2007年湖北高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖北

2007 年湖北高考文科数学真题及答案
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题
对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．tan690°的值为（ ）
3 3
Ａ． Ｂ． Ｃ． 3 Ｄ． 3
3 3
2．如果U x|x是小于9的正整数 ， A1，2，3，4， B3，4，5，6，那么 ð A ð B
U  U
（ ）
Ａ．1，2 Ｂ．3，4 Ｃ．5，6 Ｄ．7，8
 2  n
3．如果 3x2   的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）
 x3
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
2x 1
４．函数y (x0)的反函数是（ ）
2x 1
x1 x1
Ａ．ylog (x1) Ｂ．ylog (x1)
2 x1 2 x1
x1 x1
Ｃ．ylog (x1) Ｄ．ylog (x1)
2 x1 2 x1 D
1 C
1
5．在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，E，F分别为棱AA，BB 的中点， A G
1 1 1 1 1 1
1 B
1
G为棱AB 上的一点，且AG (0≤≤1)．则点G到平面DEF 的距离
1 1 1 1 E F C
为（ ）
D
A B
2 2 5
Ａ． 3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2 3 5
6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所
得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体
重大于70.5公斤的人数为（ ）
第1页 | 共13页A．300 B．360 C．420 D．450
频率
0.08 组距
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
体重（kg）
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5
7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
15 15 24 48
A． B． C． D．
64 128 125 125
8．由直线y  x1上的一点向圆(x3)2  y2 1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 2 C． 7 D．3
5 2
9．设a (4，3)，a在b上的投影为 ，b在x轴上的投影为 2，且|b|≤14，则b为
2
（ ）
 2  2
A．(2，14) B． 2，  C． 2，  D．(2，8)
 7  7
10．已知 p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是
s的必要条件，现有下列命题：
①s是q的充要条件；
② p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④p是s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
第2页 | 共13页x y3≥0，

11．设变量x，y满足约束条件x y≥0， 则目标函数2x y的最小值为 ．

2≤x≤3，

x2 y2
12．过双曲线  1左焦点F 的直线交曲线的左支于M，N 两点，F 为其右焦点，
4 3 1 2
则 MF  NF  MN 的值为______．
2 2
1
13．已知函数 y  f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y  x2，则
2
f(1) f(1)＿＿＿＿．
1
14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球10次，恰好投进3个球的概率为
2
．（用数值作答）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药 y（毫克）
1
物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t
（小时）成正比；药物释放完毕后， y与t的函数关系式为
ta
 1 
y 
 
（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回
16
O 0.1
t（小时）
答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间t（小时）之间的函数
关系式为 ．
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那
么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
π  π π
已知函数 f(x)2sin2  x   3cos2x，x  ，  ．
4  4 2
（I）求 f(x)的最大值和最小值；
π π
（II）若不等式 f(x)m 2在x ， 上恒成立，求实数m的取值范围．
 
4 2
第3页 | 共13页17．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥V ABC 中，VC⊥底面ABC ， AC⊥BC， D是 AB的中点，且
 π Ｖ
AC  BC a，∠VDC   0 ．
 2
（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；
Ｃ
π
（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为 ．
6 A Ｂ
Ｄ
18．（本小题满分12分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，
且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正
比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
19．（本小题满分12分）
设二次函数 f(x) x2 axa，方程 f(x)x0的两根x 和x 满足0 x  x 1．
1 2 1 2
（I）求实数a的取值范围；
1
（II）试比较 f(0)f(1) f(0)与 的大小．并说明理由．
16
20．（本小题满分13分）
已知数列{a }和{b }满足：a 1，a 2，a 0，b  a a （nN*），且{b }
n n 1 2 n n n n1 n
是以q为公比的等比数列．
（I）证明：a a q2；
n2 n
（II）若c a 2a ，证明数列{c }是等比数列；
n 2n1 2n n
第4页 | 共13页1 1 1 1 1 1
（III）求和：       ．

a a a a a a
1 2 3 4 2n1 2n
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2 2py（ p0）相交于
A，B两点．
（I）若点N 是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若
存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
y
C B
A
x
O
N
（此题不要求在答题卡上画图）
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ
6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．
3
11． 12．8 13．3
2
第5页 | 共13页  1 
10t，0≤t≤ ，
  
15   10
14． 15．y  ；0.6
1
128 t
 1  10  1 
，t 
   
16  10
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和
性质解题的能力．
 π 
解：（Ⅰ）∵ f(x)

1cos

2x

 3cos2x1sin2x 3cos2x
 2 
 π
12sin  2x ．
 3
π π π π 2π  π
又∵x

，

，∴ ≤2x ≤ ，即2≤12sin

2x

≤3，
4 2 6 3 3  3
∴ f(x) 3，f(x) 2．
max min
π π
（Ⅱ）∵ f(x)m 2 f(x)2m f(x)2，x ， ，
 
4 2
∴m f(x) 2且m f(x) 2，
max min
∴1m4，即m的取值范围是(1，4)．
17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运
算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解法1：（Ⅰ）∵AC  BC a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，
∴CD AB，又VC 底面ABC．∴VC  AB．于是AB平面VCD．
又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．
（Ⅱ） 过点C在平面VCD内作CH VD于H ，则由（Ⅰ）知CD平面VAB．
连接BH ，于是CBH 就是直线BC与平面VAB所成的角．
π
依题意CBH  ，所以
6
2
在Rt△CHD中，CH  asin；
2
π a
在Rt△BHC中，CH asin  ，
6 2
2
∴sin ．
2
第6页 | 共13页π π
∵0 ，∴ ．
2 4
π π
故当 时，直线BC与平面VAB所成的角为 ．
4 6
解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间
a a   2 
直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D  ，，0  ，V  0，0， atan  ，
2 2   2 
 a a 2   a a  
于是，VD

，， atan

，CD

，，0 ，AB(a，a，0)．
 2 2 2  2 2 
  a a  1 1
从而AB· CD(a，a，0·)

，，0

 a2  a2 00，即ABCD．
2 2  2 2
  a a 2  1 1
同理AB· VD(a，a，0·)  ，， atan a2  a2 00，
 
2 2 2 2 2
 
即ABVD．又CD VD D，∴AB平面VCD．

又AB平面VAB．
∴平面VAB平面VCD．
（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，
z

则由n· AB0，n· VD0． V
axay 0，

得a
a 2
 x y aztan0．
2 2 2
C
 B y
可取n(1，1，2cot)，又BC (0，a，0)，
D
A

π n· BC a 2 x
于是sin    sin，

6 n· BC a· 22cot2 2
2 π π
即sin ∵0 ，∴= ．
2 2 4
π π
故交= 时，直线BC与平面VAB所成的角为 ．
4 6
解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、 y轴，建立如图所示
第7页 | 共13页 2   2   2 
的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A0， a，0，B0， a，0，C a，0，0，
     
2 2 2
     
 2 2    2 2    2 
V a，0， atan，于是 DV  a，0， atan， DC  a，0，0，
     
2 2 2 2 2
     

AB(0，2a，0)．
   2 
从而AB· DC (0，2a，0)·  a，0，00，即AB DC．
 
2
 
   2 2 
同理AB· DV (0，2a，0) a，0， atan0，即AB DV ．
 
2 2
 
又DC DV  D，∴AB平面VCD．

又AB平面VAB，
∴平面VAB平面VCD．
（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，
 2ay 0，
  
则由n· AB0，n· DV 0，得
2 2
 ax aztan0．
 2 2
V
  2 2 
可取n(tan，0，1)，又BC  a， a，0，
 
2 2
 
2
 atan
π n· BC 2
2
于是sin     sin， C y
6 n· BC a· 1tan2 2 B
D
π π π x
即sin ，∵0 ，∴= ． A
2 2 4
π
故交 时，
4
π
即直线BC与平面VAB所成角为 ．
6
18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题
的能力．
解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为 f(x)，
则依题意有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，
又由已知条件，24k· 22，于是有k 6，
第8页 | 共13页所以 f(x)6x3 126x2 432x9072，x[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有 f(x)18x2 252x43218(x2)(x12)．
x 0，2 2 (2，12) 12 12，30
f(x)  0  0 
f(x) 极小 极大
  
故 x12时， f(x)达到极大值．因为 f(0)9072， f(12)11264，所以定价为
301218元能使一个星期的商品销售利润最大．
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算
能力．
解法1：（Ⅰ）令g(x) f(x)x x2 (a1)xa，
0，

1a
a0，
0 1， 
则由题意可得 2  1a1， 0a32 2．
g(1)0， 

a32 2，或a32 2，
g(0)0，
故所求实数a的取值范围是(0，32 2)．
（II） f(0) f(1) f(0) g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2．

当 a 0时 ， h(a)单 调 增 加 ， 当 0a32 2 时 ，

0h(a)h(32 2)2(32 2)2 2(1712 2)
1 1 1
2  ，即 f(0) f(1) f(0) ．
 
1712 2 16 16
解法2：（I）同解法1．
（II） f(0)f(1) f(0) g(0)g(1)2a2，由（I）知0a32 2 ，

∴4 2a112 2170．又4 2a10，于是
1 1 1
2a2   (32a2 1) (4 2a1)(4 2a1)0，
16 16 16
1 1
即2a2  0，故 f(0)f(1) f(0) ．
16 16
解法3：（I）方程 f(x)x0  x2 (a1)xa 0，由韦达定理得
第9页 | 共13页0，

x x 0，
 1 2

x x 1a，x x a，于是0 x  x 1 x x 0，
1 2 1 2 1 2 1 2

(1x )(1x )0，
 1 2
(1x )(1x )0

1 2
a0，

 a1， 0a32 2．

a32 2或a32 2
故所求实数a的取值范围是(0，32 2)．
（II）依题意可设g(x)(xx )(xx )，则由0 x  x 1，得
1 2 1 2
f(0)f(1) f(0) g(0)g(1) x x (1x )(1x )[x (1x )][x (1x )]
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2
 x 1x   x 1x  1 1
  1 1   2 2   ，故 f(0)f(1) f(0) ．
 2   2  16 16
20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，
考查分析问题能力和推理能力．
b a a a
解法1：（I）证：由 n1 q，有 n1 n2  n2 q，∴ a a q2(nN*)．
b a a a n2 n
n n n1 n
（II）证： a q q2，
 n n2
a a q2  aq2n2，a a q2  a qn2，
2n1 2n3  1 2n 2n2  2
c a 2a aq2n2 2a q2n2 (a 2a )q2n2 5q2n2．
n 2n1 2n 1 2 1 2
c 是首项为5，以q2为公比的等比数列．
n
1 1 1 1
（III）由（II）得  q22n，  q22n，于是
a a a2n a2
2n1 1
1 1 1  1 1 1   1 1 1 
              
a a a a a a a a a
   
1 2 2n 1 3 2n1 2 4 2n
1  1 1 1  1  1 1 1 
 1     1   
     
a  q2 q4 q2n2  a  q2 q4 q2n2 
1 2
3 1 1 1 
  1     ．
2 q2 q1 q2n2 
第10页 | 共13页1 1 1 3 1 1 1 
当q 1时，  

 

1  



a a a 2 q2 q4 q2n2 
1 2 2n
3
 n．
2
1 1 1 3 1 1 1 
当q 1时，  

 

1  



a a a 2 q2 q4 q2n2 
1 2 2n
31q2n 
  
2 1q2 
3 q2n 1 
 ．
 
2q2n2(q2 1)
3
n， q1，

1 1 1 2
故
a

a



a

 q2n 1 
1 2 2n  ，q1.
 


q2n2(q2 1)
解法2：（I）同解法1（I）．
（II）证：
c a 2a q2a 2q2a
n1  2n1 2n2  2n1 2n q2(nN*)，又c a 2a 5，
c a 2a a 2a 1 1 2
n 2n1 2n 2n1 2n
c 是首项为5，以q2为公比的等比数列．
n
（III）由（II）的类似方法得a a (a a )q2n2 3q2n2，
2n1 2n 1 2
1 1 1 a a a a a a
    1 2  3 4   2n1 2n ，
 
a a a aa a a a a
1 2 2n 1 2 3 4 2n1 2n
a a 3q2k2 3
2k1 2k   q2k2，k 1，2， ，n．
 
a a 2q4k4 2
2k1 2k
1 1 1 3
     (1q2  q2n2)．
 
a a a 2
1 2 2k
下同解法1．
21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识
进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N(0， p)，可设A(x，y )，B(x，y )，
1 1 2 2
x2 2py，
直 线 AB的 方 程 为 y kx p， 与 x2 2py联 立 得  消 去 y得
y kx p．
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y
B
C
A
O
x
Nx2 2pkx2p2 0．
由韦达定理得x x 2pk，x x 2p2．
1 2 1 2
1
于是S S S  · 2p x x ．
△AMN △BCN △ACN 2 1 2
 p x x  p (x x )2 4x x
1 2 1 2 1 2
 p 4p2k2 8p2 2p2 k2 2 ，
∴当k 0，(S ) 2 2p2．
△ABN min
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y a，
设AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H ，
 x y  p
则OH  PQ，Q点的坐标为 1，1 ． y
 2 2 
1 1 1
∵OP  AC  x2 (y  p)2  y2  p2 ，
2 2 1 1 2 1 B
C
y  p 1 O
OH  a 1  2a y  p ， l A
2 2 1
O
x
1 1
∴ PH 2  OP 2  OH 2  (y2  p2) (2a y  p)2 N
4 1 4 1
 p


a

y a(pa)，
 2  1
 p 
∴ PQ 2 (2 PH )2 4  a  y a(pa)  ．
 2  1 
p p
令a 0，得a ，此时 PQ  p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为
2 2
p
y  ，
2
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
AB  1k2 x x  1k2· (x x )2 4x x  1k2· 4p2k2 8p2
1 2 1 2 1 2
2p 1k2· k2 2，
2p
又由点到直线的距离公式得d  ．
1k2
第12页 | 共13页1 1 2p
从而S  · d· AB  · 2p 1k2· k2 2· 2p2 k2 2，
△ABN 2 2 1k2
∴当k 0时，(S ) 2 2p2．
△ABN max
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为 y a，则以 AC为直径的圆的方程为
(x0)(xx )(y p)(y y )0，
1 1
将直线方程y a代入得x2 x x(a p)(a y )0，
1 1
 p 
则△ x2 4(a p)(a y )4  a  y a(pa)  ．
1 1  2  1 
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x，y )，Q(x，y )，
3 3 4 4
 p  p
则有 PQ  x x  4  a  y a(pa) 2  a  y a(pa) ．
3 4  2  1  2  1
p p
令a 0，得a ，此时 PQ  p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为
2 2
p
y  ，
2
即抛物线的通径所在的直线．
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