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(89)-高数专项练题10_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

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第七章
无穷级数  
例7.1 已知级数  (1)n1a  2，  a  5，则级数  a 等于（ C ）
n 2n1 n
n1 n1 n1
（A）3 （B）7 （C）8 （D）9
&
Fan
= al-an + as-ap + 2
&
ama + as = 5
=
3
ant =
=
al th sta =例7.2 设{u }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
n
 u  1  u 
(A)  n (B)  (1)n (C)  (1  n ) (D)  (u2 u2 )
n1 n
n u u
n1 n1 n n1 n1 n1
-In
*
(A) -- Un = -
Un
=
- =E
(n)
*
(B) Rum
- = =
,
i
=: T
*** F例7.2 设{u }是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
D
n
 u  1  u 
(A)  n (B)  (1)n (C)  (1  n ) (D)  (u2 u2 )
n1 n
n u u
n1 n1 n n1 n1 n1
-
:
(C) un =
-
(r =
.
2
Mum-Un
STE
=
TTY
u5 mi-ui
() Sn
- =
= (Wit-Un Mus
=
ap"-a
+
(-)
- Mus
P
=
&↑
  v
例7.3 若  nu 绝对收敛，  n 条件收敛，则 ( ).
Bo
n
n
n1 n1 ·
 
X 
(A) u v 条件收敛 (B) u v 绝对收敛
n n n n
t
n1 n1
 
X   X  
(C) u +v 收敛 (D) u +v 发散
n n n n
nin
n1 n1
=
: SECU
Unn
35-
↳
= H
Ej SEFJYZER
35 Un Un = Un - Un =
= =
n3
= = H]
(Un Un) + (A) (C)(X)
+ =
.
= Unt
UNE
Un Un
=例7.4
下列级数中收敛的是( C ).
 (1) n  1  3 n n!
 
(A) (B)
n
lnn n
n2 n1
 1 1  sin(n) 1
 
(C) ln(1  ) (D) [  ]
n n n2 n
n1 n1
( )
+ 42
0
,
>
M s
a
3 3M
(B) p =
=
=
1)
Ch+
=
I
3
=
.(k) =
fix
(Sm -)
(D)
smti
Sand U
=>
E
Fi
i
: X
.
例7.5 设正项级数  u 收敛，则不一定收敛的级数为( D ).
n
n1
 u  u  
(A)  n (B)  n (C)  u2 (D)  nu
n n
1  u n
n1 n n1 n1 n1
n =n
*
nun
(D)
33- : Un =
⑪in
(A) un UzFX
un
33 :
==
EnD Fa
/
(B)
42) Ex
+ :
unun
=S
(C)
=1
(D) nun FGTE
= a n
例7.6 判断级数  敛散性，其中
2n
1  a
n1
a  0 .
am
#
AdSel a am 1
+
P Am
: =
=
Ham uts
1
G2n+2
+
IAT 1 45E2
D Eoca < P a < :
=
.
Eac(#f = 4k
② p
a
, =
.
③ Ear Af P 1 ERX
=
, , .
-  1 1 
例7.7 级数为   sin  n  k  ，（K 为常数）( A ).
 
 n n  1 
n1
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与 K 有关
-misment
U
1-
Su = ut
=
MS
GEXJUL/EX
:1 1 
例7.8 设a  ，a  a (a2  1),n  1,2, ，证明级数  a 收敛.
1 n1 n n n
2 2
n1
[i] = p = / Am = ( + 1) Ri Man B , ABB
x((H) = and
=
I az
a
= =
,
SEA <
35 --ai
: =
Ea (ai 1) < Ex( x (F + ) 1
az + =
0 < = .
Gz(a (x)x(i
+1) 1) 1
· < az = E < + =
i
# A 0 < An <I Can
tan (an 1) an an)-an
Cint-an = + - = +
5 (an -an) an (ant1) (an - 1) < 0
=
=
And
:
(x
Ean(an 1) iRfix Ex ( 1) ↓ + x)
+ =
35 =: cn +1 = + , =
fix &(3x 1) 20
+
=
-[an] * 31·
=
ip a 5 Gr
=
anti
:AP7
[an) ↓
:
Ca
M
~
ne Jan Canel)
I
Ant
=
a a
fa(x() = 2 = + a = - a = 0
=> a
=
-
1()a
=
a
a (a + +)(a - 1) = 0 = a = =0
=>
Im an 0
· =
Fin
m =I
=I
IG
P
=
 n 
例7.9 设 f  x  在  0,  上单调增加有界，求证  f  n    f  x  dx
 
 
n1
n1
收敛.
*
ux
fin-In fix finl-f(r)
She(m
n)
· .
fix 1
it
fini-flank
o
:
[25412
~
flut fie finl
n) / = =
[n -1
-
,
finaxe fix fill
ax= ax
fin = f(n)
+) =[
fax fini
fin-1)
=
: =
fint)
fin) Ifixax
- = -
: -
ful-F faxfints/
=
0 =
infini-final]
fix P
fini-fro)
fil-fol :
Sn
=
=
(fint- frol)
All Um Suz Umm
fix
+
- c
#(2)
fx) Tre
+
-
Y
[fil-fenti]
+1 " /X .: M !
2
-An-1)
finl
>
-
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