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固镇县毛钽厂实验中学 2024~2025 学年高三 11 月月考
数学
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数､平
面向量､数列（数列的概念､等差数列）.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解.
【详解】依题意，解不等式 ，得 ， ，
而 ，因此 ，
所以 中元素的个数为8．
故选：B
2. 等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据等差数列通项公式可得 与 ，进而可得解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
则 ，
解得 ，
则 ，
所以 ，
故选：A.
3. 函数 在区间 上的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于 ，所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故函数的最小值为5.
故选：D.
4. 已知 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由 ，
由 ，
可得 ，
所以 .
故选：C
5. 在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理将 化简为 ，从而可求解.
【详解】由 ，得 ，
化简得 ，
当 时，即 ，则 为直角三角形；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，得 ，则 为等腰三角形；
综上： 为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
6. 如图，在正八边形 中， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解.
【详解】分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形 的边长
为1，
可得 ， ， ， ，
所以 ， ， .
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
7. 已知函数 ，其中 ，若 在区间 内恰有两个极值点，且
，则实数 的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题干先求出 的范围，进而求出 的范围，再根据 得出函数 的
图象关于点 中心对称，最后根据 图像的对称中心得出结论.
【详解】由题意知，函数 在 内有两个极值点，
设两个极值点分别为 ，则 ，则 （ 为函数 的最小正周期），
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学科网（北京）股份有限公司解得 .又 ，所以 ，
由 ，得函数 的图象关于点 中心对称，
即 ，即 ，
由 ，得 ，即 的取值集合为 .
故选：B
.
8 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，化简得到 ，构造函数 ，利用导数求得 在
上单调递减，得到 ，再由 ，得到 ，即可求解.
【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得 ，
构造函数 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，故 ，即 ，
又由 ，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司其中 且 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量 ，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 若 ，则 的值为
C. 若 ，则 的值为
D. 若 ，则 与 的夹角为锐角
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.
【详解】对于A，因为 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B不正确；
对于C，因为 ，所以 ，故C不正确；
对于D，当 时， ，所以 ，故D不正确.
故选：BCD.
10. 朱世杰（1249年—1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家､教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪
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学科网（北京）股份有限公司世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问
题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大
小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，
顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为 ，共有44层，问全垛共有多少个果
子？现有一个 层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列 ，其前 项和为 ，则下列
结论正确的是（ ）（参考公式： ）
A.
B. 是等差数列
C. 函数 单调递增
D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15080
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可.
【详解】对于A，每层的果子数分别为 ，
构成数列 ，则易知 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， 时， ，
故 为等差数列，故B正确；
对于C，
，则 ，故 单调递增，C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：BC.
11. 设 与其导函数 的定义域均为 ，若 的图象
关于 对称， 在 上单调递减，且 ，则（ ）
A. 为偶函数 B. 的图象关于原点对称
C. D. 的极小值为3
【答案】AB
【解析】
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为 的图象关于 对称，所以 ，
即 ，则 为偶函数，故A正确；
由 得， ，两边取导数得， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 ，则 是奇函数，
所以 图象关于点原点对称，故B正确；
由上可知， ，又由 得 ，
所以 ，则 ，
所以有 ，即函数 是一个周期函数且周期为8；
又由 ，令 得， ，
则 ，故C错误；
由 在 上单调递减，又 的图象关于点 对称可知，
在 上单调递减，所以 在 上单调递减，
又 的图象关于 对称，所以 在 上单调递增，
由周期性可知， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值，即 ，故D错误，
故选：AB.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a.
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学科网（北京）股份有限公司三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，若 ，则该扇形的面积为__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据余弦值确定圆心角，再根据扇形面积公式可得解.
【详解】 ， ，
或 ，
该扇形的面积 或 ，
故答案为： 或 .
13. 已知等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，若 ，且 ，则 的取值范
围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列前 项和公式求得公差，再由 得到 求解即可.
【详解】设公差为 ，由 得 ，
则 .
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学科网（北京）股份有限公司由 得 即 解得 .
故答案为：
14. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】不等式转化成 ，结合 和 在(0,+∞)上的单调性即
可求解.
【详解】因为x∈(0,+∞)，所以 恒成立，即 恒成立，
因为 在(0,+∞)上单调递减， 在(0,+∞)上单调递增，
若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于 轴正半轴上一点（否则必存在 ，使
），
所以当 ，即 且 时，原不等式恒成立，
所以 （负值舍去）.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知 、 、 为 的三个内角，向量 与
共线，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求函数 的值域．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为 ，计算出角 的取值范围，利用正
弦型函数的基本性质可求得函数 的值域.
【详解】（1）由已知条件可得 ，
即 ，可得 ，即 ，
，则 ，
，则 ，所以， ，故 ；
（2）
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 ，所以， ，则 .
.
所以，
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16. 已知数列 的前 项和为 且 .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前90项的和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，可得 ，两式相减
化简可得 ，即可的证；
（2）由（1）得 ，讨论 可得 ，或 ，则得 的前90项的和为
又
，计算可得答案.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
因为 ， ，
所以 ，数列 是公差为2，首项为1的等差数列.
【小问2详解】
由（1）得 ，
当 或 时， ，
当 或 时， ，
所以数列 的前90项的和为
，
因为 ，
则上式
.
17. 如图，在四边形 中． ， ， ， 平分 且 与 相交
于点 ．
（1）若 的面积为 ，求 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 与 的面积之比．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在 中，明确 ， ， ，利用余弦定理可求 .
（2）在 中，先用正弦定理求出 ，求出 的面积，进一步求出 的面积，即可求
与 的面积之比.
【小问1详解】
在 中， ， ， .
所以 .
在 中， ， ， .
所以 ， .
在 中， ， ， ，
由 得： ，
由余弦定理，得：
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
【小问2详解】
因为 .
在 中， ， ， ，
所以 .
由正弦定理，得： .
所以 .
所以 .
所以 .
18. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： .
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求出导函数，然后根据 和 分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；
（2）根据（1）的结论知 ，令 得 ，结合对数运算累加法即
可证明.
【小问1详解】
的定义域为 .
，
①当 时， 在 上单调递增；
②当 时， 时， 在 上是增函数．
时， 在 上是减函数，
时， 在 上是增函数.
【小问2详解】
由（1）得，当 时， ， 在(0,3)上是减函数，
即当 时， ，所以 ，
令 得， ，即 ，
所以 ，得证.
19. 对于函数 ，若存在正常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我们
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学科网（北京）股份有限公司称函数 为“ 同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数 ， 都不是“ 同比不减函数”；
（2）若函数 是“ 同比不减函数”，求 的取值范围；
（3）是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不减函数”，若存在，求 的取值
范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【解析】
【分析】（1）取特殊值使得 不成立，即可证明；
（2）根据“ 同比不减函数”的定义， 恒成立，分离参数 ，构造函
数，转化为 与函数的最值关系，即可求出结果；
（3）去绝对值化简函数 解析式，根据“ 同比不减函数”的定义，取 ，因为
成立，求出 的范围，然后证明对任意的 ， 恒成
立，即可求出结论.
【详解】证明：（1）任取正常数 ，存在 ，所以 ，
因为 ，
即 不恒成立，
所以 不是“ 同比不减函数”.
（2）因为函数 是“ 同比不减函数”，
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学科网（北京）股份有限公司所以 恒成立，即 恒成立，
对一切 成立.
所以 .
（3）设函数 是“ 同比不减函数”，
，
当 时，因为 成立，
所以 ，所以 ，
而另一方面，若 ，
（Ⅰ）当 时，
因为 ，
所以 ，所以有 成立.
（Ⅱ）当x∈(−1,+∞)时，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
即 成立.
综上，恒有有 成立，
所以 的取值范围是 .
【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较
难题.
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学科网（北京）股份有限公司
