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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 8
3. 双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来 的倍（纵坐标不变） B. 横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变） D. 纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
5. 已知 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. 16 D. 18
6. 已知 ，则（ ）
第 1 页 共 5 页A. B.
C. D.
7. 已知函数 的定义域为 D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 设函数 ，若 恒成立，且 在 上存在零点，
则 的最小值为（ ）
.
A 8 B. 6 C. 4 D. 3
的
9. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位 数据量所需要的时间 （单位：h），
其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加
20h；当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（ ）
A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h
10. 在平面直角坐标系 中， ， .设 ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知抛物线 的顶点到焦点的距离为3，则 ________．
12. 已知 ，则 ________； ________．
第 2 页 共 5 页13. 已知 ，且 ， .写出满足条件的一组
的值 ________， _________．
14. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面
多 边 形 ， 平 面 平 面 ABC ， 平 面 平 面 ABC ， ，
.若 ，则该多面体的体积为
________．
15. 关于定义域为 的函数 ，给出下列四个结论：
①存在在 上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在 上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
的
其中正确结论 序号是________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ．
（1）求c的值；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC边上的高．
第 3 页 共 5 页条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．
17. 如图，在四棱锥 中， 与 均为等腰直角三角形，
，E为BC的中点．
（1）若 分别为 的中点，求证： 平面PAB；
（2）若 平面ABCD， ，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.
为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100名学生该题的答题数据，其中
甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计
概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握
该知识点，甲校学生选择正确的概率为 ，乙校学生选择正确的概率为 .设甲、乙两校高一年级
学生掌握该知识点的概率估计值分别为 ， ，判断 与 的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，点 在椭圆E上，直线 与直线 ，
第 4 页 共 5 页分别交于点A，B．设 与 的面积分别为 ，比较 与 的大小．
20. 已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设 是曲线 在
点 处的切线．
的
（1）求 最大值；
（2）当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
（3）设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求
的取值范围．
21. 已知集合 ，从M中选取n个不同的元素组成一个
序列： ，其中 称为该序列的第i项 ，若该序列的相邻
项 满足： 或 ，则称该序列为K列．
（1）对于第1项为 的K列，写出它的第2项．
（2）设 为K列，且 中的项 满足：当i为奇数时， ：当i为偶数时，
.判断 ， 能否同时为 中的项，并说明理由；
（3）证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
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