2002年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2002 年北京高考理科数学真题及答案 参考公式：三角函数的积化和差公式 1 sincos [sin()sin()]; 2 1 coscos [sin()sin()] 2 1 coscos [cos()cos()]; 2 1 sinsin [cos()cos()] 2 1 正棱台、圆台的侧面积公式S  （cc) l其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示 台体 2 斜高或母线长 4 球体的体积公式 V  R3其中R表示球的半径． 球 3 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足条件M {1}{1,2,3}的集合M 的个数是（ ）  (A)1 (B)2 (C)3 (D)4   2．在平面直角坐标系中，已知两点A(cos800,sin800),B cos200,sin200 ，则 AB 的值 是（ ） 1 2 3 (A) (B) (C) (D)1 2 2 2  3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( ,)上为减函数的是（ ） 2 cosx 1 (A)y cos2 x (B) y  2sinx (C)y   (D) y  cotx 3 a 4．64个直径都为 的球，记它们的体积之和为V ，表面积之和为S ；一个直径为a 的 4 甲 甲 球，记其体积为V ，表面积为S ，则（ ） 乙 乙 (A)V  V ,且S S (B) V〈V ,且S〈S (C) V  V ,且S S (D) 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙 V  V ,且S S 甲 乙 甲 乙 x sec 5．已知某曲线的参数方程是 ,(为参数)，若以原点为极点，x轴的正半轴为极 y  tan 轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ） (A)1 (B)cos21 (C)2sin21 5 x2 y2 y2 x2 6．给定四条曲线：①x2  y2  ，②  1，③x2  1，④  y2 1．其 2 9 4 4 4 中与直线x y 5 0仅有一个交点的曲线是（ ） (A)①②③ (B)②③④ (C)①②④ (D) ①③④ 7．已知z ，z C ，且 z 1．若z  z  2，则 z z 的最大值是（ ） 1 2 1 1 2 1 2 (A)6 (B) 5 (C) 4 (D)3 第1页 | 共10页cot1 cos2 8．若 1，则 的值为（ ） 2cot1 1sin2 1 (A)3 (B)-3 (C) -2 (D) 2 9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方 案共有（ ） (A)C4C4C4种 (B) 3C4C4C4种 (C) C4C4P3种 (D) C4C4C4 /P3种 12 8 4 12 8 4 12 8 3 12 8 4 3 10．设命题：“直四棱柱ABCD A BC D 中，平面ACB 与对角面BB D D垂直”；命题 1 1 1 1 1 1 1 乙：“直四棱柱ABCD A BC D 是正方体”，那么，甲是乙的（ ） 1 1 1 1 (A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分 又非必要条件 11．已知 f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0 x 3时， f(x)的图象如图所示，那么 不等式 f(x)cosx 0的解集是（ ）     (A)(3, ) (0,1) ( ,3) (B) ( ,1) (0,1) ( ,3)     2 2 2 2  (C)(3,1) (0,1) (1,3) (D) (3, ) (0,1) (1,3)     2 12．如图所示， f (x)(i 1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质： i “对[0,1]中任意的x 和x ，任意[0,1]， f[x (1)x ]f(x )(1)f(x ) 1 2 1 2 1 2 恒成立”的只有（ ） (A) f (x), f (x) (B) f (x) (C) f (x), f (x) 1 2 2 2 3 (D) f (x) 4 二．填空题： 2 3 5 13．arcsin( ),arccos( ),arctan( )从大到小的顺序是 ． 5 4 4 14．等差数列{a }，中，a  2，公差不为零，且a ,a ,a 恰好是某等比数列的前三项， n 1 1 3 n 那么该等比数列公比的值等于 ． 15．关于直角AOB在平面内的射影有如下判断：①可能是00的角；②可能是锐角；③ 可能是直角；④可能是直角；⑤可能是1800的角．其中正确的序号是 ．（注：把你 认为正确判断的序号都填上）． 16．已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2  y2 2x2y80的 两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值 E F 为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． D C 1 17．解不等式 2x1x  2 A 1 1 c B d 18．如图，在多面体ABCD A BC D 中，上、下底面平行且均为矩形， 1 1 1 1 D 1 C 相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与E,F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c,d 与a,b，且a c,b  d，两 b 底面间的距离为h． A a B 第2页 | 共10页（1）求侧面ABB A 与底面ABCD所成二面角的大小； 1 1 （2）证明：EF//面ABCD； （3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式V  S h来计算，已知它的 估 中截面 h 体积公式是V  (S 4S S )试判断V 与V 的大小关系，并加以证明． 6 上底面 中底面 下底面 估 （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．） 1 a 19．数列{a }由下列条件确定：x  a 0，x  (x  ),nN ． n 1 n1 2 n x n （1）证明：对n  2，总有x  a； n （2）证明：对n  2，总有x  x ； n n1 （3）若数列{a }的极限存在，且大于零，求limx 的值． n n n 20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： n 用计算机求n个不同的数v ,v , ,v 的和v v v  v ，计算开始前，n 1 2  n i 1 2  n i1 个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间 内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机 器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示： 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机 结 果 被读机 结 果 被读机 结 果 号 号 号 1 V 2 V V 1 1 2 2 V 1 V V 2 2 1 （1）当n  4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机 结 果 被读机 结 果 被读机 结 果 号 号 号 1 V 1 2 V 2 3 V 3 4 V 4 n （2）当n 128时，要使所有机器都得到v ，至少需要多少个单位时间可完成计 i i1 算？（结论不要求证明） 21．已知O(0,0)，B(1,0)，C(b,c)是OBC的三个顶点． （1）写出OBC的重心G，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G,F,H 三点共线； （2）当直线FH 与OB平行时，求顶点C的轨迹． 第3页 | 共10页22．已知 f(x)是定义在 R上的不恒为零的函数，且对于任意的 a,bR都满足： f(ab)  af(b)bf(a)． （1）求 f(0), f(1)的值； （2）判断 f(x)的奇偶性，并证明你的结论； f(2n) （3）若 f(2)  2，u  (nN)，求数列{u }的前n项的和S n n n n 第4页 | 共10页参考解答 说明： 一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考 生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. C 8. A 9. A 10. C 11. B 12. A 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 5 2 3 13. arctan( )arcsin( )arccos( ) 4 5 4 14. 4 15. （1）（2）（3）（4）（5） 16. 2 2 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分12 分。   2x1 x  2    2x1 x  2 解：原不等式  2x1 0  2x1 x  2  2x1 x2  x2  0  2x1 (x2)2 因为   1 x  1   2  x  2 x2 2x5 0  2x1 0  2x1 x  2  x2  0 2x1 0   2x1 (x2)2 x2  0 又  或 x  2 1    x  2 x2 6x5 0  或2 x  2 1    x  2 1 x 5  或2 1  x  2  2  x 5或2 1   x 5 2 第5页 | 共10页 1 x    2 1     x 5 1 2   x 5  所以，原不等式组 2 1 {x|  x 5} 因此，原不等式的解集为 2 18. 本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力 和逻辑推理能力，满分12分。 B C B B GPQ （1）解：过 作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过 作 ,垂足为Ｇ 1 1 1 1 平面ABCD//平面 A B C D ， A B C  90  1 1 1 1 1 1 1 ABPQ ABB P ， 1 B PG 为所求二面角的平面角 1 C C HPQ 过 作 ，垂足为H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形 1 1 B PQC 为等腰梯形 1 1 1 PG  (bd) 2 B G  h 又 1 2h tgB PG  (b  d) 1 bd E F 2h 2h B PG  arctg arctg 1 bd ，即所求二面角的大小为 bd D C （2）证明：  AB、CD是矩形ABCD的一组对边，有AB//CD 1 1 又CD是面ABCD与面CDEF的交线 A c B d 1 1 AB//面CDEF D Q C  EF是面ABFE与面CDEF的交线 H b AB//EF G A a B P AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外  EF//面ABCD V V （3） 估 证明： a  c，b  d  h ac bd ac bd V V  (cd ab4  )  h 估 6 2 2 2 2 h h  [2cd 2ab2(ac)(bd)3(ac)(bd)]  (ac)(bd)  0 12 12 V V 估 19. 本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分12 分。 1 a x  (x  ) x  a  0 n1 2 n x x  0 （1）证明：由 1 及 n 可归纳证明 n （没有证明过程不 扣分） 第6页 | 共10页1 a a x  (x  )  x   a(nN) n1 2 n x n x 从而有 n n x  a 所以，当n  2时， n 成立 1 a x  (x  ) x  a  0 n1 2 n x （2）证法一：当n  2时，因为 n ， n 1 a 1 a x 2 x  x  (x  ) x   n  0 n1 n 2 n x n 2 x 所以 n n 故当n  2时， x  x 成立 n n1 1 a x  (x  ) x  a  0 n1 2 n x 证法二：当n  2时，因为 n ， n 1 a (x  ) x 2 n x x2 a x2  x2 n1  n  n  n n 1 x x 2x2 2x2 所以 n n n n 故当n  2时， x  x 成立 n n1 lim x  A lim x  A （3）解：记n n ，则n n1 ，且 A 0 1 a x  (x  ) n1 2 n x 由 n 1 a lim x  ( lim x  ) n n1 2 n n lim x 得 n n 1 a A  (A ) 即 2 A 由 A 0，解得 A  a 故 20. 本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力，满分12分 （1）解：当n  4时，只用2个单位时间即可完成计算 方法之一如下： 机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间 被读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果 1 2 3 v v +v v v v v 1 1 2 1 2 3 4 2 1 4 v v +v v v v v 2 2 1 2 1 4 3 3 4 1 v v v v v v v 3 3 4 3 4 1 2 4 3 2 v v v v v v v 4 4 3 4 3 2 1 （2）解：当n 128 27时，至少需要7个单位时间才能完成计算 21. 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13 第7页 | 共10页分 （1）解：由OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c  0），可求得 b1 c 1 b2 c2 b bb2 重心G（ 3 ，3），外心F（2 ， 2c ），垂心H（b， c ） 1 1 b  当 2时，G、F、H三点的横坐标均为2 ，故三点共线 1 b  当 2时，设G、H所在直线的斜率为 k ，F、G所在直线的斜率为 k GH FG c bb2  3 c c2 3b2 3b k   GH b1 c(12b) b 因为 3 c b2 c2 b  3 2c c2 3b2 3b k   FG b1 1 c(12b)  3 2 k  k 所以 ，G、F、H三点共线 GH FG 综上可得，G、F、H三点共线 c2 3b2 3b k   0 FH c(12b) （2）解：若FH//OB，由 ，得 1 b  3(b2 b)c2  0 （c  0， 2） 1 (b )2 2 c2  1 1 3 1 3 3(b )2 c2  ( )2 ( )2 配方得 2 4 ，即 2 2 1 (x )2 2 y2  1 1 3 1 ( )2 ( )2 x  即 2 2 （ 2， y  0 ） 1 3 1 所以，顶点C的轨迹是中心在（2 ，0），长半轴长为 2 ，短半轴长为2 ，且短轴在x 1 3 1 3  轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（2 ， 2 ），（2 ， 2 ）四点 22. 本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13 分 f (0)  f (00)  0 f (0)0 f (0)  0 （1）解： f (1)  f (11) 1 f (1)1 f (1) 因为 f (1)  0 所以 f (x) （2） 是奇函数 f (1)  f[(1)2] f (1) f (1)  0 证明：因为 第8页 | 共10页f (1)  0 所以 f (x)  f (1x)  f (x) xf (1)  f (x) f (x) 因此， 为奇函数 （3）解法一： f (a2)  af (a)af (a)  2af (a) 由 f (a3)  a2 f (a)af (a2)  3a2 f (a) f (an)  nan1f (a) 猜测 下面用数学归纳法证明： 1. 当n 1时， f (a1) 1a0  f (a) ，公式成立 2. 假设当n  k 时， f (ak)  kak1f (a) 成立 那么当n  k 1时 f (ak1)  ak f (a)af (ak)  ak f (a)kak f (a)  (k 1)ak f (a) ，公式仍成立 由上两步可知，对任意nN ， f (an)  nan1f (a) 成立 f (2n) 1 1 u   ( )n1  f ( ) 所以 n n 2 2 1 1 1 f (1)  f (2 )  2f ( ) f (2)  0 因为 f (2)  2 ， 2 2 2 1 1 1 f ( )   f (2)   所以 2 4 2 1 1 u  ( )( )n1 n 2 2 （nN ） 1 1  [1( )n] 2 2 1 S   ( )n 1 n 1 2 1 因此 2 （nN ） f (ab) f (b) f (a)   解法二：当ab  0时， ab b a f (x) g(x)  令 x ，则 g(ab)  g(a) g(b) g(an)  ng(a) 故 f (an)  an g(an)  nang(a)  nan1f (a) 所以 f (2n) 1 1 u   ( )n1 f ( ) 所以 n n 2 2 （以下同解法一） 第9页 | 共10页第10页 | 共10页