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二次函数公共点问题综合练习
考向 1 与线段结合求取值范围
一阶 方法突破练
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点. A(−1,2),点B(3,2),若抛物线 y=x²−4x−3+c与线段AB有公
共点，结合函数图象，求c的取值范围.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点. A(−1,2),点B(3,2),若抛物线 y=x²−2bx+b²−1与线段AB有
公共点，结合函数图象，求b的取值范围.
3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3),B(3,5),若抛物线 y=(x−b)²+b(b≥0)与线段AB有公共点，
结合函数图象，求b的取值范围.
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4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0,−4),B(2,−2),若抛物线 y=ax²−2ax−a+2与线段AB
有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-3),B(2,2).若抛物线 y=ax²−2ax+a−2与线段AB有一个公共
点，结合函数图象，求a的取值范围.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点. A(−1,2),点B(3,2),若抛物线 y=ax²−4ax−5a与线段AB 有一
个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
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设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),( Q(2+2a,5a),抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0).
2
(1)当 a= ,b=0时，若抛物线与线段PQ 没有公共点，请结合函数图象，求c的取值范围；
5
2
(2)当 a= ,c=0时，若抛物线与线段PQ 有一个公共点，请结合函数图象，求b的取值范围；
5
(3)当 a=1,b=2时，若抛物线与线段PQ有一个公共点，请结合函数图象，求c的取值范围；
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(4)当 b=3a,c=a时，若抛物线与线段 PQ 没有公共点，请结合图象，求a的取值范围；
(5)当 b=−4a,c=0时，若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.
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综合强化练
1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=a(x−m)(x−n)(a≠0).
(1)若 m=1−2a,n=a−2,，求抛物线的对称轴(用含a的代数式表示)；
q 9
(2)创新题·代数推理 在(1)的条件下，设该抛物线的顶点坐标为(p，q)，当 a≠1时，求证： ≤ ;
p+a 8
(3)若 m=−1,n=3,，平面内有两点 P(2,−4),Q(−1,−4),，当抛物线与线段PQ 有公共点，求a的取值范
围.
作图区 答题区
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2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=mx²−2m(m+1)x+2(m≠0)与y轴交于点A，点A关于抛物线对称
轴的对称点为点 B.
(1)当 m=−2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若 AB=6,，求抛物线的解析式；
(3)已知点 P(m+3,2),Q(0,m+1),，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
作图区 答题区
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考向 2 与直线结合求取值范围
方法突破练
1.已知直线 y=kx与抛物线 y=x²+2x+3有两个交点，求k的取值范围.
2.已知直线 y=−x+3与抛物线 y=ax²−4ax+1(a⟩0)存在两个交点，设左侧的交点为点. P(x₁,y₁),当
−2≤x₁<−1时，求a的取值范围.
3.若直线 y=kx+2与抛物线 y=x(x−4)+2(0≤x≤3)有唯一公共点，求k的取值范围.
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设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax²−3ax+c(a≠0)与x轴交于点A，B(点A在点 B的左侧)，
与y轴交于点 C.
(1)若 a=c,，抛物线与直线 y=3x−1有两个交点，求a的取值范围；
(2)可创新题·直线平移考交点 已知直线. y=−x+4经过B,C两点，现将抛物线先向左平移2个单位长度，再向
上平移5个单位长度，得到一个新抛物线.当直线 y=2x+n与新抛物线有两个交点时，求n的取值范围；
(3)若 a=−1,c=1,，将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变得到新的函数图象.当直线
y=x+b与新函数的图象有4个交点时，求b的取值范围.
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综合强化练
1.如图，已知抛物线 C:y=x²−2x+3a+1(a为常数),直线l: y=2x−3与x轴交于点P，点M与直
线上的点 N(4,5)关于直线. x=1对称,连接PM.
(1)当 a=11时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)创新题·抛物线与折线交点 若抛物线经过原点，设抛物线与折线MPN的两个交点的
横坐标是 x₁,x₂(x₁0时,若抛物线经过点A(0,-4)时,a=6，此时抛物线与线段AB 只有1个交点.
若抛物线经过点B(2，-2)时，a=4，此时抛物线与线段 AB有2 个交点.
由题意知，AB所在直线解析式为y=x-4，
∴将抛物线与直线y=x-4联立，
得 ax²−2ax−a+2=x−4,即 ax²−(2a+1)x−a+6=0,
当抛物线与直线 y=x−4只有一个交点时，
则 Δ=(2a+1)²−4a(−a+6)=0,
5+√23 5−√23
解得 a = ,a = ,
1 4 2 4
5−√23
当 a= 时，抛物线与线段AB 无交点，故舍去.
4
5+√23
∴抛物线与线段AB有两个交点时，a的取值范围为 0，当抛物线经过点B(2，2)时，它与线段AB恰有
4
两个公共点，
此时2=4a-4a+a-2,解得a=4.
∵ 抛物线与线段AB 只有一个公共点，
1
∴结合函数图象可知，a的取值范围为 − ≤a<0或00时，如解图①，抛物线与线段AB无公共点.
当a<0时,∵ y=ax²−4ax−5a=a(x−2)²−9a,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-9a).
如解图②，当抛物线的顶点在线段 AB 上时，则-9a=2,
2
∴a=− .
9
1
如解图③，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，则当x=3时,y=9a-12a-5a=-8a>2,解得 a<− .
4
2 1
结合函数图象可知，a的取值范围为 a=− 或 a<− .
9 4
二阶 设问进阶练
例 (1)当
a=
2
,b=0时，抛物线 y=
2
x2+c,Q
(14)
2),如解图①,
5 5 5
2 2
当抛物线经过点 P时， ×4+c=2,∴c= ,
5 5
2 (14) 2 142
当抛物线经过点 Q 时， × +c=2,∴c=− ,
5 5 125
142 2
结合函数图象可知，c的取值范围为 c< 或 c> ;
125 5
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(2)当 a=
2
,c=0时，抛物线 y=
2
x2+bx,Q
(14)
2),如解图②,
5 2 5 1 5 2 (14) 2 14 71
当抛物线经过点 P 时， ×4+2b=2,∴b= ,当抛物线经过点 Q 时， × + b=2, ∴b=− ,
5 5 5 5 5 175
71 1
结合函数图象可知，b的取值范围为 − ≤b≤ ;
175 5
(3)当a=1,b=2时,
抛物线 y=x²+2x+c,Q(4,5),如解图③，当抛物线经过点P时,4+4+c=2,∴c=-6,
当抛物线经过点 Q 时,16+8+c=5,
∴c=-19,
3
易知，直线 PQ 的解析式为γ= x−1,
2
3
令 x2+2x+c= x−1,
2
1
整理得
x2+ x+c+1=0,
2
1 15
当抛物线与直线 PQ 只有一个交点时， b2−4ac= −4×1×(c+1)=0,解得 c=− ,
4 16
15 113
当x=2时, y=x2+2x+c=x2+2x− = ,
16 16
113
∵ >2,
16
∴此时交点不在线段PQ 上，
∴c的取值范围为-19≤c≤-6;
(4)∵当b=3a,c=a时,
抛物线 y=ax2+3ax+a=a ( x+ 3) 2 − 5 a,
2 4
( 3 5 )
∴抛物线的顶点坐标为 − ,− a ,
2 4
∵P(2,2),Q(2+2a,5a),令y=5a得, ax²+3ax−4a=0,
∴a(x+4)(x-1)=0,
∴设抛物线经过L(-4,5a),K(1,5a)两点,
①如解图④，当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，在点 P 左侧，且点Q 在点 P 右侧，当抛物
线经过点 P时,4a+6a+a=2,
2 2
∴a= ,∴当 a> 时，抛物线与线段PQ 没有交点；
11 11
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②如解图⑤，当a<0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，在 P 点左侧，且点Q 在点 P 左侧，
1
∴若抛物线与线段PQ 没有交点，则2+2a>1(K点横坐标)，即 a>− .
2
1 2
综上所述，a的取值范围为 − ;
2 11
(5)当b=-4a,c=0时,抛物线 y=ax²−4ax,P(2,2),Q(2+2a,5a),
∵y=ax²−4ax=a(x²−4x)=a(x−2)²−4a,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-4a).
令y=5a,得ax²-4ax=5a,a(x-5)(x+1)=0,解得x=-1或x=5,
∴设点M(-1,5a),N(5,5a)在抛物线上.
①当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q(2+2a,5a)位于点 P的右侧,
如解图⑥，当点 N位于点 Q左侧或与点 Q重合时，抛物线与线段 PQ 有公共点，
3
此时2+2a≥5,解得 a≥ ;
2
②当a<0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2+2a,5a)位于点 P的左侧,
(i)如解图⑦，当抛物线顶点位于点 P 下方或与点 P重合时，抛物线与线段PQ有公共点，此时-4a≤2,解得
1 1
a≥− ,∴− ≤a<0;
2 2
(ii)如解图⑧，当抛物线顶点位于点 P 上方，点 M 位于点 Q 右侧或与点 Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共
点，
3
此时2+2a≤-1,解得 a≤− .
2
3 1 3
综上所述，a 的取值范围为 a≥ 或 − ≤a<0或 a≤− .
2 2 2
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三阶 综合强化练
1. (1)解:∵抛物线y=a(x-m)(x-n)(a≠0),
∴抛物线与x轴交于(m,0)(n,0)两点,
∵m=1-2a,n=a-2,
1−2a+a−2 −a−1
∴ 抛物线的对称轴为直线 x= = ;
2 2
(2)证明:∵ 抛物线与x轴的交点坐标为(1-2a,0),(a-2,0),抛物线的顶点坐标为(p,q),
∴抛物线的解析式为y=a(x+2a-1)(x-a+2),
−a−1
∴由(1)可知 p= ,
2
9
a(a−1) 2
∴q=a ( − a+1 +2a−1 )( − a+1 −a+2 ) =− 9 a(a−1) 2, ∴ q = 4 =− 9 α(a−1)=− 9 (a−
2 2 4 p+a a+1 2 2
+α
2
1 2 9
) + ,
2 8
9
∵− <0,
2
q 9
∴ ≤ ;
p+a 8
(3)解:∵m=-1,n=3,
∴抛物线y=a(x+1)(x-3)=a(x-1)²-4a,当a<0时,如解图①,将Q 点横坐标x=-1代入 y=a(x−1)²−4a,得
y=0.将 P 点横坐标x=2 代入 y=a(x−1)²−4a,得y=-3a,
∵a<0,∴-3a>0,∴抛物线与线段 PQ 无公共点,当a>0时，分顶点在线段PQ 上和顶点在线段PQ下方，
如解图②，当抛物线的顶点在线段PQ 上时，
∵y=a(x+1)(x-3)=a(x-1)²-4a,
∴-4a=-4,解得a=1,
∵点P(2,-4),Q(-1,-4),且抛物线的对称轴为直线x=1,-1<1<2,抛物线过(-1,0),
∴当抛物线顶点的纵坐标小于-4时，抛物线与线段PQ 恒有交点,
∴ 当抛物线与线段PQ 有交点时,-4a<-4,∴a>1.综上所述，a的取值范围为a≥1.
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2. 解:(1)当m=-2 时,抛物线 y=−2x²−4x+2= −2(x+1)²+4,
∴抛物线的顶点坐标为(-1，4)；
(2)∵ 点 A 与点 B 是关于抛物线对称轴对称的两点，且抛物线与y轴交于点A，
∴A(0,2),
∵AB=6,∴B(6,2)或B(-6,2),
将点 B(6，2)代入抛物线解析式，得 36m−12m²−12m=0,解得m=0(舍去)或m=2,
∴抛物线的解析式为 y=2x²−12x+2;
将点B(-6，2)代入抛物线解析式，得 36m+12m²+12m+2=2,解得m=0(舍去)或m=-4,
∴ 抛物线的解析式为 y=−4x²−24x+2.
综上所述，抛物线的解析式为 y=2x²−12x+2或 y=−4x²−24x+2;
(3)∵点A关于抛物线对称轴对称的点为B，∴点B 的纵坐标为2，
−2m(m+1)
∵抛物线的对称轴为直线 x=− =m+1,
2m
∴点 B的坐标为(2m+2,2),
∵点P 的坐标为(m+3,2),
∴点 P 在直线AB上,
①如解图①,当m>0时,2m+2>0,m+1>1,m+3>m+1,∴B(2m+2,2)在A(0,2)右侧,
(i)当点 Q在点 A上方时,m+1>2,即m>1,
∵抛物线 y=mx²−2m(m+1)x+2(m≠0)与线段 PQ恰有一个公共点，
∴结合图象可得，当点 P 在点 B 右侧(或与点 B 重合)时满足题意，即 x ≥x ,
P B
∴m+3≥2m+2,∴m≤1,与m>1矛盾,故此情况不存在；
(ii)当点Q在点A下方时,m+1<2,即m<1,
∴结合图象可得，当点 P在点 B 左侧时满足题意，即 x 1,与m<1矛盾,故此情况不存在;
②如解图②,当m<0时,m+1<1,m+3>m+1,
∴Q(0,m+1)在点A(0,2)的下方,
(i)当m+1≥0,即m≥-1时,如解图②所示,点B(2m+2,2)在A(0,2)右侧,∵当点P位于点B右侧(或与点 B 重合)
时，抛物线与线段PQ 有一个交点，即m+3≥2m+2,解得m≤1,
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∴--1≤m<0;
(ii)当m+1<0,即m<-1时,如解图③所示,点 B(2m+2,2)在A(0,2)左侧,
∴结合图象可得，当点 P在点A的右侧(或与点 A 重合)时，满足题意，即 x ≥x ,
P A
∴m+3≥0,解得m≥-3,
∴-3≤m<-1.
综上所述，当抛物线与线段 PQ 恰好有一个公共点时,m的取值范围为-3≤m<0.
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考向2 与直线结合求取值范围
一阶 方法突破练
1.解：∵ 抛物线与直线有两个交点，
令 x²+2x+3=kx,∴x²+(2−k)x+3=0,
∴b2−4ac=(2−k) 2−12>0,∴2−k>2√3或 2−k<−2√3,
∴k的取值范围为 k<2−2√3或 k>2+2√3.
2.解：∵ 直线与抛物线有两个交点，
{ y=−x+3
,
联立
y=ax2−4ax+1
得 −x+3=ax²−4ax+1,∴ax²+(1−4a)x−2=0,
∴b²−4ac=(1−4a)²+4a×2=16a²+1>0恒成立，
即无论a取何值，直线与抛物线恒有两个交点，
1
当 x₁=−2时,P(-2,5),把P(-2,5)代入 y=ax²−4ax+1,得4a+8a+1=5,解得 a= ,
3
3
当 x₁=−1时,P(-1,4),把P(-1,4)代入 y=ax²−4ax+1,得a+4a+1=4,解得 a= ,
5
1 3
∴a的取值范围为 ≤a< .
3 5
3. 解:∵抛物线y=x(x-4)+2(0≤x≤3)与直线y=kx+2有唯一公共点，
∴分两种情况讨论：
①如解图①，抛物线与直线相切，得 x²−4x+2=kx+2,整理得 x²−(4+k)x=0,∴b²−4ac=(4+k)²=0,
解得k=-4;
②如解图②，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3范围内只有一个交点，此时两个临界值分别为(0，2)和(3,-
1),且直线y=kx+2必过(0,2),
∴当x=3时,y=3k+2>-1,解得k>-1.
综上所述,k的取值范围为k>-1或k=-4.
二阶 设问进阶练
例 解:(1)把c=a代入抛物线 y=ax²−3ax+c,得 y=ax²−3ax+a,
令 ax²−3ax+a=3x−1,
整理得 ax²−3(a+1)x+a+1=0,
∵ 抛物线 y=ax²−3ax+c与直线y=3x-1有两个交点，
9
∴ 由题意得 9(a+1)²−4a(a+1)>0,解得 a<− 或a>-1,
5
9
∴a的取值范围为
a<−
或a>-1且a≠0;
5
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(2)∵直线y=-x+4经过点B,C,
∴B(4,0),C(0,4),
将点B，C的坐标代入 y=ax²−3ax+c,
{16a−12a+c=0 {a=−1
, ,
得 解得
c=4 c=4
∴抛物线的解析式为 y=−x²+3x+4.
由题意得，抛物线平移后的解析式为 y=−x²−x+11,令 −x²−x+11=2x+n,整理得
−x²−3x+11−n=0,
∵直线y=2x+n与新抛物线有两个交点，
53
∴b²−4ac=(−3)²−4×(−1)×(11−n)>0,解得 n< ,
4
53
∴n的取值范围为 n< ;
4
(3)当a=-1,c=1时,
抛物线解析式为 y=−x2+3x+1=− ( x− 3) 2 + 13 ,
2 4
(3 13)
∴抛物线的顶点坐标为 , ,
2 4
当y=0时, −x²+3x+1=0,
3+√13 3−√13
解得 x = ,x = ,
1 2 2 2
(3−√13 ) (3+√13 )
则抛物线 y=−x²+3x+1与x轴的交点为 A ,0 , B ,0 ,
2 2
把抛物线 y=−x²+3x+1在 x轴上方的部分沿 x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y=
( 3) 2 13(3−√13 3+√13)
x− − ≤x≤ ,
2 4 2 2
(3 13)
顶点坐标 M ,− ,
2 4
如解图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个交点，
3+√13 3+√13
∴ +b=0,解得 b=− ;
2 2
( 3) 2 13(3−√13 ) 3+√13
当直线y=x+b 与抛物线 y= x− − ≤x≤ )相切时,直线y=x+b与
2 4 2 2
( 3) 2 13
该新图象恰好有三个交点，即方程 x− − =x+b有两个相等的实数解，整理得
2 4
x²−4x−b−1=0,b²−4ac=(−4)²−4(−b−1)=0,解得b=-5,
3+√13
∴b的取值范围为 −50,解得a<0,
把x=3代入y=2x-3,得y=3×2-3=3,
1
把(3,3)代入 y=x²−2x+3a+1,得3=9-6+3a+1,解得 a=− ,
3
1
∴a的取值范围为 − ≤a<0.
3
1
2. 解:(1)∵ 抛物线
y= x2−bx+c与
x 轴交于点B(4,0),抛物线的对称轴为直线x=1,
2
−b
∴− =1,
1
×2
2
∴b=1,
∴点A的坐标为(-2,0),
1
∴将B(4,0)代入抛物线
y= x2−x+c得,c=-4,
2
1
∴ 抛物线的解析式为
y= x2−x−4;
2
1
(2)由
y= x2−x−4得，抛物线与y轴的交点为C(0，-4).依题意翻折后的图象如解图.
2
1
令y=8,则 x2−x−4=8,解得 x₁=−4(舍去), x₂=6.∴新图象经过点(6,8).
2
1
当直线
y= x+d经过点(6,8)时,可得d=5.
2
1
当直线
y= x+d经过点
C时，可得(d=-4.
2
1 1
当直线
y= x+d(d<−4)与函数 y= x2−x−4(x⟩0)的图象仅有一个公共点
P时，也就是方程
2 2
1 1
x2−x−4= x+d有两个相等的实数根.
2 2
41
整理得 x²−3x−(8+2d)=0, ∴b²−4ac=(−3)²+4(8+2d)=8d+41=0解得 d=− .
8
41
结合图象可知，d的取值范围为-40，抛物线与双曲线只有一个交点时，交点即为(x₀,y₀),
∵00，抛物线与双曲线有两个交点时，
3
由抛物线的对称轴为直线 x= ,如解图，
2
当x>0时若有两个交点，则直线x=3 在两交点之间，即x=3时，抛物线在双曲线上方.
∵0 ,即c>2,综上所述，c的取值范围为c>2或c=c₁.
3
二阶 设问进阶练
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3 3 3
例 解:(1)∵双曲线 y= (1≤x≤4),当x=1时,y=3;当x=4时, y= ,即抛物线与双曲线在(1，3)，((4, 之间有
x 4 4
交点；);
5
①当抛物线过点(1,3)时,a-2+3a=3,解得 a= ;
4
3 3 35
②当抛物线过点(4， )时, 16a−8+3a= ,解得 a= ,
4 4 76
35 5
综上所述，a的取值范围为 ≤a≤ ;
76 4
3
(2)∵在双曲线
y=
中,1≤x≤4,
x
3
∴当x=1时,y=3;当x=4时, y= ,
4
3
∴临界点为(1,3),(4, ),
4
1 3 1 1
∵ 抛物线的解析式为 y= x2−2x+ = (x−2) 2− ,
2 2 2 2
1 1
∴平移后的抛物线的解析式为 y'= (x−2−n) 2− ,当平移后的抛物线y'经过临界点(1，3)时，解得
2 2
n=√7−1或 n=−1−√7(舍去);
3 4+√10 4−√10
当平移后的抛物线y'经过临界点(4， )时，解得 n= 或 n= ,
4 2 2
4−√10 4+√10
∴n的取值范围为 ;
2 2
(3)∵抛物线过点(0,2),
2
∴可得3a=2,即 a= ,
3
2
∴抛物线的解析式为
y= x2−2x+2,
3
14
当m=3时,y=2;当m=4时, y= ,
3
14
∴临界点为(3,2),(4, ,)
4
14 56 56
∴当双曲线过点(3，2)时，k=6；当双曲线过点((4, )时, k= ,∴k的取值范围为 632−4且 <42−4,
3 4
∴k的取值范围为 150)两点,∴
2a x
8 8 8
将E(2,y₁) 和F(4,y₂)分别代人 y'=
x
(x⟩0)得 y
1
=
2
=4,y
2
=
4
=2,.. E(2,4) ,F(4，2)，∵抛物线与图象 G有公共
点，∴可以求出抛物线与图象G的临界点，即分别求出与点E，F的交点,∴将E(2,4)代入 y=ax²−2ax+8+a得
2
4=4a-4a+8+a,解得a=-4,将F(4,2)代入 y=ax²−2ax+8+a得2=16a-8a+8+a ,解得 a=− ,∴抛物线与图象G
3
2
有公共点时a的取值范围是 −4≤a≤− .
3
3.解：(1)∵点M是反比例函数图象上的点，
4
∴将x=2代入 y=− ,得y=-2,∴M(2,-2),
x
∵点M在抛物线 y=−x²+2ax+a²−3上,
∴将M(2,-2)代入 y=−x²+2ax+a²−3中,解得a=1或a=-5,
∴抛物线的解析式为 y=−x²+2x−2或 y=−x²−10x+22;
(2)当a=-1时，抛物线的解析式为 y=−x²−2x−2,
−2
x=− =−1,
∴抛物线的对称轴为直线 分对称轴在区间内和区间外两种情况讨论：
2×(−1)
①对称轴在区间外,当t-1>-1,即t>0时,当x=t-1时,y取得最大值,
即 −(t−1)²−2(t−1)−2=−3,解得 t=√2(负值舍去)， ∴t=√2;
②对称轴在区间内,当t-1<-1时,即t<0时,当x=-1时，y取得最大值，且最大值为-1，与y的最大值为-3 矛
盾，故舍去.
综上所述，t的值为 √2;
1
(3)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=a，M(2，-2),N(8,- ),
2
∵抛物线与图象G有两个公共点，∴2
