文档内容
北京二中教育集团 2022-2023 学年度第二学期
初二数学期末考试试卷
考查目标：
1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》、
《数据的分析》的全部内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分
类讨论能力．
考生须知：
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页：其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷5页，答题卡8页．
全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 6，8，10
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
B、 ，所以4，5，6不能作为直角三角形三边，故符合题意；
C、 ，所以5，12，13可以作为直角三角形的三边，故不符合题意；
D、 ，所以6，8，10可以作为直角三角形的三边长，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长为a、b、c，满足 ，则该三角形是直角三角形是解题的关键．
2. 要得到 的图象，只需将 （ ）
A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位
C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移法则上加下减可得出解析式．
【详解】解：将 向上平移2个单位，得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
3. 下列各式计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据算术平
方根对D进行判断．
【详解】A、 ，所以A选项的计算正确；
B、原式 ，所以B选项的计算正确；
C、原式 ，所以C选项的计算错误；
D、原式 ，所以D选项的计算正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，在 中， 平分 交 于点 ，若 ， ，则 的周长是
（ ）A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】先求出平行四边形的一组邻边长，再求周长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
∵ 平分 ，
，
，
∴ ，
平行四边形 的周长为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边和角平分线的定义是解题的关键．
5. 如图，下列条件之一能使 是菱形的为（ ）
① ；② 平分 ；③ ；④ ；
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解．【详解】解：① ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形；
② 平分 ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形；
③ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形；
④ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
综上所述，由②③④可证得四边形 是菱形．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”．某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活
动．为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进
行统计，数据如下：
甲组
乙组
两组数据的众数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可．
【详解】解：由题意得，甲组的平均数为 ，
∴ ；
乙组的平均数为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数与方差的计算，关键是掌握方差与平均数的计算公式．
7. 如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中
水的深度y与注水时间x关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方体水槽的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不
变，进而求解即可．
【详解】解：由长方体水槽的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：C．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
8. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如
图，在 中， ，以 各边为边向外作正方形 、正方形 、正
方形 ．连接 、 、 ，若 ， ，则这个六边形 的面积为（
）
A. 28 B. 26 C. 32 D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ，则 ，连接 、 交于点M，连接 、 ，
证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，连接 ，
交于点N，同理可得： ，得出 ，求出 ， ，从而得
出 ， ，延长 作 于点P，作 于点Q，证明 ，
得出 ，证明 ， ， ，求出
，最后求出
即可．【详解】解：设 ， ， ，则 ，
连接 、 交于点M，连接 、 ，如图所示：
∵四边形 和 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理得： ， ， ，
，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，连接 ， 交于点N，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ，
得： ，
解得： ，
得： ，
即 ，
解方程组： ，
解得： ，
∴ ，
∵a、b、c为正数，
∴ ， ，
延长 作 于点P，作 于点Q，如图所示：则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
为
∵四边形 正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
同理： ， ，
，
∴ ，故A正确．
故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题
的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理．
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式 在实数范围内有意义可得：
，解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 若点 在一次函数 （b是常数）的图象上，则 的大小关系是
___________ ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合 ，即可得出
．
【详解】解：∵ ，∴一次函数 中，y随x的增大而减小，
又∵点 在一次函数 （b是常数）的图象上，且 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ，y随x的增大而增大； ，y随x的增大而减小”
是解题的关键．
11. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点O作 ，垂足为E，若 ，
则 的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】首先根据矩形的性质得到 ，然后利用等腰三角形三线合一性质得到 ，然后证
明出 是 的中位线，进而求解即可．
【详解】∵四边形 是矩形
∴
∵
∴
∵∴ 是 的中位线
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，
则ED的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
【详解】解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED=
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式 的解集是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】写出直线 在直线 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为 ，
关于x的一元一次不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变
量，图像上方函数值大于下方的函数值．
14. 如图，四边形 是菱形， 、 交于点O， 于H，连接 ，若 ，
，则 ___________．
【答案】
【解析】【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 ， ，根据
勾股定理求出 ，根据等积法求出 ．
【详解】解：∵四边形 是菱形,
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是
熟练掌握菱形的性质，求出菱形的边长．
15. 俗话说：“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才．”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示，
从目前记录的结果看，若小明在前n天的日平均背单词量最高，则n的值为___________．【答案】6
【解析】
【分析】前n天的日平均背单词量越高，则背单词总量增加越快，据此观察所给图象可得答案．
【详解】解：根据图象可得，第6天背单词总量增加最快，之后增幅变缓，
因此小明在前6天的日平均背单词量最高，
为
故答案 ：6．
【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是分析出日平均背单词量的几何意义．
16. 在正方形 中，点E、F分别为边 、 上一点，且满足 ，连接 、 ，设
．
（1）当E为 中点时， ___________．
（2） 的最大值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）设正方形 的边长为 ，利用勾股定理表示出 和 ，即可求出 值；
（2）设正方形 的边长为1， ，分别表示出 和 ，可得 ，令
，结合根的判别式求出 的最大值为 ，即可得到 的最大值．
【详解】解：（1）设正方形 的边长为 ，
∴ ，∵E为 中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）设正方形 的边长为1， ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
，
解得： ，即 的最大值为 ，
，
即 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根的判别式，解题的关键是能够用未知数表示出相应线段
的长度．
三、解答题（共68分，其中第17-22、24题每题5分，第23、25题每题6分，第26-28题每
题7分）
17. 计算：【答案】
【解析】
【分析】先将除法转为乘法，再根据二次根式的乘法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法．注意乘法运算律的运用．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用乘法公式计算，然后再算加减．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
19. 已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】18
【解析】
【分析】化简 ，将x和y值代入计算即可．
【详解】解：∵
，∴ 当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查完全平方公式以及二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用所学知识将待求代数式
进行变形，属于中考常考题型．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点在对角线BD上，且 ，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】求出OE＝OF，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四
边形．
【
详解】证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键．
21. 如图 ，同学们想测量旗杆的高度 （米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，
但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余 米，如图 ；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部 米，如图 ．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图 点 处（ ）．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆 米远，此时绳结离地面多高？
【答案】（1）故旗杆 的高度为 米；
（2）绳结离地面 米高．
【解析】
【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
（2）由题可知， 米， 米．在 中根据勾股定理列出方程
，求出 ，进而求解即可．
【小问1详解】
解∶如图，由旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米，
在 中，由勾股定理得∶ ，
解得∶ ，
故旗杆的高度为 米；
【小问2详解】
解：由题可知， 米， 米．
在 中，由勾股定理得∶ ，
解得∶ ，
∴ 米 ，∴ 米．
故绳结离地面 米高．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
22. 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的，研究表明：课桌的高度
与椅子的高度符合一次函数关系，小明测量了一套课桌、椅对应的四档高度，得到数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm
桌高y/cm
（1）设课桌的高度为 （ ），椅子的高度为 （ ），求 与 的函数关系式；
（2）在表格中，有一个数据被污染了，则被污染的数据为___________；
（3）小明放学回到家，又测量了家里的写字台的高度为 ，凳子的高度为 ，请你判断小明家
里的写字台与凳子是否符合科学设计，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）小明家里的写字台与凳子不符合科学设计，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）将 代入（1）中一次函数，即可求解；
（3）把 代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解∶由课桌的高度与椅子的高度符合一次函数关系，设 ，∵ 过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 的函数关系式 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
故答案为 ；
【小问3详解】
解：小明家里的写字台与凳子不符合科学设计，理由如下∶
当 时， ，
∴小明家里的写字台与凳子不符合科学设计．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
23. 如图，在 中，点E是 的中点，连接 ， 、 的延长线相交于点F，连接 、
．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明 可得 ，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形 是平行四边形；
（2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得 ，然后求得 ，从而可得平行四
边形 是矩形．
【小问1详解】
证明：在 中， ，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
证明：∵四边形 是平行四边形；
∴ ，
又由（1）可得，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，即四边形 是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中
随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组： ， ， ，
， ）b．甲小区用气量的数据在 这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小区 平均数 中位数 众数
甲 17.2 18
乙 17.7 19 15
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为 ．在乙小区抽取的用户
中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为 ．比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
【答案】（1）16； （2） ；
（3）180户．
【解析】
【分析】（1）利用求中位数的方法求解即可；
（2）利用中位数和平均数的意义求解即可；
（3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数．
【小问1详解】
解：由题意可知：
；【小问2详解】
解：由表可知：
甲，乙两小区用气量的中位数分别是16、19，平均数分别为：17.2、17.7，
∴ ， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：抽取的甲小区30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例为：
甲小区中用气量超过15立方米的户数为： 户．
【点睛】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握
求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键．
25. 已知一次函数 （ ， 为常数且 ）的图象经过点 和 轴上一点 ，且与
平行．
（1）求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
（2）当 时，请结合图象，直接写出 的取值范围___________；
（3）若点 在直线 上，且 的面积等于 ，求点 的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为 ，作图见解析；
（2） ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）一次函数 与 平行可求得 的值，进而把 代入一次函数，得出 ，
从而求得一次函数的表达式，再画出图象即可；
的
（2）当 时， 代入一次函数 表达式可得出对应 的值，结合图像即可得解；
（3）根据铅锤法求面积即可得解．
【小问1详解】
解：∵一次函数 （ ， 为常数且 ）的图象经过点 和 轴上一点 ，且与
平行，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，
在平面直角坐标系内画 如下图，【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
即可图像可得 时， ，
故答案为 ；
【小问3详解】
解：设 ， 与直线 相交于点 ，
当 时， ，
∴ ，
∵ 的面积等于 ，点 ， 与 轴交于点 ，∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的图象和图象上点的坐标特征，掌
握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
26. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）化简函数表达式：当 时， ___________；当 时， ___________；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，通过列表描点画出了 时的部分图象，请在同一平面直角坐标
系中，补全当 时的部分图象，并写出函数 的两条性质；
（3）进一步研究：若点 都在函数 的图象上，且 ， ，
若存在 满足 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）见解析； （3） ．【解析】
【分析】（1）根据解析式即可确定自变量取值分类讨论化简即可；
（2）在坐标系中画出当 时，一次函数 的图像即可，根据图形即可写出函数
的两条性质；
（3）由点 都在函数 的图象上， ，得 ，
进而有 ，解不等式组即可．
【小问1详解】
解∶当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故答案为 ， ；
【小问2详解】
解：作图如下：
由图像可得， 函数 关于直线 成轴对称图形， 当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而减小；
【小问3详解】
∵点 都在函数 的图象上， ，
∴ 在直线 的两侧，且关于 对称，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及解不等式组，熟练掌握一次函数图象及性质是解题的关键．
27. 已知正方形 ，P是对角线 的延长线上一点．
（1）连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点E．
①依据题意，补全图形；
②判断线段 与 的数量关系，并证明；
（2）在（1）的条件下，过点P分别作线段 、射线 的垂线，垂足分别为点F、点H，线段 与
线段 于点 ，连接 ．请你判断线段 、 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；② ，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过 作 ，交 延长线于 ，过 作 于
，证明 ，即可得到 ．
（2）延长 交 于点N，设 与 的交点为M，证明 是中位线， 是直角三角形斜边上
的中线，结合矩形的性质，证明即可．
【小问1详解】
解：①补全图形如下：② ，证明如下：
过 作 ，交 延长线于 ，过 作 于 ，如图：
四边形 是正方形，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
∵ ，
，
；
【小问2详解】线段 、 和 之间的数量关系为 ．理由如下：
延长 交 于点N，设 与 的交点为M，
∵正方形 ，P是对角线 的延长线上一点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，四边形 是矩形，
∴ ， ，
延长 交于点Q，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定与
性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解
题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和菱形 ，给出如下定义：若菱形 上存在一点 ，
使点 绕点 逆时针旋转 的对应点 在菱形 的较短的一条对角线上，则称点 为菱形
的环绕点．下图为菱形 的环绕点 的示意图．
如图，设菱形 的中心为 ， ，点 和点 都在 轴上，且 ．（1）在点 中，菱形 的环绕点是___________；
（2）若 为菱形 的环绕点，求 的取值范围；
（3）设正方形 以点 为中心，各边均与坐标轴平行，边长为 ．若正方形 上任意一点
都是菱形 的环绕点，请你直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3） ．
【解析】
【分析】（1）利用定义画出图形即可判断；
（2）先找出经过关键点时的图形，求出对应的 值，即可求解；
（3）进行分类讨论即可．
【小问1详解】
如图，点 ， ， 中，菱形 的环绕点是 ，故答案为： ，
【小问2详解】
由题意得，环绕点逆时针旋转后的点 在菱形 上运动，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
，
∴由勾股定理得： ，
当点 在第一象限，即 ，
当 经过 时，如图 ， ；当 经过 时，如图 ， ；
∴ 的取值范围是 ，
当点 在第一象限，即 ，
当 经过点 时，如图 ， ；当 经过点 时，如图 ， ；
综上可知 的取值范围是 或 ，
【小问3详解】
如图，当 过点 时，此时： ，解得： ，如图 过点 时，此时 ，
∴ 的取值范围为： ．
【点睛】此题考查了特殊平行四边形的有关性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考
问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
