文档内容
2024 年兰州市高二级第一学期期中学业质量检测卷（3）
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
1. 已知两个非零向量 ， ，则这两个向量在一条直线上的充要条件是
（ ）．
A. B.
C. D. 存在非零实数 ，使
2. 已知焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
3. 若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 若圆 上有且仅有两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
.
C D.
6. 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
的
7. 若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ| 最小值为( )
A. B. C. D.
8. 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( 且
)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为 ，动点 与 、
距离之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是（ ）.
.
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若平面内两条平行线 ： 与 ： 间的距离为 ，则实数 （
）
A. B. C. D.
10. 已知 、 、 和 为空间中的 个单位向量，且 ，
可能等于（ ）
A. B. C. D.
11. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若 ，则 的长度相等而方向相同或相反
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若两个非零向量 与 满足 ，则
D. 若空间向量 ， 满足 ，且 与 同向，则
12. 如图所示，棱长为1的正方体 中，P为线段 上的动点（不含端点），则下列结
论正确的是（ ）
A. 平面 平面 B. 不是定值
C. 三棱锥 的体积为定值 D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知入射光线经过点 ，被直线 ： 反射，反射光线经过点 ，则反射光线
所在直线的方程为________．
14. 如图所示，平行六面体 中， ， ，
，则线段 的长度是________.15. 抛物线 的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足 ，点O为原点，则
的面积为___________.
16. 如图所示，在正四棱柱 中， ， ，动点 、 分别在线段
、 上，则线段 长度的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
已知平行六面体 中，各条棱长均为 ，底面是正方形，且 ，
设 ， ， .
（1）用 ， ， 表示 及求 ；
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值.18. 过点 作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
19. 如图所示，在ΔABC中， ， 为边上一点，且 ， 平面
， ，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20. 如图，三棱柱 中， ， ， .（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求
的长，若不存在，说明理由.
21. 如图，在多面体 中，底面 是梯形， ， ， ，
底面 ， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上．
（1）证明： 平面 ；
（2）如果直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求点 的位置．
22. 已知椭圆 ： ( )上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 倍，且点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 的 、 两点， 与直线 ：
交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，求证： .2024 年兰州市高二级第一学期期中学业质量检测卷（3）
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
1. 已知两个非零向量 ， ，则这两个向量在一条直线上的充要条件是
（ ）．
A. B.
C. D. 存在非零实数 ，使
【答案】D
【解析】
【分析】
分析各选项中 、 的位置关系，由此可得出合适的选项.
【详解】若非零向量 ， 在同一条直线上，则 、 共线.
对于A选项， ，且 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，
所以， 、 同向，所以， 是 、 在一条直线上的充分不必要条件；
对于B选项，取 ， ，则 ，但 、 不共线；
对于C选项，若 ，则 ，可知 ；
对于D选项，“存在非零实数 ，使 ” “ ”.
故选：D.2. 已知焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ，焦点到渐近线的距离为 ，说明 ，则 ，
∴双曲线的方程为
故选:B
3. 若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
圆心到直线的距离小于半径解不等式即可.
【详解】解：圆的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
∵直线与圆相交，∴ ，解得 或 ，
故选：D.
4. 已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的最小值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 由 得 点 在 圆 上 ， 因 此 由 两 圆 有 交 点 得，即 的最小值为 选D.
考点：两圆位置关系
5. 若圆 上有且仅有两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得已知圆与圆 相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.
【详解】由题意可得：已知圆与圆 相交，
∴ ，
∴ ，
解得 且 ，
故选：B.
6. 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，
则异面直线PC，AD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE
两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．
故 =(−4，2，2)， =(2，0，1)．所以cos〈 ， 〉= = =− .
设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈 ， 〉|= .
7. 若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.
【详解】因为 ，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即 ，所以|PQ|的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平.
8. 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 ( 且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 、 间的距离为 ，动点 与 、
距离之比为 ，当 、 、 不共线时， 面积的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以经过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建系，利用 求出圆的方
程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
【详解】如图，以经过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建系，如图：
则 、 ，设 ，
∵ ，∴ ，
两边平方并整理得： ，
所以圆的半径为 ，
∴ 面积的最大值是 .
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若平面内两条平行线 ： 与 ： 间的距离为 ，则实数 （
）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由两直线平行求得 ，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得．
【详解】∵ ，∴ ，解得 或 ，
时，两直线方程为 ， 即 ， ，符合，
当 时，两直线方程 ， 即 ， ，不符合，
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数
值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错．
10. 已知 、 、 和 为空间中的 个单位向量，且 ，
可能等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.
【详解】 ，
又 ，
所以 ，
当且仅当 共线同向时等号成立，
因为 为单位向量，且 ，若 共线，则存在实数 使得 ，
即 ，可得 ，方程组无解，
所以 一定不共线.
.
故选：CD.
11. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 ，则 的长度相等而方向相同或相反
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若两个非零向量 与 满足 ，则
D. 若空间向量 ， 满足 ，且 与 同向，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A中结合模长与向量的关系可判断错误；B中结合向量可平移和共线的概念判断正确；
C中可判断 与 为相反向量，正确；D中向量大小不能进行比较，错误
【详解】A. 若 ，则 的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三
个向量一定共面，所以该选项正确；
C. 若两个非零向量 与 满足 ，则 ，所以 ，所以该选项正确；
D. 若空间向量 ， 满足 ，且 与 同向， 与 也不能比较大小，所以该选项
错误.
故选：BC【点睛】本题考查对平面向量及空间向量基本概念的辨析，命题真假的判断，属于基础题
12. 如图所示，棱长为1的正方体 中，P为线段 上的动点（不含端点），则下列结
论正确的是（ ）
A. 平面 平面 B. 不是定值
C. 三棱锥 的体积为定值 D.
【答案】ACD
【解析】
【 分 析 】 A. 易 证 明 平 面 ， 得 到 面 面 垂 直 ； B. 转 化
，再求数量积；C. ,根据底面积和
高，判断体积是否是定值；D.由 平面 ，判断线线是否垂直.
【详解】A.因为是正方体，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
所以A正确；
B.
，故 ，故B不正确；
C. ， 的面积是定值， 平面 ，点 在线段 上的动点，所以点到平面 的距离是定值，所以 是定值，故C正确；
D. ， ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，
属于中档题型.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知入射光线经过点 ，被直线 ： 反射，反射光线经过点 ，则反射光线
所在直线的方程为________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析： 关于直线 ： 的对称点为 ，所以反射光线所在直线的
方程是直线 的方程:
考点：反射直线
14. 如图所示，平行六面体 中， ， ，
，则线段 的长度是________.
【答案】【解析】
【分析】由平行六面体法则可得 ，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段 的长
度.
【详解】由题意可得 ，
，
，
由平行六面体法则可得 ，
所以，
，
故 .
为
故答案 ： .
15. 抛物线 的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足 ，点O为原点，则
的面积为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线定义可得出 ,由 得出 ，再由 ，建立关系 ，联立解出A点坐标即可求三角形面积.
【详解】如图，
由题意可知 ， ，
由 得 ，
又根据 可得， ，
即 ，即 ，解得 ， ，
的
∴A点 坐标为 或 ，
∴ .
故答案为：2
16. 如图所示，在正四棱柱 中， ， ，动点 、 分别在线段
、 上，则线段 长度的最小值是______．【答案】
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量
法计算出异面直线 、 的公垂线的长度，即为所求.
【详解】由题意可知，线段 长度的最小值为异面直线 、 的公垂线的长度.
如下图所示，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则点 、 、 、 ，所以， ， ， ，
设向量 满足 ， ，
由题意可得 ，解得 ，取 ，则 ， ，
可得 ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将 长度的最小值转化为异面直线 、 的距离，实际上
就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异
面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
已知平行六面体 中，各条棱长均为 ，底面是正方形，且 ，
设 ， ， .
（1）用 ， ， 表示 及求 ；
（2）求异面直线 与 所成的角的余弦值.【答案】(1) , .(2) .
【解析】
【分析】(1)在图形中，利用向量 线性运算法则表示 ，再由 求 .
的
(2) 由 可求异面直线 与 所成的角的余弦值.
【详解】（1） .
，
.
（2） ，
则
.又 ， ，
.
异面直线 与 所成的角的余弦值是 .
【点睛】本题考查空间向量的运算，用空间向量求异面直线的夹角.在不建立坐标系的情况下，空间向量的
运算与平面向量类似，但表示空间向量需要不共面的三个向量作为基向量.由空间向量求异面直线的夹角时，
应注意向量夹角和直线夹角的取值范围的不同，当向量的夹角的余弦值为负数时，相应异面直线的夹角应
为其相反数.
18. 过点 作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 方的程.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的截距式为 ，代点可得
，
（1）由基本不等式可得 ，由等号成立的条件可得 和 的值，由此得到直线方程，
（2） ，由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的截距式为 ， 直线过点
， ，（1）由基本不等式可得 ，解得： ，当且仅当 ，即 且 时，上
式取等号，
面积 ，则当 ， 时， 面积最小，此时直线 的方程为 ，
即 ，
（2）由于 ，当且仅当 ，即
且 时取等号，
所以当 ， 时， 的值最小，此时直线 的方程为 ，即 ．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
19. 如图所示，在ΔABC中， ， 为 边上一点，且 ， 平面
， ，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】
【分析】（1）根据题意证得 ，再由 平面 ，得到 ，结合线面垂直的判定定
理，证得 平面 ，进而得到平面 平面 .
的
（2）以 ､ ､ 所在射线分别为 ､ ､ 轴，建立空间直角坐标系，求得平面 一个法向量
和向量 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在 中， ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ， ，
所以 平面 ，即 平面 ，
又由 平面 ，所以平面 平面 .
（2）以 ､ ､ 所在射线分别为 ､ ､ 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，则 ， ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20. 如图，三棱柱 中， ， ， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求
的长，若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据线面垂直的性质证明AC ⊥平面CBB C 从而得到线线垂直，即可证明：
1 1 1 1
AC ⊥CC （2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
1 1 1、
解析：
（Ⅰ）证明：连接 为平行四边形，且为菱形
又 ， 平面
又 平面
（Ⅱ）
两两垂直
以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，如图所示，则
，设
易知， ， ，
则平面 的一个法向量
设 是平面 的一个法向量
则 得，解得：
在棱 上存在点 ，当 时，得二面角 的大小为 .
21. 如图，在多面体 中，底面 是梯形， ， ， ，
底面 ， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上．
（1）证明： 平面 ；
（2）如果直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求点 的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）点 与点 重合．
【解析】
【分析】（1）通过证明 可证 平面 ；
（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ( )，利用
空间向量求出 即可得解.
【详解】（1）证明：在梯形 中，∵ ，且 ，
∴ ， ，∴ ，∵点 为 的中点，∴ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形， ，∴ ，
又∵ 底面 ， 底面 ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ；
（2）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系：
则 、 、 、 、 ，
∴ ， ， ，
设 ( )，则 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，由 得 ，
令 得 ，则平面 的一个法向量为 ，
则
，
所以 ，整理得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 应舍去，
所以 ，即 ，
∴当点 与点 重合时直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
【点睛】关键点点睛：（1）证明 是解题关键；（2）正确建立空间直角坐标系，利
用空间向量求解是解题关键.
22. 已知椭圆 ： ( )上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 倍，且点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 的 、 两点， 与直线 ：
交于 点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件和椭圆的几何性质可得 ，结合 关系设其方程，结合点 在椭
圆上代入可求椭圆的方程；
（2）当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理求 ，再
求点 坐标，求出 由此证明.【小问1详解】
∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为 、 ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，故可设椭圆 的方程为： ，
∵点 在椭圆 上，
∴将其代入椭圆 得 ，
∴椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
依题意，直线 不可能与 轴垂直，故可设直线 的方程为： ，
即 ，
设 与椭圆 的两个交点为 ， ，
将 代入方程 化简得， ，
∴ 恒成立，∴ ， ，
∴
，又由 ，
解得 ， ，即 点的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，原命题得证.
