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厦泉五校 2024-2025 学年高二年级第一学期期中联考
数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知 ，则 （）
A. B. C. D.
2. 椭圆 上一点P到左焦点 的距离为6，则P到右焦点的距离为（）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 12
3. “ ”是“直线 与圆 ： 相切”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件
4. 下列命题中，不正确的命题是（）
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若 ，则存在唯一的实数 ，使得
C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若 ，则P，A，B，C四点共面
D. 若 是空间的一个基底， ，则 也是空间的一个基底
5. 平行六面体 的底面 是边长为2的正方形，且 ，
， 为 ， 的交点，则线段 的长为（）A. B. C. 3 D.
6. 在平面直角坐标系 中，直线 ： 被圆 ： 截得的最短弦
的长度为（）
A. B. 2 C. D. 4
7. 已知 分别为椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上的点， ，且
，则椭圆 的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 如图是一个棱数为 ，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看
成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角
的余弦值的取值范围是（）
A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 空间直角坐标系 中，已知 ， ，下列结论正确的有（）
A. B. 点 关于 平面对称 的点的坐标为
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
的
10. 如图，在棱长为2 正方体 中，E，F，G分别为棱 ， ， 的中点，则
（）
A. 直线 与 所成角的余弦值为 B. 点F到直线 的距离为1
C. 平面 D. 点 到平面 的距离为
11. 已知椭圆 ， 分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的
一个动点，下列结论中正确的有（）
A. 存在P使得 B. 椭圆C的弦MN被点 平分，则
C. ，则 的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的斜率为_______．13. 已知F为椭圆 的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若 ，则
的面积为________．
14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的
科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，
后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点 ， ，圆 ，
在圆上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是______．
四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知 的顶点 ， 边上的高所在直线为 ， 为 中点，且 所在直
线方程为 .
（1）求 边所在的直线方程；
（2）求顶点 的坐标.
16. 已知空间三点 ， ， ．
（1）求向量 与 夹角的余弦值；
（2）求 的面积.
17. 已知圆 的圆心 在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切．
（1）求圆 的方程；
（2）经过点 的直线 与圆 相交于A，B两点，若 ，求直线 的方程．
18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F（﹣ ，0），点 在椭圆上.
1（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若 AOB（O是坐标原点）的面积S= ，
△
求直线AB的方程.
19. 已知 为坐标原点，圆 ： ，直线 ： （ ），如图，直线 与圆 相交
于 （ 在 轴的上方）， 两点，圆 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），将平面 沿 轴
折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半轴和 轴所确定的半平面（平面
）互相垂直，再以 为坐标原点，折叠后原 轴负半轴，原 轴正半轴，原 轴正半轴所在直线分
别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若 ．
（ⅰ）求三棱锥 的体积；
（ⅱ）求二面角 的余弦值．
（2）是否存在 ，使得 折叠后 长度与折叠前的长度之比为 ？若存在，求 的值；若不存在，
的
请说明理由．
厦泉五校 2024-2025 学年高二年级第一学期期中联考
数学试题
一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3. “
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6
【答案】C
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.
【答案】ACD
10.
【解析】
11.
【答案】ABC
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.
【答案】
13.【答案】 ##14.
【答案】
四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.
【解析】
【分析】（1）利用垂直关系求出直线 的斜率，进而求出其方程.
（2）求出直线的交点坐标即可.
【小问1详解】
由 边上的高所在直线 的斜率为1，得直线 的斜率为 ，
又直线 过 ，所以直线 的方程为 ，即 .
【小问2详解】
由直线 的方程为 ，而顶点 为直线 与直线 的交点，
由 ，解得 ，
所以点 .
16.
【解析】
【分析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值；
（2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积.
【小问1详解】
由 ， ， ，
则 ， ， ， ，
所以 ；
【小问2详解】由（1）得 ，
则 ，
所以 .
17.
【解析】
【分析】（1）设圆 的方程为 ，由题意，列出方程组，求解得 的值，
即可写出圆 的方程；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点 的坐标，计算弦长验证，斜
率存在时，设 的方程为 ，由圆心到直线的距离等于半径求出 的值即得.
【小问1详解】
的
设圆 方程为 ，
由已知得 ，
解得 ， ， ，
所以圆 的方程为 ，即 ；
【小问2详解】
① 若直线 有斜率，可设 的方程为 ，即 ，
由已知，则圆心 到直线 的距离解得 ，
此时，直线 的方程为 ，即 ；
② 若直线 没有斜率，则 的方程为 ，
将其代入 ，可得 或 ，
即得 ， ，满足条件 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ．
18.
【解析】
【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点 在椭圆上，所以|MF |+|MF |=2a，从而
1 2
可求出 的值，再由 可求出 ，从而可求得椭圆C的标准方程；
（2）设 ，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，
消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出 AOB的面积，列方程可求出 的值，进而可得直线AB的
方程. △
【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为 =1（a＞b＞0），
因为椭圆的左焦点为F（﹣ ，0），设椭圆的右焦点为F（ ，0），
1 2
由椭圆的定义知|MF |+|MF |=2a，所以2a=4，所以a=2，
1 2
所以 ，
所以椭圆C的方程为 +y2=1，
（2）设 ，由题可设直线AB的方程为x=my+1.
联立直线与椭圆的方程， ，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，
则有 ，
所以
又由S= ，即
解得m2=1，即m=±1.
故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0
19.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由已知，可得 ， ，即可求得求三棱锥 的体
积；
（ⅱ）求出平面 的一个法向量 和平面 的一个法向量 ，
利用向量的坐标运算即可求得二面角 的余弦值．
（2）分别求出 折叠前的长度与折叠后的长度，比为 时，求得 ，可得答案.
【小问1详解】（ⅰ）若 ，折叠前直线 的方程为 ，
联立 ，解得 或 ，可得 ， ，
圆 ： ，与 轴交于 两点，则 ，
折叠后三棱锥 的体积为 ．
（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则 ， ， ， ，
， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
易知 为平面 的一个法向量，
设二面角 的大小为 ，由题可知 为锐角，
所以故二面角 的余弦值为 ．
【小问2详解】
设折叠前A(x ,y )，B(x ,y )，圆心 到直线 的距离 ，
1 1 2 2
则 ，
直线 与圆 方程联立 得 ，
即 ， ．
设 ， 在新图形中的对应点分别为 ，
， ，
．
若 折叠后的长度与折叠前的长度之比为 ，
则 ，解得 ，
故当 时， 折叠后的长度与折叠前的长度之比为 ．
