2007年湖北高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖北

2007 年湖北高考文科数学真题及答案 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效． 3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题 对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．tan690°的值为（ ） 3 3 Ａ． Ｂ． Ｃ． 3 Ｄ． 3 3 3 2．如果U x|x是小于9的正整数 ， A1，2，3，4， B3，4，5，6，那么 ð A ð B U  U （ ） Ａ．1，2 Ｂ．3，4 Ｃ．5，6 Ｄ．7，8  2  n 3．如果 3x2   的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）  x3 Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 2x 1 ４．函数y (x0)的反函数是（ ） 2x 1 x1 x1 Ａ．ylog (x1) Ｂ．ylog (x1) 2 x1 2 x1 x1 x1 Ｃ．ylog (x1) Ｄ．ylog (x1) 2 x1 2 x1 D 1 C 1 5．在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，E，F分别为棱AA，BB 的中点， A G 1 1 1 1 1 1 1 B 1 G为棱AB 上的一点，且AG (0≤≤1)．则点G到平面DEF 的距离 1 1 1 1 E F C 为（ ） D A B 2 2 5 Ａ． 3 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2 3 5 6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所 得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体 重大于70.5公斤的人数为（ ） 第1页 | 共13页A．300 B．360 C．420 D．450 频率 0.08 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 体重（kg） 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） 15 15 24 48 A． B． C． D． 64 128 125 125 8．由直线y  x1上的一点向圆(x3)2  y2 1引切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 B．2 2 C． 7 D．3 5 2 9．设a (4，3)，a在b上的投影为 ，b在x轴上的投影为 2，且|b|≤14，则b为 2 （ ）  2  2 A．(2，14) B． 2，  C． 2，  D．(2，8)  7  7 10．已知 p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是 s的必要条件，现有下列命题： ①s是q的充要条件； ② p是q的充分条件而不是必要条件； ③r是q的必要条件而不是充分条件； ④p是s的必要条件而不是充分条件； ⑤r是s的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是（ ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 第2页 | 共13页x y3≥0，  11．设变量x，y满足约束条件x y≥0， 则目标函数2x y的最小值为 ．  2≤x≤3，  x2 y2 12．过双曲线  1左焦点F 的直线交曲线的左支于M，N 两点，F 为其右焦点， 4 3 1 2 则 MF  NF  MN 的值为______． 2 2 1 13．已知函数 y  f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y  x2，则 2 f(1) f(1)＿＿＿＿． 1 14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球10次，恰好投进3个球的概率为 2 ．（用数值作答） 15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药 y（毫克） 1 物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后， y与t的函数关系式为 ta  1  y    （a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回 16 O 0.1 t（小时） 答下列问题： （I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间t（小时）之间的函数 关系式为 ． （II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那 么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） π  π π 已知函数 f(x)2sin2  x   3cos2x，x  ，  ． 4  4 2 （I）求 f(x)的最大值和最小值； π π （II）若不等式 f(x)m 2在x ， 上恒成立，求实数m的取值范围．   4 2 第3页 | 共13页17．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥V ABC 中，VC⊥底面ABC ， AC⊥BC， D是 AB的中点，且  π Ｖ AC  BC a，∠VDC   0 ．  2 （I）求证：平面VAB⊥平面VCD； Ｃ π （II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为 ． 6 A Ｂ Ｄ 18．（本小题满分12分） 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正 比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； （II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 19．（本小题满分12分） 设二次函数 f(x) x2 axa，方程 f(x)x0的两根x 和x 满足0 x  x 1． 1 2 1 2 （I）求实数a的取值范围； 1 （II）试比较 f(0)f(1) f(0)与 的大小．并说明理由． 16 20．（本小题满分13分） 已知数列{a }和{b }满足：a 1，a 2，a 0，b  a a （nN*），且{b } n n 1 2 n n n n1 n 是以q为公比的等比数列． （I）证明：a a q2； n2 n （II）若c a 2a ，证明数列{c }是等比数列； n 2n1 2n n 第4页 | 共13页1 1 1 1 1 1 （III）求和：       ．  a a a a a a 1 2 3 4 2n1 2n 21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2 2py（ p0）相交于 A，B两点． （I）若点N 是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； （II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若 存在，求出l的方程；若不存在，说明理由． y C B A x O N （此题不要求在答题卡上画图） 参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 3 11． 12．8 13．3 2 第5页 | 共13页  1  10t，0≤t≤ ，    15   10 14． 15．y  ；0.6 1 128 t  1  10  1  ，t      16  10 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和 性质解题的能力．  π  解：（Ⅰ）∵ f(x)  1cos  2x   3cos2x1sin2x 3cos2x  2   π 12sin  2x ．  3 π π π π 2π  π 又∵x  ，  ，∴ ≤2x ≤ ，即2≤12sin  2x  ≤3， 4 2 6 3 3  3 ∴ f(x) 3，f(x) 2． max min π π （Ⅱ）∵ f(x)m 2 f(x)2m f(x)2，x ， ，   4 2 ∴m f(x) 2且m f(x) 2， max min ∴1m4，即m的取值范围是(1，4)． 17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运 算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）∵AC  BC a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点， ∴CD AB，又VC 底面ABC．∴VC  AB．于是AB平面VCD． 又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ） 过点C在平面VCD内作CH VD于H ，则由（Ⅰ）知CD平面VAB． 连接BH ，于是CBH 就是直线BC与平面VAB所成的角． π 依题意CBH  ，所以 6 2 在Rt△CHD中，CH  asin； 2 π a 在Rt△BHC中，CH asin  ， 6 2 2 ∴sin ． 2 第6页 | 共13页π π ∵0 ，∴ ． 2 4 π π 故当 时，直线BC与平面VAB所成的角为 ． 4 6 解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间 a a   2  直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D  ，，0  ，V  0，0， atan  ， 2 2   2   a a 2   a a   于是，VD  ，， atan  ，CD  ，，0 ，AB(a，a，0)．  2 2 2  2 2    a a  1 1 从而AB· CD(a，a，0·)  ，，0   a2  a2 00，即ABCD． 2 2  2 2   a a 2  1 1 同理AB· VD(a，a，0·)  ，， atan a2  a2 00，   2 2 2 2 2   即ABVD．又CD VD D，∴AB平面VCD．  又AB平面VAB． ∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)， z  则由n· AB0，n· VD0． V axay 0，  得a a 2  x y aztan0． 2 2 2 C  B y 可取n(1，1，2cot)，又BC (0，a，0)， D A  π n· BC a 2 x 于是sin    sin，  6 n· BC a· 22cot2 2 2 π π 即sin ∵0 ，∴= ． 2 2 4 π π 故交= 时，直线BC与平面VAB所成的角为 ． 4 6 解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、 y轴，建立如图所示 第7页 | 共13页 2   2   2  的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A0， a，0，B0， a，0，C a，0，0，       2 2 2        2 2    2 2    2  V a，0， atan，于是 DV  a，0， atan， DC  a，0，0，       2 2 2 2 2        AB(0，2a，0)．    2  从而AB· DC (0，2a，0)·  a，0，00，即AB DC．   2      2 2  同理AB· DV (0，2a，0) a，0， atan0，即AB DV ．   2 2   又DC DV  D，∴AB平面VCD．  又AB平面VAB， ∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，  2ay 0，    则由n· AB0，n· DV 0，得 2 2  ax aztan0．  2 2 V   2 2  可取n(tan，0，1)，又BC  a， a，0，   2 2   2  atan π n· BC 2 2 于是sin     sin， C y 6 n· BC a· 1tan2 2 B D π π π x 即sin ，∵0 ，∴= ． A 2 2 4 π 故交 时， 4 π 即直线BC与平面VAB所成角为 ． 6 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题 的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为 f(x)， 则依题意有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)， 又由已知条件，24k· 22，于是有k 6， 第8页 | 共13页所以 f(x)6x3 126x2 432x9072，x[0，30]． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有 f(x)18x2 252x43218(x2)(x12)． x 0，2 2 (2，12) 12 12，30 f(x)  0  0  f(x) 极小 极大    故 x12时， f(x)达到极大值．因为 f(0)9072， f(12)11264，所以定价为 301218元能使一个星期的商品销售利润最大． 19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算 能力． 解法1：（Ⅰ）令g(x) f(x)x x2 (a1)xa， 0，  1a a0， 0 1，  则由题意可得 2  1a1， 0a32 2． g(1)0，   a32 2，或a32 2， g(0)0， 故所求实数a的取值范围是(0，32 2)． （II） f(0) f(1) f(0) g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2．  当 a 0时 ， h(a)单 调 增 加 ， 当 0a32 2 时 ，  0h(a)h(32 2)2(32 2)2 2(1712 2) 1 1 1 2  ，即 f(0) f(1) f(0) ．   1712 2 16 16 解法2：（I）同解法1． （II） f(0)f(1) f(0) g(0)g(1)2a2，由（I）知0a32 2 ，  ∴4 2a112 2170．又4 2a10，于是 1 1 1 2a2   (32a2 1) (4 2a1)(4 2a1)0， 16 16 16 1 1 即2a2  0，故 f(0)f(1) f(0) ． 16 16 解法3：（I）方程 f(x)x0  x2 (a1)xa 0，由韦达定理得 第9页 | 共13页0，  x x 0，  1 2  x x 1a，x x a，于是0 x  x 1 x x 0， 1 2 1 2 1 2 1 2  (1x )(1x )0，  1 2 (1x )(1x )0  1 2 a0，   a1， 0a32 2．  a32 2或a32 2 故所求实数a的取值范围是(0，32 2)． （II）依题意可设g(x)(xx )(xx )，则由0 x  x 1，得 1 2 1 2 f(0)f(1) f(0) g(0)g(1) x x (1x )(1x )[x (1x )][x (1x )] 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2  x 1x   x 1x  1 1   1 1   2 2   ，故 f(0)f(1) f(0) ．  2   2  16 16 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能， 考查分析问题能力和推理能力． b a a a 解法1：（I）证：由 n1 q，有 n1 n2  n2 q，∴ a a q2(nN*)． b a a a n2 n n n n1 n （II）证： a q q2，  n n2 a a q2  aq2n2，a a q2  a qn2， 2n1 2n3  1 2n 2n2  2 c a 2a aq2n2 2a q2n2 (a 2a )q2n2 5q2n2． n 2n1 2n 1 2 1 2 c 是首项为5，以q2为公比的等比数列． n 1 1 1 1 （III）由（II）得  q22n，  q22n，于是 a a a2n a2 2n1 1 1 1 1  1 1 1   1 1 1                 a a a a a a a a a     1 2 2n 1 3 2n1 2 4 2n 1  1 1 1  1  1 1 1   1     1          a  q2 q4 q2n2  a  q2 q4 q2n2  1 2 3 1 1 1    1     ． 2 q2 q1 q2n2  第10页 | 共13页1 1 1 3 1 1 1  当q 1时，       1      a a a 2 q2 q4 q2n2  1 2 2n 3  n． 2 1 1 1 3 1 1 1  当q 1时，       1      a a a 2 q2 q4 q2n2  1 2 2n 31q2n     2 1q2  3 q2n 1   ．   2q2n2(q2 1) 3 n， q1，  1 1 1 2 故 a  a    a   q2n 1  1 2 2n  ，q1.     q2n2(q2 1) 解法2：（I）同解法1（I）． （II）证： c a 2a q2a 2q2a n1  2n1 2n2  2n1 2n q2(nN*)，又c a 2a 5， c a 2a a 2a 1 1 2 n 2n1 2n 2n1 2n c 是首项为5，以q2为公比的等比数列． n （III）由（II）的类似方法得a a (a a )q2n2 3q2n2， 2n1 2n 1 2 1 1 1 a a a a a a     1 2  3 4   2n1 2n ，   a a a aa a a a a 1 2 2n 1 2 3 4 2n1 2n a a 3q2k2 3 2k1 2k   q2k2，k 1，2， ，n．   a a 2q4k4 2 2k1 2k 1 1 1 3      (1q2  q2n2)．   a a a 2 1 2 2k 下同解法1． 21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力． 解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N(0， p)，可设A(x，y )，B(x，y )， 1 1 2 2 x2 2py， 直 线 AB的 方 程 为 y kx p， 与 x2 2py联 立 得  消 去 y得 y kx p． 第11页 | 共13页 y B C A O x Nx2 2pkx2p2 0． 由韦达定理得x x 2pk，x x 2p2． 1 2 1 2 1 于是S S S  · 2p x x ． △AMN △BCN △ACN 2 1 2  p x x  p (x x )2 4x x 1 2 1 2 1 2  p 4p2k2 8p2 2p2 k2 2 ， ∴当k 0，(S ) 2 2p2． △ABN min （Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y a， 设AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H ，  x y  p 则OH  PQ，Q点的坐标为 1，1 ． y  2 2  1 1 1 ∵OP  AC  x2 (y  p)2  y2  p2 ， 2 2 1 1 2 1 B C y  p 1 O OH  a 1  2a y  p ， l A 2 2 1 O x 1 1 ∴ PH 2  OP 2  OH 2  (y2  p2) (2a y  p)2 N 4 1 4 1  p   a  y a(pa)，  2  1  p  ∴ PQ 2 (2 PH )2 4  a  y a(pa)  ．  2  1  p p 令a 0，得a ，此时 PQ  p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为 2 2 p y  ， 2 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 AB  1k2 x x  1k2· (x x )2 4x x  1k2· 4p2k2 8p2 1 2 1 2 1 2 2p 1k2· k2 2， 2p 又由点到直线的距离公式得d  ． 1k2 第12页 | 共13页1 1 2p 从而S  · d· AB  · 2p 1k2· k2 2· 2p2 k2 2， △ABN 2 2 1k2 ∴当k 0时，(S ) 2 2p2． △ABN max （Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为 y a，则以 AC为直径的圆的方程为 (x0)(xx )(y p)(y y )0， 1 1 将直线方程y a代入得x2 x x(a p)(a y )0， 1 1  p  则△ x2 4(a p)(a y )4  a  y a(pa)  ． 1 1  2  1  设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x，y )，Q(x，y )， 3 3 4 4  p  p 则有 PQ  x x  4  a  y a(pa) 2  a  y a(pa) ． 3 4  2  1  2  1 p p 令a 0，得a ，此时 PQ  p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为 2 2 p y  ， 2 即抛物线的通径所在的直线． 第13页 | 共13页