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北京市前门外国语学校 2021-2022 学年第二学期线上阶段适应性训练
初二数学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 下列线段不能组成直角三角形的是( )．
A. a＝6，b＝8，c＝10 B. a=1，b= ，c=
C. a= ，b=1，c= D. a=2，b=3，c=
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵62＋82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12＋（ ）2＝（ ）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
C、∵（ ）2＋12＝（ ）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
D、∵22＋（ ）2≠32，∴不能组成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角
形就是直角三角形．
2. 在 中， ，则 、 的度数分别是( )
A. 30°，150° B. 35°，145° C. 40°，140° D. 45°，135°
【答案】B
【解析】
【分析】在 中，由于两对角相等，两邻角互余，则 ， ，根据
，易求 、 的度数．
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴ ，
∴
∵
∴ ,
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及应用，熟记平行四边的性质的内容并能加以运用是关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算．
【详解】解：A、 ，所以A选项不符合题意；
B、 ，所以B选项不符合题意；
C、 与 合并，所以C选项不符合题意；
D、 ，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关
键．
4. 把直线y＝3x向下平移2个单位，得到的直线是( )
A. y＝3x﹣2 B. y＝3(x﹣2) C. y＝3x+2 D. y＝3(x+2)
【答案】A
【解析】
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．
【详解】原直线的k＝3，b＝0；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线的k＝3，b＝0﹣2＝﹣2．所以新直线的解析式为y＝3x﹣2．
故选A．
【点睛】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后k不
变这一性质．
5. 下列图象中，y是x的函数的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那
么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【详解】A、C、D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义;
只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每
一个值，y都有唯一的值与其对应．
6. 如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方
形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A. 13 B. 26 C. 47 D. 94
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为 ，C、D的面积和为 ， ，于是
，即 ．
故选C．
7. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1
，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5 ，由此可计算出
学校旗杆的高度是（ ）
A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m
【答案】C
【解析】【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，
在
Rt ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，
△
解得：x=12，
∴旗杆的高度为12m．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
8. 不能判定四边形 （O为对角线 、 的交点）是矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法：三个角都是90°的四边形是矩形，对角线相等且平分的四边形是矩形，有
一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵ ，∴四边形ABCD为矩形，选项正确，不符合题意；
B、∵ ∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵ ，∴四边形ABCD为矩形，选项正确，不符合题意；C、∵ ∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，又∵
∴ ，∴四边形ABCD为矩形，选项正确，不符合题意；
D、∵
∴
∴ ，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵ ， ，
∴
∴ ，∴四边形ABCD为菱形，选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
9. 如图，一次函数 与 的图象交于点 ，则关于 ， 的方程组 的解是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组 的解是
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．
10. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V
是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的概念求解即可．
【详解】①：由题意可知，对于注水量 的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自
变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；的
②：由题意可知，对于水面 面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，
不符合题意；
③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，
不符合题意；
④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是
因变量，所以S是h的函数，符合题意；
所以正确的的序号有①④，
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解∶
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
12. 函数 （ 是常数， ）的图象上有两个点 ， ，当 时， ，
写出一个满足条件的函数解析式：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据A（x，y），A（x，y）满足x＜x 时， 判断出函数图象的增减性即可．
1 1 1 2 2 2 1 2
【详解】解：∵A（x，y），A（x，y）满足x＜x 时， ，
1 1 1 2 2 2 1 2
∴函数y=kx（k≠0）满足k 0
∴y=x（k 0即可）； >
故答案为>：y=x（k 0即可）．
>【点睛】本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；
当k＜0，y随x的增大而减小．
13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得
D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m．
【答案】60
【解析】
【分析】先判断出DE是 ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可
得AB＝2DE，问题得解．△
【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，
的
∴DE是 ABC 中位线，
△
∵DE＝30 ，
∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的
关键．
14. 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，
y表示水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h水位高度将为________m．
【答案】5.1
【解析】
【分析】由题意可得到水位随时间上涨的速度，即可求出再过2h水位高度．
【详解】由表格可知，每小时水库的水位上涨0.3m，
所以2h水库的水位上涨 m，m．
故答案为：5.1．
【点睛】此题考查了变量之间的关系，解题的关键是分析出题目中变量之间的关系．
15. 如图，一次函数 的图象经过点A（1，2），关于x的不等式 的解集为_____．
【答案】x>1
【解析】
【分析】观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可得：当x>1时，kx+b>2，
所以关于x的不等式kx+b>2的解集是x>1，
故答案为x>1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键．
16. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 为 边上一动点（不与点 ， 重合），
于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，根据菱形的性质得到 ， ，根据矩形的判定定理得
到四边形 是矩形，求得 ，当 时， 最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
【详解】解：连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，，
，
四边形 是矩形，
，
当 取最小值时， 的值最小，
当 时， 最小，
，
， ，
，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．三、解答题（本题共52分，17-18题，每小题4分，19-24题，每小题5分，第25题7分，第
26题7分）
17. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】先将二次根式化成最简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
18. 如图，在 中，E，F是对角线 上的两点，且 ．求证：四边形 是平行四边
形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接AC，交BD于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接AC，交BD于点O，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC，OB=OD，
因为DE=BF，所以OD-DE=OB-BF，
所以OE=OF，
所以四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关
键．
19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝________，BC ＝________，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
【答案】（1）见解析；（2） ， ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据作法画出图形即可；
的
（2）根据“两组对边分别相等 四边形是平行四边形”进行证明即可．
【详解】（1）如图所示，（2）证明：连接CD．
∵ AB ＝CD，BC ＝AD，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
故答案为： ， ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
20. 已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为 的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了 ，
设蜡烛点燃x分钟后的长度为 ，
（1）请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；
（2）利用描点法画出此函数的图象；
（3）由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．
【答案】（1）y与x之间的关系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；
（2）见解析； （3）此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【解析】【分析】（1）根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求
解，并求出自变量的取值范围；
（2）用描点法画出函数图像；
（3）从图像直接可以得出结论．
【小问1详解】
由题意可得，
y=24- x=24-0.6x,
∴y与x之间的关系式是y=24-0.6x，
令y=0，则24-0.6x=0，
解得：x=40，
∴自变量x的取值范围是：0≤x≤40；
【小问2详解】
列表为：
x 0 40
y=24-0.6x 24 0
图象是一条线段．描点并连线为：
【小问3详解】
由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕．
【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特
别注意自变量的取值范围．
21. 已知：如图，矩形 中， 是 与 的交点，过 点的直线 与 、 的延长线分别
相交于点 、 ．（1）求证： ；
（2）当 与 满足什么关系时，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
【答案】（1）见解析；（2）当 时，四边形 是菱形，见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质即可求解．
（2）根据菱形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
（2）当 时，四边形 是菱形．
证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，以及矩形的性质和菱形的判定等知识点，熟练掌握判定条件与性质
是关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数的图象经过点 与 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴上一点，且 的面积是5，求点C的坐标．（可以借助图象解决问题）
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意，待定系数法求解析式即可；
（2）设点 ，根据三角形的面积公式以及已知条件建立方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设一次函数的解析式为 ，
一次函数的图象经过点 与 ，，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：设点 ，
如图，有两种情况：
，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，利用数形结合
的思想是解题的关键．
23. 如图，在△ABC中， ，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE，
CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）连接BE，若 ， ，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接DE，DE交AC于O，根据轴对称性质得出AE = AD，CE=CD，根据直角三角形斜边
上的中线性质求出AD=CD，再根据菱形的判定得出即可；
（2）过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，求出AB和BC长，求出OC =1，根据勾股定理求出CM，再
根据勾股定理求出BE即可．
【小问1详解】
证明：∵点E与点D关于直线AC对称，
∴CE＝CD，AE＝AD，
∵∠ACB＝90°， 为边 上的中线，
∴ ，
∴CE＝CD＝AD＝AE，
∴四边形AECD是菱形；
【小问2详解】
解：过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴ ，
∴
由勾股定理得 ，
∵四边形AECD是菱形，
∴EC＝CD＝2，EC//AD，
∴∠ECN＝30°，
∵∠ENC＝90°，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∵∠ENC＝90°，
由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含30°的直角三
角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含30°三角
形的性质是解此题的关键．
24. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1与直线l：y＝2x﹣2交于点A．
1 1 2 2（1）求点A的坐标；
（2）当y＞y 时，直接写出x的取值范围；
1 2
（3）已知直线l：y＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y＞y，直接写出k的取值范围．
3 3 3 2
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由直线l：y=x+1与直线l：y=2x-2交于点A，故可联立方程组： 再解方程组
1 2 2
即可；
（2）根据函数图象，可知：当y＞y 时，x＜3．
1 2
（3）如图， 过定点 当 与 的图象平行时，此时 满足
当x＜3，y＞y 恒成立，当 过 时，则 解得 此时 满足x＜
3 2
3，y＞y 恒成立，再结合函数图象可得答案．
3 2
【小问1详解】
解：由题意得：
解得： ．∴A（3，4）．
【小问2详解】
如图，
当y＞y 时，x＜3．
1 2
【小问3详解】
如图， 过定点
当 与 的图象平行时，
此时 满足当x＜3，y＞y 恒成立，
3 2
当 过 时，则解得
此时 满足x＜3，y＞y 恒成立，
3 2
所以结合图象可得：当x＜3时，对于x的每一个值，都有y＞y，
3 2
k的取值范围为：
【点睛】本题主要考查二元一次方程组、一次函数图象的性质以及一元一次不等式，借助数形结合的思想，
熟练掌握一次函数图象的性质是解题关键．
25. 在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AF，AC，分别过点F，C作
AF，AC的垂线交于点Q．
（1）依题意补全图1，并证明 ；
（2）过点Q作 ，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四
边形FCQN为平行四边形，并证明．
【答案】（1）补图见解析，证明见解析
（2）当 时，四边形FCQN为平行四边形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据题意画出图象，在BA上截取BM＝BF，连接MF，使AF所在的三角形和QF所在的
三角形全等即可得出AF=QF；
（2）取 ，算出FC的长，然后根据AC⊥CQ推导NQ=FC，用平行四边形的判定即可证明四边形
FCQN是平行四边形．
【小问1详解】补全图形如图所示：
证明：如图，在BA上截取BM＝BF，连接MF．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD．
∴∠ACB＝45°．
∵CQ⊥AC，
∴∠ACQ＝90°．
∴∠FCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝135°．
∵BM＝BF，∠B＝90°，
∴∠FMB＝∠MFB＝45°，
．①
∴∠AMF＝180°－∠FMB＝135°．
∴∠AMF＝∠FCQ．②
∵FQ⊥AF，
∴∠AFQ＝90°．
∴∠QFC＋∠AFB＝90°．
∵∠B＝90°，
∴∠BAF＋∠AFB＝90°．
∴∠BAF＝∠CFQ．③
由①②③得△AMF≌△FCQ．
∴AF＝FQ．
【小问2详解】当 时，四边形FCQN为平行四边形．
证明：如图，在BA上截取BM＝BF，连接MF．
∵ ，
∴ ．
由（1）可得△BMF为等腰直角三角形，且△AMF≌△FCQ．
∴ ．
∵ ，
∴∠FCQ＋∠NQC＝180°．
∵∠FCQ＝135°，
∴∠NQC＝45°．
∵∠NCQ＝90°，
∴∠NQC ＝45°＝∠NQC．
∴ ．
∴ ．
∴ 且 ．
∴四边形FCQN为平行四边形．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要能作出适当的辅助线FM来证明
△AMF≌△FCQ，再利用全等三角形的性质得出对应边相等当题目中出现正方形时，要想到正方形的四边
相等，四个内角相等．26. 在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的
“确定正方形”．如图1为点A，B的“确定正方形”的示意图．
（1）如果点C的坐标为（0，1），点D的坐标为（2，1），画出点C，D的一个“确定正方形”，这个
正方形的面积是 ；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点M为直线y＝x＋b（b＞0）上一动点，当点O，M的“确定正方形”
的面积最小，且最小面积为1时，求b的值．
（3）已知点E在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P（m，
0），点F在直线y＝﹣x﹣2上，若要使所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m的
取值范围．
【答案】（1）4；（2） ；（3）m≤-6或m≥2
【解析】
【分析】（1）求出 的长度，即可求出面积；
（2）过点 作直线 的垂线段 ，由最小面积为1知道 ，求出 的值，；
（3）分正方形在直线上方和下方两种情况，当点 垂直直线 于点 时，面积最小为2，
所以 ，再得到 的取值范围．
【详解】解：（1）由 ， 得： ，
这个正方形的面积为： ．
故答案为：4．（2）如图（1），当 垂直与直线 时，点 ， 的“确定正方形”的面积最小，
最小面积为1，
边长 ，
直线 是直线 向上平移 个单位所得，且 是一三象限的角平分线，
直线 与 轴成 角，
，
， ，
把点 代入 得， ，
解得： ．
（3）对直线 ，当 时， ，
直线 与 轴的交点为 ，
如图（2），①当正方形在直线 下方， 垂直 于点 时，点 ， 的“确定正方形”的面
积最小为2，
，
正方形的边长为2，点 是对角线的交点，
，
，
，
，
，
点 ， 的“确定正方形”的面积都不小于2，
，
②当正方形在直线 的上方时， 垂直 于点 时，点 ， 的“确定正方形”
的面积最小为2，
，
正方形的边长为2，点 是对角线的交点，
，，
，
，
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点 ， 的“确定正方形”的面积都不小于2，
，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质．要求学生学会用“垂线段
最短”求出最短的“确定正方形的边长”，从而能够求出对应的 取值和 的取值范围．
