2009年高考数学试卷（文）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答 一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R， 则实数a的取值范围是__________________. 4 5 x 3. 若行列式1 x 3 7 8 9 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是___________ _______. 4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是___________ _____. 5.如图，若正四棱柱ABCD— A B C D 的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 与AD所成角的大小是____________ 1 1 1 1 1 _______ (结果用反三角函数值表示). w.w.w.zxxk.c.o.m 第1页 | 共16页S R 6.若球O 、O 表示面积之比 1 4，则它们的半径之比 1 =_______ 1 2 S R 2 2 ______. w.w.w.zxxk.c.o.m ìy£2x ï 7.已知实数x、y满足íy³-2x 则目标函数z=x- ï x£3 î 2y的最小值是___________. w.w.w.zxxk.c.o.m 8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴 旋转一周所成的几何体体积是 。 w.w.w.zxxk.c.o.m p 9．过点A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线y2 2x交于M、N 两点，则 4 MN = 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10.函数 f(x)2cos2 x+sin2x的最小值是 。 11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者 中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。 x2 y2 12.已知F、F 是椭圆C: + 1(a>b>0)的两个焦点， p为椭圆C上的一点，且 1 2 a2 b2 PF ^ PF 。若DPFF 的面积为9，则b . 1 2 1 2 w.w.w.zxxk.c.o.m æ p pö 13.已知函数 f(x)sinx+tanx。项数为27的等差数列{a }满足a Î ç - , ÷ ,且公差 n n è 2 2ø d ¹0,若 f(a )+ f(a )+...+ f(a )0，则当k= 时， f(a )0. 。 1 2 27 k 14.某地街道呈现东——西、南—— 第2页 | 共16页北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴 建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（- 2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。 二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 15．已知直线l :(k-3)x+(4-k)y+10,与l :2(k-3)x-2y+30,平行，则K得值是 1 2 （ ） w.w.w.zxxk.c.o.m （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2 16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长 为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 17．点P（4，－2）与圆x2 + y2 4上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ） （A）(x-2)2 +(y+1)2 1 （B）(x-2)2 +(y+1)2 4 （C）(x+4)2 +(y-2)2 4 （D）(x+2)2 +(y-1)2 1 18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群 体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ） （A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 . （C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 . 第3页 | 共16页三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分14分） 已知复数z a+bi（a、bÎR+）(I是虚数单位)是方程x2 -4x+50的根 . 复数 wu+3i（uÎR）满足 w-z <2 5，求 u 的取值范围 . w.w.w.zxxk.c.o.m 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ur 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a,b)， r ur n(sinB,sinA)， p(b-2,a-2) . ur r （1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形； w.w.w.zxxk.c.o.m ur ur p （2） 若m⊥ p，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 . 3 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 第4页 | 共16页ì a 0.1+15ln , x£6, ï ï a-x f(x)í x-4.4 w.w.w.zxxk.c.o.m ï , >6 ïî x-4 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（xÎN*）， f(x)表 示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关. （1）证明：当x ³7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； w.w.w.zxxk.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满 分8分. 已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F 3，0  ，一条渐近线m:x+ 2y 0,设过点A v (-3 2,0)的直线l的方向向量e(1,k)。 （1） 求双曲线C的方程； w.w.w.zxxk.c.o.m （2） 若过原点的直线a//l，且a与l的距离为 6 ，求K的值； 2 （3） 证明：当k > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 . 2 第5页 | 共16页23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分 8分. 已知a 是公差为d的等差数列，b 是公比为q的等比数列 n n （1）若 a 3n+1，是否存在m,nÎN*，有a +a a ？请说明理由； n m m+1 k （2）若b aqn（a、q为常数，且aq¹0）对任意m存在k，有b ×b b ，试求a、q满 n m m+1 k 足的充要条件； （3）若a 2n+1,b 3n试确定所有的p,使数列b 中存在某个连续p项的和式数列中 n n n a 的一项，请证明. n w.w.w.zxxk.c.o.m 第6页 | 共16页上海 数学试卷（文史类） 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴 上条形码。 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 1．【答案】3 x-1 【解析】由y＝x3+1，得x＝3 y-1，将y改成x，x改成y可得答案。 2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R， 则实数a的取值范围是__________________. 2．【答案】a≤1 [来 【解析】因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a≤1。 4 5 x 3. 若行列式1 x 3 7 8 9 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是___________ _______. 8 3．【答案】x> 3 8 【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：x> 3[ 4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________ ________. ì2x,x<1 4．【答案】y í îx-2,x>1 【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝2x，所以，有分段函数。 5.如图，若正四棱柱ABCD— A B C D 的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 与AD所成角的大小是__ 1 1 1 1 1 _________________ (结果用反三角函数值表示). w.w.w.zxxk.c.o.m 第7页 | 共16页5．【答案】arctan 5 【解析】因为AD∥A D ，异面直线BD 与AD所成角就是BD 与A D 所在角，即∠A D B， 1 1 1 1 1 1 1 1 由勾股定理，得A B＝2 5，tan∠A D B＝ 5，所以，∠A D B＝arctan 5。 1 1 1 1 1 S R 6.若球O 、O 表示面积之比 1 4，则它们的半径之比 1 =_____________. 1 2 S R w.w.w.zxxk.c.o.m 2 2 6．【答案】2 4pR2 R 【解析】由 1 ＝4，得 1 ＝2。 4pR2 R 2 2 ìy£2x ï 7.已知实数x、y满足íy³-2x 则目标函数z=x- ï x£3 î 2y的最小值是___________. w.w.w.zxxk.c.o.m 7．【答案】－9 【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： 1 1 y  x－z，画直线y  x及其平行线，当此直线经过点A 2 2 时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z 的最小值为：3－2×6＝－9。 8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体 体积是 。 w.w.w.zxxk.c.o.m 8p 8．【答案】 3 1 8p 【解析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V＝ p42＝ 3 3 p 9．过点A（1，0）作倾斜角为 的直线，与抛物线y2 2x交于M、N 两点，则 4 MN = 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9．【答案】2 6 【解析】直线方程为y＝x－1，代入抛物线y2 2x，得：x2－4x＋1＝0，x ＋x ＝4，x 1 2 1 x ＝1，则|MN | (x -x )2 +(y - y )2 ＝ 2(x -x )2 ＝ 2[(x + x )2 -4x x ] 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ＝2 6 第8页 | 共16页10.函数 f(x)2cos2 x+sin2x的最小值是 。 10．【答案】1- 2 p 【解析】 f(x)cos2x+sin2x+1 2sin(2x+ )+1，所以最小值为：1- 2 4 11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者 中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。 5 11．【答案】 7 w.w.w.zxxk.c.o.m 【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有 C3 2 2 5 ：C3，概率为:： 5  ，所以，均不少于1名的概率为：1－  。 5 C3 7 7 7 7 x2 y2 12.已知F、F 是椭圆C: + 1(a>b>0)的两个焦点， p为椭圆C上的一点，且 1 2 a2 b2 PF ^ PF 。若DPFF 的面积为9，则b . 1 2 1 2 w.w.w.zxxk.c.o.m 12．【答案】3 ì| PF |+| PF | 2a 1 2 ï 【解析】依题意，有í| PF || PF |18 ，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝ 1 2 ï | PF |2 +| PF |2 4c2 î 1 2 3。 æ p pö 13.已知函数 f(x)sinx+tanx。项数为27的等差数列{a }满足a Î ç - , ÷ ,且公差 n n è 2 2ø d ¹0,若 f(a )+ f(a )+...+ f(a )0，则当k= 时， f(a )0. 。 1 2 27 k 13．【答案】14 【解析】函数 f(x) sinx+tanx在 p p (- ，)是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为 2 2 a +a  a +a  2a ， 1 27 2 26 14 w.w.w.zxxk.c.o.m 所以 f(a )+ f(a ) f(a )+ f(a ) f(a )0，所以当k 14时， f(a ) 0 1 27 2 26 14 k . 14.某地街道呈现东——西、南—— 第9页 | 共16页北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴 建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（- 2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。 14．【答案】（3，3） 【解析】设发行站的位置为x,y，零售点到发行站的距离为 z 2 x+2 + y-2 +2 x-3 + y-1 + y-4 + y-3 + x-4 + y-5 + x-6 + y-6 -2+3+3-2+4+6 2+1+4+3+5+6 7 ，这六个点的横纵坐标的平均值为 2，  ， 6 6 2 记 7 A（2， ），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比 2 较可知，在（3,3）处z取得最小值。 二。、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。 15．已知直线l :(k-3)x+(4-k)y+10,与l :2(k-3)x-2y+30,平行，则K得值是 1 2 （ ） w.w.w.zxxk.c.o.m （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2 15、【答案】C 3-k 【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得： ＝k－3 4-k ，解得：k＝5，故选C。 16，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长 为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 16、【答案】B 【解析】从正面看，应看到直角边为3的顶点，而高为4，故正视图应为B。 17．点P（4，－2）与圆x2 + y2 4上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]（ ） 第10页 | 共16页（A）(x-2)2 +(y+1)2 1 （B）(x-2)2 +(y+1)2 4 （C）(x+4)2 +(y-2)2 4 （D）(x+2)2 +(y-1)2 1 17、【答案】A ì 4+s x  ï ï 2 【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则í ，解得： -2+t ï y  ï î 2 ìs  2x-4 í ，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得： ît  2y+2 (x-2)2 +(y+1)2 1 18．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群 体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”. 根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 [答]（ ） （A）甲地：总体均值为3，中位数为4 . （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 . （C）丙地：中位数为2，众数为3 . （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3 . 18、【答案】D 【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中， 中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0 ，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果 有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D. 三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分14分） 已知复数z a+bi（a、bÎR+）(I是虚数单位)是方程x2 -4x+50的根 . 复数 wu+3i（uÎR）满足 w-z <2 5，求 u 的取值范围 . w.w.w.zxxk.c.o.m 19.解：原方程的根为 x 2±i 1,2 Qa、bÎR+,\z 2±i w.w.w.zxxk.c.o.m 第11页 | 共16页Q w-z  (u+3i)-(2+i)  (u-2)2 +4 <2 5 \-26 ïî x-4 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（xÎN*）， f(x)表 示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关. （1）证明：当x ³7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； w.w.w.zxxk.c.o.m （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］, (127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 第12页 | 共16页0.4 21题。证明（1）当x³7时， f(x+1)- f(x) (x-3)(x-4) [来 而当x³7时，函数y (x-3)(x-4)单调递增，且(x-3)(x-4)>0 故函数 f(x+1)- f(x)单调递减 w.w.w.zxxk.c.o.m 当x³7时，掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降 a (2)有题意可知0.1+15ln 0.85 a-6 a 整理得 e0.05 a-6 e0.05 解得a ×620.506123.0,123.0Î(121,127]…….13分 e0.05 -1 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满 分8分. 已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F 3，0  ，一条渐近线m:x+ 2y 0,设过点A v (-3 2,0)的直线l的方向向量e(1,k)。 （4） 求双曲线C的方程； w.w.w.zxxk.c.o.m （5） 若过原点的直线a//l，且a与l的距离为 6 ，求K的值； 2 （6） 证明：当k > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 . 2 22．【解】（1）设双曲线C的方程为x2 -2y2 l(l>0) l x2 \l+ 3，解额l2双曲线C的方程为 - y2 1 2 2 （2）直线l:kx- y+3 2k 0，直线a:kx- y 0 |3 2k| 2 由题意，得  6，解得k ± 1+k2 2 （3）【证法一】设过原点且平行于l的直线b:kx- y 0 第13页 | 共16页3 2|k| 2 则直线l与b的距离d  ,当k > 时，d > 6 1+k2 2 又双曲线C的渐近线为x ± 2y 0 w. \ 双曲线C的右支在直线b的右下方， \ 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 6 。 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 【证法二】假设双曲线C右支上存在点Q(x ,y )到直线l的距离为 6 ， 0 0 ì|kx - y +3 2k ï 0 0  6 (1) 则í 1+k2 ï x2 -2y2 2 (2) î 0 0 由（1）得y kx +3 2k± 6× 1+k2 0 0 设t 3 2k± 6× 1+k2 ， 2 当k > 时，t 3 2k+ 6× 1+k2 >0； 2 2k2 -1 t 3 2k+ 6× 1+k2  6 >0 3k2 + 1+k2 将y kx +t 代入（2）得(1-2k2)x2 -4ktx -2(t2 +1)0 0 0 0 0 2 k > ,t >0， Q 2 w.w.w.zxxk.c.o.m \1-2k2 <0, -4kt <0, -2(t2 +1)<0 \ 方程(*)不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分 8分. 已知a 是公差为d的等差数列，b 是公比为q的等比数列 n n （1）若 a 3n+1，是否存在m,nÎN*，有a +a a ？请说明理由； n m m+1 k 第14页 | 共16页（2）若b aqn（a、q为常数，且aq¹0）对任意m存在k，有b ×b b ，试求a、q满 n m m+1 k 足的充要条件； （3）若a 2n+1,b 3n试确定所有的p,使数列b 中存在某个连续p项的和式数列中 n n n a 的一项，请证明. n w.w.w.zxxk.c.o.m 23．【解】（1）由a +a a ,得6m+6+3k+1， m m+1 k 4 整理后，可得k-2m , 3 m、kÎN，\k-2m为整数 Q \不存在n、kÎN*，使等式成立。 （2）当m1时，则b ×b b ,\a2×q3 aqk 1 2 k \aqk-3,即aqc，其中c是大于等于-2的整数 反之当aqc时，其中c是大于等于-2的整数，则b qn+c ， n 显然b ×b qm+c×qm+1+c q2m+1+2c b ，其中k 2m+1+c m m+1 k \a、q满足的充要条件是aqc，其中c是大于等于-2的整数 （3）设b +b + +b a m+1 m+2 L m+p k 当 p为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数， w.w.w.zxxk.c.o.m 当 p为偶数时，(*)式不成立。 3m+1(1-3p) 由(*)式得 2k+1，整理得3m+1(3p -1)4k+2 1-3 当 p1时，符合题意。 当 p³3， p为奇数时， 3p -1(1+2)p -1 第15页 | 共16页C0 +C1 ×21+C2×22 + +Cp×2p -1 p p p L p C1 ×21+C2×22 + +Cp×2p p p L p 2  C1 +C2×2+ +Cp×2p-1 p p L p 2é2  C2 +C2×22 + +Cp×2p-2 + pù ë p p L p û \ 由3m+1(3p -1)4k+2，得 3m+1é2  C2 +C2×22 + +Cp×2p-2 + pù 2k+1 ë p p L p û [ \当 p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立。 \当 p为奇数时，命题都成立。 w.w.w.zxxk.c.o.m 第16页 | 共16页