文档内容
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1. 已知集合A={2,1,3,4}，B{1,2,3}，则A B ▲ .
开始
n 0
2. 已知复数z(52i)2(i为虚数单位),则z的实部为 ▲ .
n n1
3. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是 ▲ .
n N
2 20
4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是
▲ . Y
输出n
5. 已知函数 ycosx与 ysin(2x)(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标
结束
为 的交点,则的值是 ▲ .
3 （ 第 3
题）
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在
抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.
频率
组距
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
80 90 100 110 120 130 底部周长/cm
（ 第 6
题）
7. 在各项均为正数的等比数列{a }中,a 1, a a 2a ,则a 的值是 ▲ .
n 2 8 6 4 6
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为S ，S ，体积分别为V ，V ，若它们的侧面积相等，
1 2 1 2
S 9 V
且 1 ，则 1 的值是 ▲ .
S 4 V
2 2
9. 在平面直角坐标系xOy中,直线x2y30被圆(x2)2 (y1)2 4截得的弦长为
▲ .10. 已知函数 f(x)x2 mx1,若对于任意x[m,m1],都有 f(x)0成立,则实数m的取
值范围是 ▲ .
b
11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线 yax2 (a，b为常数) zxxk过点P(2,5)，且该
x
曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是 ▲ .
12. 如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB8， P
D
C
AD5， CP3PD， APBP2，则 ABAD的
值是 ▲ .
13. 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 A （第12题） B
1
x[0,3)时 , f(x)|x2 2x |. 若 函 数
2
y f(x)a在区间[3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 ▲ .
14. 若△ABC的内角满足sinA 2sinB2sinC ,则cosC 的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分14分)
5
已知( ,),sin .
2 5
(1)求sin( )的值；
4
5
(2)求cos( 2)的值.
6
16.(本小题满分14分) P
如图，在三棱锥 P ABC 中， D，E，F 分
zxxk别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA AC,
PA 6,
BC 8,DF 5. D
求证: (1)直线PA//平面DEF ；
(2)平面BDE平面ABC.
A C
E
F
B
（第16题）17.(本小题满分14分)
x2 y3
如图,在平面直角坐标系xOy中,F ,F 分别是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，
1 2 a2 b2
顶点B的坐标为(0,b)，连结BF 并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于
2
另一点C，连结FC.
1
4 1
(1)若点C的坐标为( , ),且BF 2 ,求椭圆的方程；
3 3 2
y
(2)若FC AB,求椭圆离心率e的值.
1
B
C
F O F x
1 2
A
( 第 17
题)
18.(本小题满分16分)
如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划
要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.
且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正
4
北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO .
3
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？北
B
A
60 M
m
O 170 C 东
m
（第18题）
19.(本小题满分16分)
已知函数 f(x)ex ex,其中e是自然对数的底数.
(1)证明: f(x)是R上的偶函数；
(2)若关于x的不等式mf(x)≤ex m1在(0,)上恒成立，学科网求实数m的取值范
围；
(3)已知正数a满足：存在 x [1,)，使得 f(x )a(x3 3x )成立.试比较ea1与
0 0 0 0
ae1的大小，并证明你的结论.
20.(本小题满分16分)
设数列{a }的前 n项和为 S .若对任意正整数 n，学科网总存在正整数 m，使得
n n
S a ，则称{a }是“H数列”.
n m n
(1)若数列{a }的前n项和S 2n(nN),证明: {a }是“H数列”;
n n n
(2)设{a } 是等差数列,其首项a 1,公差d 0.若{a } 是“H数列”,求d的值；
n 1 n
(3)证明：对任意的等差数列{a }，总存在两个“H 数列”{b }和{c }，使得
n n n
a b c
n n n
(nN)成立.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、
24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-
1：几何证明选讲】
21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两
点，证明：∠OCB=∠D．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为
实数，若A =B ，求x+y的值．
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为
参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
【选修4-4：不等式选讲】
24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这
些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x ，x ，x ，随
1 2 3
机变量X表示x ，x ，x 中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
1 2 326．（10分）（2014•江苏）已知函数f （x）= （x＞0），设f （x）为f （x）的
0 n n﹣1
导数，n N*．
（1）求∈2f （ ）+ f （ ）的值；
1 2
（2）证明：对任意n N*，等式|nf （ ）+ f （ ）|= 都成立．
n﹣1 n
∈
2014 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=
{﹣1 ， 3} ．
考 交集及其运算．
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点：
专 集合．
题：
分 根据集合的基本运算即可得到结论．
析：
解 解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
答： ∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
点 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
评：
2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 2 1 ．
考 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
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点：
专 数系的扩充和复数．
题：
分 根据复数的有关概念，即可得到结论．
析：解 解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
答： 故z的实部为21，
故答案为：21
点 本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基
评： 础．
3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ．
考 程序框图．
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点：
专 算法和程序框图．
题：
分 算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．
析：
解 解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
答： ∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
点 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的
评： 关键．
4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数
的乘积为6的概率是 ．
考 古典概型及其概率计算公式．
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点：
专 概率与统计．
题：
分 首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个
析： 数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即
可．
解 解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），
答： （1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P= ．故答案为： ．
点 本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．
评：
5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一
个横坐标为 的交点，则φ的值是 ．
考 三角方程；函数的零点．
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点：
专 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
题：
分
由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，可得
析：
= ．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
解
解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，
答：
∴ = ．
∵0≤φ＜π，∴ ，
∴ +φ= ，
解得φ= ．
故答案为： ．
点 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．
评：
6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的
底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130 上，其频率分布直方图如图所示，则
在抽测的60株树木中，有 2 4 株树木的底部周长小于100cm．
]
考 频率分布直方图．
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点：
专 概率与统计．题：
分 根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根
析： 据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．
解 解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
答： ∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．
故答案为：24．
点 本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×
评：
组距= ．
7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a }中，若a =1，a =a +2a ，则a 的
n 2 8 6 4 6
值是 4 ．
考 等比数列的通项公式．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分 利用等比数列的通项公式即可得出．
析：
解 解：设等比数列{a }的公比为q＞0，a ＞0．
n 1
答： ∵a =a +2a ，
8 6 4
∴ ，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．
∴a = = =1×22=4．
6
故答案为：4．
点 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
评：
8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S ，S ，体积分别为V ，
1 2 1
V ，若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是 ．
2
考 棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
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点：
专 立体几何．
题：
分 设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的
析： 比．
解 解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
答：
∵ = ，
∴ ，它们的侧面积相等，
∴ ，
∴ = = = ．故答案为： ．
点 本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
评：
9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+
（y+1）2=4截得的弦长为 ．
考 直线与圆的位置关系．
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点：
专 直线与圆．
题：
分 求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C
析： 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦
长．
解 解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
答：
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d= = ，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2
=2 =
故答案为： ．
点 本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公
评： 式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x [m，m+1 ，都有f
（x）＜0成立，则实数m的取值范围是 （﹣ ， 0 ） ． ∈ ]
考 二次函数的性质．
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点：
专 函数的性质及应用．
题：
分
析： 由条件利用二次函数的性质可得 ，由
此求得m的范围．
解 解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，
答： 对于任意x [m，m+1 ，都有f（x）＜0成立，∴
∈ ] ，
即 ，解得﹣ ＜m＜0，
故答案为：（﹣ ，0）．
点 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．评：
11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+ （a，b为常数）过
点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是 ﹣ 3
．
考 利用导数研究曲线上某点切线方程．
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点：
专 导数的概念及应用．
题：
分
由曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线
析：
7x+2y+3=0平行，可得y| =﹣5，且y′| = ，解方程可得答案．
x=2 x=2
解
解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k= ，
答：
曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线
7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣ ，
∴ ，
解得： ，
故a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
点 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y| =﹣
x=2
评：
5，且y′| = ，是解答的关键．
x=2
12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3
， • =2，则 • 的值是 2 2 ．
考 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
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点：
专 平面向量及应用．
题：
分
由 =3 ，可得 = + ， = ﹣ ，进而由AB=8，AD=5， =3 ，
析：
• =2，构造方程，进而可得答案．解 解：∵ =3 ，
答：
∴ = + ， = ﹣ ，
又∵AB=8，AD=5，
∴ • =（ + ）•（ ﹣ ）=| |2﹣ • ﹣ | |2=25﹣ • ﹣
12=2，
故 • =22，
故答案为：22．
点 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知
评：
得到 = + ， = ﹣ ，是解答的关键．
13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x [0，3）时，
f（x）=|x2﹣2x+ |，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4 上有10个零点（互不相∈ 同），则
]
实数a的取值范围是 （ 0 ， ） ．
考 根的存在性及根的个数判断．
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点：
专 函数的性质及应用．
题：
分 在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即
析： 可．
解
解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x [0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+ |，
答：
若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4 上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中
∈
画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知 ．
]
故答案为：（0， ）．
点 本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．
评：14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC，则cosC的最小值是
．
考 余弦定理；正弦定理．
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点：
专 三角函数的图像与性质；解三角形．
题：
分 根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
析：
解
解：由正弦定理得a+ b=2c，得c= （a+ b），
答：
由余弦定理得cosC= = =
= ≥ = ，
当且仅当 时，取等号，
故 ≤cosC＜1，故cosC的最小值是 ．
故答案为： ．
点 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．
评：
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15．（14分）（2014•江苏）已知α （ ，π），sinα= ．
∈
（1）求sin（ +α）的值；
（2）求cos（ ﹣2α）的值．
考 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
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点：
专 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
题：
分
（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（ +α）的值；
析：
（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（ ﹣2α）的值．
解
解：α （ ，π），sinα= ．∴cosα=﹣ =
答：
∈
（1）sin（ +α）=sin cosα+cos sinα= =﹣ ；
∴sin（ +α）的值为：﹣ ．（2）∵α （ ，π），sinα= ．∴cos2α=1﹣2sin2α= ，sin2α=2sinαcosα=﹣
∈
∴cos（ ﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α= =﹣
．
cos（ ﹣2α）的值为：﹣ ．
点 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
评：
16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，
AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
考 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．
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点：
专 空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
题：
分 （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
析： （2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC
即可．
解 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
答： 又∵PA 平面DEF，DE 平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
⊄ ⊂
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
点 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之
评： 间的垂⊂直与平行的互相转化关系，是基础题目．17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F ，F 分别为椭圆 +
1 2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF 并延长交椭圆于点A，
2
过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F C．
1
（1）若点C的坐标为（ ， ），且BF = ，求椭圆的方程；
2
（2）若F
1
C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
考 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
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点：
专 圆锥曲线的定义、性质与方程．
题：
分 （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．
析： （2）求出C的坐标，利用F
1
C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．
解
解：（1）∵C的坐标为（ ， ），
答：
∴ ，即 ，
∵ ，
∴a2=（ ）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为 +y2=1．
（2）设F （﹣c，0），F （c，0），
1 2
∵B（0，b），
∴直线BF ：y=﹣ x+b，代入椭圆方程 + =1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣
2
=0，
解得x=0，或x= ，
∵A（ ， ），且A，C关于x轴对称，
∴C（ ，﹣ ），则 =﹣ = ，
∵F
1
C⊥AB，
∴ ×（ ）=﹣1，
由b2=a2﹣c2得 ，
即e= ．
点 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和
评： 斜率之间的关系，运算量较大．
18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立
一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA
上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，
点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），
tan∠BCO= ．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
考 圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
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点：
专 直线与圆．
题：
分 （1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然
析： 后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x
的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式
求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
解 解：（1）如图，
答：过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴ ．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵ ，
∴CE= （m）．
∴ （m）．
∴ ，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m；
（2）如图，
设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP= m，PM= m．
∴PC= m，PQ= m．
设⊙M半径为R，
∴R=MQ= m= m．
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．
点 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，
评： 是中档题．
19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范
围；
（3）已知正数a满足：存在x [1，+∞），使得f（x ）＜a（﹣x 3+3x ）成立，试比较ea﹣
0 0 0 0
1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．
∈
考 利用导数求闭区间上函数的最值．
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点：
专 导数的综合应用．
题：
分 （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；
析： （2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行
转化求最值问题即可求实数m的取值范围；
（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即
可得到结论．
解 解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，
答： ∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，
∴ex+e﹣x﹣1＞0，
即m≤ 在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤ 在（1，+∞）上恒成立，
∵ =﹣ =﹣ ，当且仅当t=2
时等号成立，
∴m ．
（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），
则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a，
由于存在x [1，+∞），使得f（x ）＜a（﹣x 3+3x ）成立，
0 0 0 0
故e+ ﹣2a＜0，
∈
即a＞ （e+ ），
令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，
则h′（x）=1﹣ ，由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1，
当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x （1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x （e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）∈ ＜0，对任意的x （1，e）成立．
∈
①a （ （e+ ），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1
∈
＜ae﹣1，
∈
②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，
③当a （e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1
＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1．
∈
点 本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题
评： 的关键，综合性较强，运算量较大．
20．（16分）（2014•江苏）设数列{a }的前n项和为S ，若对任意的正整数n，总存在正
n n
整数m，使得S =a ，则称{a }是“H数列”．
n m n
（1）若数列{a }的前n项和为S =2n（n N*），证明：{a }是“H数列”；
n n n
（2）设{a }是等差数列，其首项a =1，公差d＜0，若{a }是“H数列”，求d的值；
n 1 n
∈
（3）证明：对任意的等差数列{a }，总存在两个“H数列”{b }和{c }，使得a =b +c
n n n n n n
（n N*）成立．
∈
考 数列的应用；等差数列的性质．
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点：
专 等差数列与等比数列．
题：
分 （1）利用“当n≥2时，a =S ﹣S ，当n=1时，a =S ”即可得到a ，再利用“H”数
n n n﹣1 1 1 n
析： 列的意义即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和即可得出S
n
，对∀n N*，∃m N*使S
n
=a
m
，取n=2和
根据d＜0即可得出；
（3）设{a }的公差为d，构造数列：b =a ﹣（n﹣1 ∈）a =（2﹣ ∈ n）a ，c =（n﹣1）
n n 1 1 1 n
（a +d），可证明{b }和{c }是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项
1 n n
公式、“H”的意义即可得出．
解 解：（1）当n≥2时，a =S ﹣S =2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
n n n﹣1
答： 当n=1时，a =S =2．
1 1
当n=1时，S =a ．
1 1
当n≥2时，S =a ．
n n+1
∴数列{a }是“H”数列．
n
（2）S = = ，
n
对∀n N*，∃m N*使S
n
=a
m
，即 ，
取n=2 ∈时，得1 ∈ +d=（m﹣1）d，解得 ，
∵d＜0，∴m＜2，
又m N*，∴m=1，∴d=﹣1．
（3）设{a }的公差为d，令b =a ﹣（n﹣1）a =（2﹣n）a ，
n n 1 1 1
∈对∀n N*，b
n+1
﹣b
n
=﹣a
1
，
c =（n﹣1）（a +d），
n 1
对∀n ∈ N*，c
n+1
﹣c
n
=a
1
+d，
则b +c =a +（n﹣1）d=a ，且数列{b }和{c }是等差数列．
n n 1 n n n
∈
数列{b }的前n项和T = ，
n n
令T =（2﹣m）a ，则 ．
n 1
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m N*．
因此对∀n N*，都可找到m N*，使T
n
=b
m
成立，即{b
n
}为H数列．
∈
数列{c n }的 ∈ 前n项和R n = ∈ ，
令c =（m﹣1）（a +d）=R ，则m= ．
m 1 n
∵对∀n N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m N*．
因此对∀n N*，都可找到m N*，使R
n
=c
m
成立，即{c
n
}为H数列．
因此命题∈得证． ∈
点 本题考查了∈利用“当n≥2时，∈ a =S ﹣S ，当n=1时，a =S ”求a 、等差数列的前n
n n n﹣1 1 1 n
评： 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推
理能力和计算能力、构造法，属于难题．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、
24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-
1：几何证明选讲】
21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两
点，证明：∠OCB=∠D．
考 弦切角．
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点：
专 直线与圆．
题：
分 利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
析：
解 证明：∵OC=OB，
答： ∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
点 本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
评：
【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为
实数，若A =B ，求x+y的值．
考 矩阵与向量乘法的意义．
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点：
专 矩阵和变换．
题：
分 利用矩阵的乘法，结合A =B ，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y
析： 的值．
解
答： 解：∵矩阵A= ，B= ，向量 = ，A =B ，
∴ ，
∴x=﹣ ，y=4，
∴x+y=
点 本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．
评：
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为
参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
考 直线的参数方程．
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点：
专 计算题；坐标系和参数方程．
题：
分 直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求
析： 线段AB的长．
解
答：
解：直线l的参数方程为 ，化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴|AB|= =8 ．
点 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能
评： 力，属于基础题．
【选修4-4：不等式选讲】
24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
考 不等式的证明．
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专 证明题；不等式的解法及应用．
题：
分 由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ ，两式相乘可得结论．
析：
解 证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥
答：
分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，
∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
点 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．
评：
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这
些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x ，x ，x ，随
1 2 3
机变量X表示x ，x ，x 中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
1 2 3
考 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
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点：
专 概率与统计．
题：
分 （1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式
析： 计算即可；
（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数
学期望公式计算即可．
解
解（1）一次取2个球共有 =36种可能，2个球颜色相同共有 =10种可
答：
能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P= ．
（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）= ，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，
X的概率分布列为
X 2 3 4
P
故X数学期望E（X）= ．
点 本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基
评： 础题．
26．（10分）（2014•江苏）已知函数f （x）= （x＞0），设f （x）为f （x）的
0 n n﹣1
导数，n N*．
∈（1）求2f （ ）+ f （ ）的值；
1 2
（2）证明：对任意n N*，等式|nf （ ）+ f （ ）|= 都成立．
n﹣1 n
∈
考 三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．
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点：
专 函数的性质及应用；三角函数的求值．
题：
分 （1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf
0
析： （x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f （x）+xf （x）=﹣sinx，
1 2
把x= 代入式子求值；
（2）由（1）得，f （x）+xf （x）=cosx和2f （x）+xf （x）=﹣sinx，利用相同的
0 1 1 2
方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再
进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导
公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x= 代入所给的式子求解验证．
解
解：（1）∵f （x）= ，∴xf （x）=sinx，
答： 0 0
则两边求导，[xf （x） ′=（sinx）′，
0
∵f （x）为f （x）的导数，n N*，
n n﹣1
]
∴f （x）+xf （x）=cosx，
0 1
∈
两边再同时求导得，2f （x）+xf （x）=﹣sinx，
1 2
将x= 代入上式得，2f （ ）+ f （ ）=﹣1，
1 2
（2）由（1）得，f （x）+xf （x）=cosx=sin（x+ ），
0 1
恒成立两边再同时求导得，2f （x）+xf （x）=﹣sinx=sin（x+π），
1 2
再对上式两边同时求导得，3f （x）+xf （x）=﹣cosx=sin（x+ ），
2 3
同理可得，两边再同时求导得，4f （x）+xf （x）=sinx=sin（x+2π），
3 4
猜想得，nf （x）+xf （x）=sin（x+ ）对任意n N*恒成立，
n﹣1 n
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
∈
①当n=1时， 成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1且k N*）时等式成立，即
，
∈
∵[kf （x）+xf （x） ′=kf ′（x）+f （x）+xf ′（x）
k﹣1 k k﹣1 k k
=（k+1）f （x）+xf （x）
k k+1
]
又
= = = ，
∴那么n=k+1（k＞1且k N*）时．等式
∈ 也成立，
由①②得，nf （x）+xf （x）=sin（x+ ）对任意n N*恒成立，
n﹣1 n
∈令x= 代入上式得，nf （ ）+ f （ ）=sin（ + ）=±cos =± ，
n﹣1 n
所以，对任意n N*，等式|nf （ ）+ f （ ）|= 都成立．
n﹣1 n
点 本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法
∈
评： 证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的
好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思
维能力．
