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二次函数中线段数量关系
方法突破练
1.如图,直线 y=2x+3经过A，B两点，点A的横坐标为 −2,,点 B的横坐标为 1，点 C 是线段 AB 上一点，
AC 1
当 = 时,求点 C 的坐标.
AB 3
2.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，连接AB，点 P 为线段AB 上
方抛物线上一点，过点 P 作 PQ⊥x轴于点Q,交AB于点H,当. PH=2HQ时，求点P的坐标.
3.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B 两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，
√2
点P是线段 BC上方抛物线上一点，过点 P 作线段 BC 的垂线，垂足为点 M.若. PM= OB,求点 P的横坐标.
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设问进阶练
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例 如图，抛物线 y=− x2+ x+3与x轴交于A，B两点(点 B在点A的右侧)，与y轴交于点 C，对称轴为
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直线l，作直线 BC.
(1)设点 E 是抛物线对称轴上一点，当 CE=BE时,求点 E 的坐标；
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(2)设点 F 是 x 轴上一点,且在点 B 左侧,当 sin∠FCB= sin∠FBC时，求点 F的坐标； (设问源自2022南
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充中考)
(3)若点 Q 是直线BC上方抛物线上一点，过点 Q作直线 QQ'‖y轴交直线 BC 于点( Q',交x轴于点 Z，当点
Q'
为线段 QZ的三等分点时，求点Q 的坐标.
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综合强化练
1. 创新题·阅读理解题 如图，抛物线( :y=ax²+bx+c(a⟩0)与y轴交于点 D，顶点为F，与直线l: y=x+2交
于A，B两点，直线l与y轴交于点G，与抛物线C的对称轴交于点 E.若记K(l， C)=EF⋅AB,,则称K(l,C)是直
线l与抛物线C的“截积”.
(1)若 a=1,，抛物线的对称轴为直线 x=−1,OD=4,，求此时K的值；
(2)在(1)的基础上，过点 F 作直线l的平行线l'，现将抛物线C 进行平移，使得平移后的抛物线 C' 的顶点. F' 落
在直线l'上，抛物线 C' 的对称轴与直线l交于点. E',试探究 K(l',C')是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，
请说明理由；
(3)设抛物线 C的函数表达式为 y=a(x−h)²+k,若 K(l,C)=8√2,AB=4√2,且点 F 在点 E 的下方，求a的
值.
作图区 答题区
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2.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,且( OB=OC.点 P 为抛物
线 y=ax²+bx+c上的一个动点，过点P作 PD⊥x轴于点 D,交直线 BC 于点 E.
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)当 DE= PD时，求此时点 P 的坐标；
3
(3)第一象限抛物线上是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的5倍?若存在，求出
点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
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线段数量关系
一阶 方法突破练
1. 解:如解图,过点 A 作 AD∥x轴,过点 B 作 BD⊥AD 于点 D,过点 C 作 CE⊥AD 于点 E,则 CE∥BD,
∴△ACE∽△ABD,
AE AC 1
∴ = = .
AD AB 3
∵ 点A 的横坐标为-2,点 B 的横坐标为1,
∴AD=3,AE=1,
∴点E 的横坐标为-2+1=-1.
由 CE∥y轴可得,点 C 与点 E 的横坐标相同.
当x=-1时,y=2x+3=1.
∴ 点C的坐标为(-1,1).
2.解：∵ 抛物线的解析式为 y=−x²+2x+3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点 B，
∴A(0,3),B(3,0),
∴ 直线AB 的解析式为：γ=-x+3,
设点 P 的坐标为 (m,−m²+2m+3)(03，
则 DE=t−3,PD=t²−2t−3,
1 1
∵DE= PD,∴t−3= (t2−2t−3),
3 3
解得t=2(舍去)或t=3(舍去),
∴此时点 P不存在；
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当点 P 在点 A 左侧的抛物线上时,t<-1,
则DE=0-(t-3)=3-t,PD=t²-2t-3,
1 1
∵DE= PD,∴3−t= (t2−2t−3),
3 3
解得t=-4或t=3(舍去),
∴P(-4,21).
综上所述,点P的坐标为(2,-3)或(-4,21);
(3)【思路点拨】画出草图，设出点P的坐标，表示出点E的坐标,表示线段PE,DE 的长,构造△PEH∽△DEG,列
式求解即可.
存在.
如解图,过点 P 作 PH⊥BC 于点 H,过点 D 作 DG⊥BC于点 G,则PH=5DG,
设 P(m,m²−2m−3)(m⟩3),则E(m,m-3),D(m,
),∴PE=m²−2m−3−(m−3)=m²−3m,DE=m−3,(
∵∠PHE=∠DGE=90°,
∠PEH=∠DEG,
∴△PEH∽△DEG,
PE PH
∴ = =5,
DE DG
m2−3m
即 =5,
m−3
解得m=3(舍去)或m=5,
∴P(5,12).
故存在点P,点P的坐标为(5,12).
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