文档内容
2025第四章
微分中值定理第一部分 知识点解析
一、函数中值定理(闭区间上连续函数的性质)
1.最大值和最小值定理 若 f ( x ) 在
a , b
上连续，则 f ( x ) 在
a , b
上必有
最小值和最大值．
2.零点定理 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， 且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号，那么在
开区间
(
a , b
)
内至少有一点使 f () = 0．3.介值定理 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， 在这区间内 f ( x ) 最小值是m
最大值是M ，则任取m C M ，在闭区间 [ a , b ] 内至少有一点，使得
f ( ) C = ．
4.平均值定理 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，当 a x
1
x
2
x
n
b
f (x ) + f (x ) + + f (x )
时,则在[x , x ]内至少存在一点, 使 f () = 1 2 n .
1 n
n二、微分中值定理
1.费马引理 设函数 f ( x ) 在点 x
0
的某邻域内有定义 且满足：
(1)在 x
0
处可导; (2) 在 x
0
处取得极值，那么 f ( x ) = 0
0
2.罗尔定理 设函数 f ( x ) 满足：
(1)在闭区间 [ a , b ] 上连续；(2)在开区间 ( a , b ) 内可导；(3) f ( a ) = f ( b ) ;
则至少存在一点
(
a , b
)
，使得 f () = 0．( )
3.拉格朗日中值定理 设函数 f x 满足：
(1)在闭区间 [ a , b ] 上连续；(2)在开区间 ( a , b ) 内可导；
则至少存在一点 ( a , b ) ，使得 f ( )
f ( b
b
)
a
f ( a )
=
−
−
．
4.柯西中值定理 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间
(
a , b
)
内可导，且 g ( x ) 0 ，
则至少存在一个
(
a , b
)
使得
f
g
(
(
b
b
)
) g
f
(
(
a
a
)
) f
g
(
(
)
)
−
−
=
．5.泰勒中值定理(带有拉格朗日余项的泰勒公式)如果 f ( x ) 在 x
0
的一个
邻域内 n + 1 阶可导， 则
f ( x ) f ( x
0
)
f (
1
x
!
0
)
( x x
0
)
f ( n
n
) (
!
x
0
)
( x x
0
) n
f
(
(
n
n 1 )
1
(
) !
)
( x x
0
) n 1
= +
− + + − +
+
+
− +
, 其中是 x 到
0
x 之间的某个值.
注：
(
a , b
)
的等价形式是 a ( b a ) = + − ，其中 ( 0 , 1 ) .三、定积分中值定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 则至少存在
一个点 [ a , b ] 使
a
b
f ( x ) d x ( b a ) f ( ) = − .
推广的积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 则至少存
在一个点 ( a , b ) 使
a
b
f ( x ) d x ( b a ) f ( ) = − .
注：默认用开区间的版本.第二部分 题型解析
题型一：单中值等式问题(★★★★)
解题思路——碰到单中值定理问题后，分析步骤如下：
第一步、分析待证结论，如果左右两边都含中值，务必要把它们移项
放到同一侧. 比如要证存在使 f ( ) = 先变成证 f ( ) 0 − = .
如果两边是分式，则十字交叉相乘再移项,比如要证存在使得
f
g
(
(
)
)
f
g
(
(
)
)
=
，先交叉相乘再移项变成证 f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 0 − = .第二步、分析待证结论的左右两端，寻求恰当的中值定理来证明.
情形一、 F ( ) 0 = 型：只要找到两点函数值异号，对 F ( x ) 用零点定
理即可得证.
情形二、 F ( ) C = 型：应该用介值定理或平均值定理来证明，关键
要证出该常数 C 介于 F ( x ) 在某区间内的最小值 m 和最大值 M 之间.情形三、 F ( ) 0 = 型：对 F ( x ) 用罗尔定理或费马引理证明. 几种构
造辅助函数的方法：
方法一——直接积分法：如果待证等式左端可直接积分，则积分
结果即为辅助函数F(x).
方法二——公式法：如果待证结论为 f ( ) g ( ) f ( ) 0 + = ，则辅
助函数为 F ( x ) = f ( x ) e
g ( x ) d x
，这类问题都可以用此公式构造辅助函数
F(x).方法三——还原法：利用一些常见函数的导数来还原辅助函数：
f (x) 1
1. = ln f (x) ; f (x) f (x) = f 2(x) ;
f (x) 2
2. f (x)g(x) + f (x)g(x) = f (x)g(x)
f (x)g(x) − f (x)g(x) f (x)
3. =
g2(x) g(x)
4.e x f (x) + f (x) = e x f (x) ;
e −x f (x) − f (x) = e −x f (x) .
情形四、 F ( ) 0 = 型
应对F(x)使用罗尔定理来得到证明. 比如如能找到三点函数值
F ( a ) = F ( b ) = F ( c ) ，或者找到两点导数值 F ( a ) = F ( b ) 即可得到结论.
情形五、 F ( ) C = 或 F ( ) 0 ( F ( ) 0 或 F ( ) 0 )
找两个不相等的函数值，然后用拉格朗日中值定理来解决.
f ()
情形六、 = F(a,b)型
g()
应考虑对两个函数 f (x)与 g(x)使用柯西中值定理证明.【例4.1】 设函数 f ( x ) ， g ( x ) 在
a , b
上连续，在 ( a , b ) 内二阶可导且存
在相等的最大值，又 f (a)＝ g(a)， f (b)＝ g ( b ) ，证明：存在 ( a , b ) ,
使得 f ( ) g ( ) . = 【例4.2】 已知 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续, 在 ( 0 , 1 ) 内可导, 且
f ( 1 ) = 1 , f ( 0 ) =
1
2
, 证明在 ( 0 , 1 ) 内至少有一点, 使得(1+) 2 f () = 1.【例4.3】 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上二阶可导，并且 g ( x ) 0 ，
g(x) 0， f ( a ) = f ( b ) = g ( a ) = g ( b ) = 0 ，证明存在 ( a , b ) ，使
f
g
(
(
)
)
f
g
(
(
)
)
=
.【例4.4】 设 f ( x ) 在[1,2]上连续，在 ( 1 , 2 ) 内可导, f ( 1 ) =
1
2
, f ( 2 ) = 2 ，求
证：至少存在一点(1,2)，使得 f ( )
2 f ( )
= .【例4.5】 设 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明：存在(0,1)使
( 1 ) f ( )
0
f ( t ) d t
− = .【例4.6】 设奇函数 f ( x ) 在 [ − 1 , 1 ] 上具有二阶导数，且 f (1) = 1，证明：
(1)存在 ( 0 , 1 ) ，使得 f () = 1；(2)存在 ( 1 , 1 ) − ，使得 f ( ) f ( ) 1 + = ．【例4.7】 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上具有二阶导数，且
f ( a ) 0 , f ( b ) 0 ,
a
b
f ( x ) = 0 ，证明：至少存在一点 ( a , b ) ，使
f ( ) 0 .题型二：双中值等式问题(★★★)
解题思路——既含又含两个不同中值的问题称作双中值问题.
碰到双中值定理问题后，分析步骤如下：
1. 分析待证结论，如果和纠缠在一起，务必要把它们分开.
2. 分析待证结论，寻求恰当的方法来证明.情形一、和处结构不同
这种问题主要看所有含的部分为一个函数的导数，还是两个函数
的导数商，如果是一个函数的导数，则对其用拉格朗日中值定理；如
果是两个函数的导数商，则对这两个函数用柯西中值定理. 部分处理
方法与部分相同.情形二、和处结构相同
如果和处结构都是同一个函数在两个不同点处的导数，则关键
点在于选择一点c 将 [ a , b ] 分成两个区间，在两个区间上分别用两次拉格
朗日中值定理得到部分和部分. 这里，分界点 c 一般选取题目中的已
a + b
知点，或区间中点 .
2【例4.8】 已知函数 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) 内可导，且
f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 证明：(1)存在(0,1), 使得 f ( ) 1 = − ；(2)存在两个不同的点 , ( 0 , 1 ) ，使得 f ( ) f ( ) 1 . =【例4.9】 设 f ( x ) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续,在开区间 ( 0 , 1 ) 内可导,且
f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) =
1
3
,证明:存在 0 ,
1
2
,
1
2
, 1
,使得
2 2
f () + f () = + .【例4.10】 设 f ( x ) 在[a,b]上连续，在 ( a , b ) 内可导，且 0 a b ，证
明：存在 , ( a , b ) ，使得 f ( ) f ( )
l n
b
( b /
a
a )
=
−
.题型三、含高阶导数的中值问题(★★)
如果题目包含一个函数的各阶导数或高阶 ( 2 阶 ) 导数信息(已知条件或
待证结论都可)，则应考虑用泰勒中值定理来证明，这里的关键点往往
是展开点 x
0
的选取，
(1)如果题目只给出了一个具体点 x
0
，则把 f ( x ) 在 x
0
处展开证明；
(2)如果题目给出多个具体点，则把 f ( x ) 在出现导数信息最多的点处展
开；
(3)无具体导数点，可选区间中点.【例4.11】 设 f ( x ) 在 [ − 1 , 1 ] 上具有三阶连续导数,且
f ( 0 ) = 0
f ( − 1 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,
,证明:存在 ( 1 , 1 ) − ,使得 f () = 3.
