )．
n n 1 2 n
对一组向量α
1
，α
2
，…，α
s
(s∈N
+
， s2)，若存在一组不全为零的实数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得
kα +k α +…+kα =0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
1 1 2 2 s s
（Ⅰ）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α=(1,1,1)，β=(2,2,2)；
②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)，γ=(5,1,4)；
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③α=(1,1,0)，β=(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ=(1,1,1)．
（Ⅱ）已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理
由．
（Ⅲ）已知m(m2)个向量α ，α ，…，α 线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明下列结论：
1 2 m
（ⅰ）如果存在等式kα +k α +…+k α =0(k ∈R，i=1，2，3，…，m)，则这些系数k ，k ，…，k
1 1 2 2 m m i 1 2 m
或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式kα +k α +…+k α =0，lα +lα +…+l α =0(k ∈R，l ∈R，i=1，2，3，…，
1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m i i
k k k
m)同时成立，其中l ≠0，则 1 = 2 =…= m ．
1 l l l
1 2 m
【解答】（Ⅰ）解：对于①，设kα+k β=0，则可得k +2k =0，所以α,β线性相关；
1 2 1 2
k +2k +5k =0
1 2 3
对于②，设kα+k β+kγ=0，则可得k +2k +k =0 ，所以k +2k =0，k =0，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
k +2k +4k =0
1 2 3
所以α,β,γ线性相关；
k +k +k =0
1 2 4
对于③，设kα+k β+kγ+kδ=0，则可得k +k +k =0，解得k =k =k ，
1 2 3 4 1 3 4 1 2 3
k +k +k =0
2 3 4
可取k =1，k =2，满足方程组，所以α,β,γ,δ线性相关；
1 4
（Ⅱ）解：设k (α+β)+k (β+γ)+k (α+γ)=0，
1 2 3
则(k +k )α+(k +k )β+(k +k )γ=0，
1 3 1 2 2 3
k +k =0
1 3
因为向量α，β，γ线性无关，所以k +k =0，解得k =k =k =0，
1 2 1 2 3
k +k =0
2 3
所以向量α+β，β+γ，α+γ线性无关，
（Ⅲ）证明：(i)kα +k α +…+k α =0，如果某个k =0，i=1，2，，m，
1 1 2 2 m m i
则kα +k α +k α +k α +…+k α =0，
1 1 2 2 i−1 i−1 i+1 i+1 m m
因为任意m−1个都线性无关，所以k ，k ，k ，k ，…，k 都等于0，
1 2 i−1 i+1 m
第12页
学科网（北京）股份有限公司所以这些系数k ，k ，…，k 或者全为零，或者全不为零，
1 2 m
(ii)因为l ≠0，所以l ，l ，…，l 全不为零，
1 1 2 m
l l
所以由lα +lα +…+l α =0可得α =− 2α −…− mα ，
1 1 2 2 m m 1 l 2 l m
1 1
l l
代入kα +k α +…+k α =0可得k (− 2α −…− mα )+k α +…+k α =0，
1 1 2 2 m m 1 l 2 l m 2 2 m m
1 1
l l
所以(− 2 k +k )α +…+(− m k +k )α =0，
l 1 2 2 l 1 m m
1 1
l l
所以− 2 k +k =0，…，− m k +k =0，
l 1 2 l 1 m
1 1
k k k
所以 1 = 2 =…= m ．
l l l
1 2 m
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