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2025-2026 学年高一上学期期末联考数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
2.“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
4.已知一组数据：6，x，11，13，13的平均数为11.则该组数据的 分位数为（ ）
A.11.5 B.12 C.12.5 D.13
5.已知幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，则 （ ）
A. B. C.2 D.
6.设 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
7.对于实数 ，符号[x]表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，
定义函数 ，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B.
C.函数 的图象与直线 有无数个交点 D.函数 的最大值为18.已知函数 ，记 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.
9.下列说法正确的有（ ）
A.若二次不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
B.函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
C.函数 的值域为
D.定义在R上的函数 满足 ，则
10.已知事件A，B，C满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A.如果 ，那么 B.如果 ，那么
C.如果 与 互斥，那么 D.如果 与 相互独立，那么
11.已知 ，函数 ，若 恒成立，则（ ）
A.ab的最小值为9 B. 的最小值为1
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.求值： __________.
13.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 与 ，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每
次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，约定甲先射击，则前4次中甲
恰好射击3次的概率为__________.14.已知函数 ，实数a，b满足 .若 ，
，使得 成立，则 的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知全集为R，集合 .
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）若 ，且 ，求 的取值范围.
16.（本小题满分15分）为了解某校学生物理学习情况；从高一上学期期末物理考试成绩中，随机抽取了
200名学生，记录他们的物理成绩，将数据按照 分成5组，制
成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计高一年级物理成绩的众数和平均分（同一组中的数据用该组区
间的中点值代替）；
（2）按照分层抽样从 和 两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取
2名，求有1名或2名学生的成绩在 内的概率.
17.（本小题满分15分）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过
对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 （单位：元）
与时间第 天 的函数关系近似满足 ，日销售量 （单位：件）与时间
第 天的部分数据如下表所示：10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
已知第20天的日销售收入为603元.
（1）求 ；
（2）给出以下两个函数模型：① ；② 为常数）根据上表中的数据，
从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 与时间第 天的变化关系，
并求出该函数解析式及定义域；
（3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为 （单位：元），求 的最小值.
18.（本小题满分17分）已知函数 .
（1）若不等式 的解集为（1，3），求 的表达式；
（2）若 ，解关于 的不等式 ；
（3）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
19.（本小题满分17分）函数 的定义域为 ，若存在正实数 ，对任意的 ，总有
，则称函数 具有性质 .
（1）分别判断函数 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）已知二次函数 ，若存在正实数 ，使得函数 具有性质 ，
解关于 的不等式 ；
（3）已知 为给定的正实数，若函数 具有性质 ，求 的取值范围.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.ABC 10.ABD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.5 13. 14.3
四、解答题：本题共5小题，共77分；
15.（本小题满分13分）
解：（1） .………………………………………………………………1分
所以 .………………………………………………………4分
（2）因为 ，
所以 …………………………………………………6分，
所以 或 .…………………………………………………………………………8分
（3）因为 ，所以 或 .
因为 ，且 ，……………………………………………………………………10分
所以 或 ，
解得： 或 .……………………………………………………………………………………12分
即 的取值范围 或 ……………………………………………………………………13分
16.（本小题满分15分）
解：（1）由频率分布直方图得， ，………………………2分
解得 .…………………………………………………………………………………………………3分
物理成绩的众数为85，………………………………………………………………………………………4分
估计物理成绩的平均分为： .
所以 ，众数为85，平均分为77.5.………………………………………………………………7分（2）由（1）知，成绩在 的频率之比为 ，……………………………8分
则在 中随机抽取了 人，记为a，b，
在 中随机抽取了 人，记为c，d，e，……………………………………………………10分
从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，
共10个样本点，………………………………………………………………………………………………12分
设事件 “有1名或2名学生的成绩在［60，70）内”，
则 ，有7个样本点，……………………………………………………14分
因此 ，
所以有1名或2名学生的成绩在 内的概率为 .…………………………………………………15分
17.（本小题满分15分）
解：（1）由题意， ，可得 ……………………………………2分
则 ；……………………………………………………………………………………………3分
（2）由表格数据知：日销售量随时间 先增后减，显然①不符合，……………………………………4分
所以，选② ，…………………………………………………………………………5分
则 ，可得 ，即 ，…………………………………6分
综上， 且定义域为 ……………………………………………8分
（3）由题意所以 …………………………………………………………………10分
当 ，
当且仅当 时取等号，此时最小值为441元.……………………………………………………………12分
当 在 上单调递减，
此时最小值为 元……………………………………………………………14分
综上， 的最小值是441.…………………………………………………………………………………15分
18.（本小题满分17分）
解：（1）不等式 的解集为
即 的解集为 ，
可知方程 的两个根为 ，且 ，…………………………………2分
由根与系数的关系可得 ，解得 ，
则 .…………………………………………………………………………………………4分
（2）由 ，即 ，
得 ，…………………………………………………………………………………………7分
当 时，解得 ，不等式的解集为 ；……………………………………8分
当 时，解得 ；……………………………………………………………………………………9分当 时，解得 ，不等式的解集为 .…………………………………………10分
（3）不等式 对任意的 恒成立，即 对任意的
恒成立，…………………………………………………………………………………………………………11分
令 ，………………………………………………………………………………12分
可得 ，解得 ，………………………………………………………16分
即实数 的取值范围为 …………………………………………………………………………………17分
19.（本小题满分17分）
解：（1）对任意 ，得 ，
所以 具有性质 ；……………………………………………………………………………………1分
对任意 ，得 .
易得只需取 ，则 ，
所以 不具有性质 ；…………………………………………………………………………………2分
（2）设二次函数 满足性质 .
则对任意 ，
满足 …………………………………………3分
若 ，取 ，矛盾.
所以 ，此时 ，
满足 ，即 为偶函数；………………………………………………………………5分
则不等式 可化为 ，…………………………………………………6分
解得 即 …………………………………………………………………………7分（3）由于 ，函数 的定义域为 .
易得 .
若函数 具有性质 ，则对于任意实数 ，
有
，即 .
即 …………………………………………………………………………………10分
由于函数 在 上严格递增，得 .
即 ……………………………………………………………………………………12分
当 时，对任意实数 恒成立.
当 时，易得 ，由 ，得 ，
得 ，得
由题意得 对任意实数 恒成立，
所以 ，即 .…………………………………………………………………………14分
当 时，得 ，得
由题意得对任意实数 恒成立，
所以 ，即 .………………………………………………………………………………16分
综上所述， 的取值范围为 .……………………………………………………………………17分：
注：解答题有其它作答情况酌情给分.
