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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023 北京人朝分校初三（上）期中
数 学
一.选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，利用抛物线 的顶点坐标为 可解．
【详解】解：当 时， 取最大值，最大值为1，
因此抛物线 的顶点坐标是 ，
故选A．
2. 一元二次方程 的根是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解法进行计算即可；
【详解】
移项，得 ，
方程左边分解因式，得 ，
所以 或 ，
所以 ，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了一元二次方程解法-因式分解法，解答该题的关键是掌握一元二次方程的几种常见
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方法．
3. 下列各图中，四边形 是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
中阴影部分两个三角形成中心对称，
故选：A．
的
【点睛】本题考查了成中心对称．解题 关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转 后能与另
一个图形重合，这两个图形成中心对称．
4. 如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，
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这种图形叫做旋转对称图形”．根据五角星的特点，用周角 除以5即可得到最小的旋转角度，从而得
解．
【详解】解：∵ ，
的
∴旋转 角度为 的整数倍，
中只有 符合．
故选：C．
5. 如图，点 在 上，直径 于点 ，下列结论中不一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知 为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
【详解】解：根据 为 的直径，且 ，垂足为 ，则 是垂直于弦 的直径，满足
垂径定理．
因而 都是正确的．
所以选项B不一定成立．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解，垂径定理为：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦
所对的劣弧，平分弦所对的优弧，要求学生熟练掌握，灵活运用．
6. 如图， 是 上的三个点，若 ，则 的度数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于熟练掌握，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
7. 抛物线 可以由抛物线 经过以下哪种方式平移得到（）
A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数平移规律，“左加右减，上加下减”即可判断是如何平移得到．
【详解】解：抛物线 向左平移2个单位得到抛物线 ，
故选：C．
【点睛】考查二次函数图象平移的性质，解决本题的关键是掌握二次函数图象平移的性质．
8. 在平面直角坐标系中，点 ，将抛物线 向上平移 个单位，使得平移后的
抛物线与线段 有公共点，则 的取值范围为（ ）
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A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线 向上平移 个单位长度，得到抛物线为 （ ）．当平
移后抛物线的顶点在线段 上时，抛物线开始与线段 有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点A，
点B的纵坐标，据此可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段 有交点，而当抛物线经过
点B时，抛物线最后与线段 有交点，把点 代入函数 ，可求得m的值．将抛物
线向上继续平移，抛物线与线段 没有交点．综上可得 的取值范围．
【详解】将抛物线 向上平移 个单位长度，得到抛物线为 （ ），
如下图，当平移后抛物线的顶点在线段 上时，抛物线开始与线段 有交点，
∵抛物线 的顶点坐标为 ，且 ，
∴ ，解得 ；
将抛物线向上继续平移，即 时，抛物线与线段 有交点，如下图
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抛物线经过点B时，抛物线最后与线段 有交点，如下图，
把点 代入函数 ，得
，解得 ，
将抛物线向上继续平移，即 时，抛物线与线段 没有交点．
综上所述，平移后的抛物线与线段 有公共点，则 的取值范围为 ．
故选：D
【点睛】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键．
二.填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称点的坐标是_______．
【答案】（3，5）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出即可．
【详解】解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标为：（3，5）．
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故答案为：（3，5）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，得出对应点坐标是解题关键．
10. 若方程 有一个根为 ，则代数式 的值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得 ，从而可得 ，代入计算即可得．
【详解】解：∵方程 有一个根为 ，
，即 ，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义（使方程左、右
两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．
11. 已知 在二次函数 的图象上，则 ____________ （填“>”，“<”或
“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算自变量为 、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式，也考查了
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有理数的比较大小．
12. 如图， 是 的直径， ，若 ，则 _______ ．
【答案】
【解析】
【分析】先求得 的度数，由 可求得 ，继而可求得
的度数．熟练掌握同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
13. 如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，若 ，则
的
度数为____________．
【答案】 ##100度
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【解析】
【分析】由旋转可知， ， ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：由旋转可知， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
14. 如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如
果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有函数关系
，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________ ．
【答案】20
【解析】
【分析】由 ， ，根据二次函数的图象与性质求最值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， 最大，最大值为20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于熟练掌
握二次函数的图象与性质．
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15. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线 与 于B、C两
点，那么线段BC的长是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得
的坐标，进而即可求得 的长．
【详解】解： ，则 解得 ，即
解得 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
16. 如图，二次函数 的图象经过点 ．如下四个推断：①抛物线开口向下；
②当 时， 取最大值；③当 时，关于 的一元二次方程 总有两个不相等的实
根；④若直线 经过点 ，当 时， 的取值范围是 ．其
中推断正确的是____________（填写序号）．
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【答案】①③##③①
【解析】
【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可．
【详解】由图象可知点 ， ， ，代入 得到
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，故①正确；
∵ ，
∴当 时，y取最大值，故②错误；
∵ 的顶点坐标是 ，
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当 时，直线 与抛物线有两个交点，
∴关于x的一元二次方程 总有两个不相等的实数根；故③正确；
∵直线 经过点A，C，
∴当 时，x的取值范围是 或 ，故④错误；
综上可知，正确的是①③．
故答案为：①③
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用图象法判断方程的根和求不
等式的解集等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三.解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题
6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次
方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
或 ，
所以 ．
18. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，将
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绕点O顺时针旋转 得到 ，点A的对应点为 ．
（1）画出旋转后的图形 ，并写出点 ， 的坐标；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）详见解析， ， 的坐标
（2）
【解析】
【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度．
（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转 得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出 坐标；
（2）根据勾股定理得出 的长．
【小问1详解】
为
如图所示， 即 所求，
此时 ， 的坐标 ；
【小问2详解】
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连接 ，如图， ．
19. 如图，点A、B、C、D在 上， ， 与 相等吗？为什么？
【答案】AB与CD相等，详见解析
【解析】
【分析】根据 ，得到 ，得到 ，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．熟练
掌弧、弦之间的关系是解题的关键．
【详解】解： 与 相等，
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
20. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC， ．
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作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
为
②以点O 圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC． ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴ OAB是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝ ∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴ ．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（ ）（填推理的依据）．
∴ ABC就是所求作的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两
个端点的距离相等
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等
即可．
【详解】（1）作图正确；
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（2）证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴ OAB是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝ ∠AOB（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．
∴ ．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）．
∴ ABC就是所求作的三角形，
故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【点睛】本题是圆的综合题、作图、考查了圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌
握圆周角定理及作图的基本能力．
21. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是 中弦 的中点，
经过圆心O交圆O于点E，并且 ．求 的半径．
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【答案】
【解析】
【分析】连接CO，利用垂径定理求解 再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即
可得到答案.
【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM＝ CD＝ ×4＝2．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴ ，
解得：r＝ ．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关
键.
22. 已知关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出关于 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据 的范围可知 ，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案．
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【小问1详解】
∵原方程有实数根，
【小问2详解】
∵ 为正整数，又 ，
当 时，原方程为 ，
即 ，
解得， ．
因此，原方程的根为 ；
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情
况得出关于 的一元一次不等式；（2）确定 的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，
由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ．
（1）求此函数的解析式；
（2）结合图象，直接写出当 时，函数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）先求出二次函数图象与x轴的交点横坐标，由 ，可知对称轴为直线
，顶点坐标为 ，由 ，在图象与x轴的两交点之间，进而可得 ．
【小问1详解】
解：将 ，代入 得， ，
解得， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，
解得， 或 ，
∵ ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵ ， 在图象与x轴的两交点之间，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键是求出函数解析
式并数形结合．
24. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩
形的长和宽各是多少．
【答案】长：10m，宽5m．
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【解析】
【分析】首先设与墙平行的一边长为xm，根据篱笆的总长求出另一边长，根据面积列出关于x的一元二次
方程，求出x的值．
【详解】解：设矩形与墙平行的一边长为xm， 则另一边长为 m．
根据题意，得 ． 整理，得 ．
解方程，得 ． 当 时， ．
答：矩形的长为10m，宽为5m．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．
25. 如图，在 中， ，点 为 边上一点（不与点 重合），连接 ，将
绕点 逆时针旋转得到 ．
（1）若 ，写出旋转角及其度数；
（2）当 度数变化时， 与 之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为 ；
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 内 角 和 得 出 ，
，即可求解；
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【小问1详解】
当 时，
，
∵ 旋转得到 ，其中 旋转到 .
∴旋转角为 ；
【小问2详解】
∵ ，
，
∵ 旋转得到 ，
，
，
即 ，
，
即 ，
；
【点睛】该题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答该题的关键是掌握旋
转的性质．
26. 已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的项点坐标（用含 的式子表示）；
（2）抛物线上有不同的两点 ，若 ，直接写出 的值；
（3）点 在抛物线上，是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，
求出 的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
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（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由 ，可得顶点坐标为 ；
（2）由题意知， 关于直线 对称，即 ，计算求解即可；
（3）由顶点坐标为 ， ，可知 ，当 时， 随着 的增大而增大，当 时，
随着 的增大而减小；由 ，可得 ，当 ，即
时， ；当 ，且 ，即 时，
；然后作答即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：∵抛物线上有不同的两点 ， ，
∴ 关于直线 对称，
∴ ，解得， ，
∴ ；
【小问3详解】
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解：∵顶点坐标为 ， 恒成立，
∴ ，当 时， 随着 的增大而增大，当 时， 随着 的增大而减小；
∵ ，
∴ ，
当 ，即 时， ；
当 ，且 ，即 时， ；
综上所述，存在，当 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的
图象与性质．
27. 在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异
侧），点D是射线 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
（1）如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段 ．若 ，则 的长为 （用含a
的式子表示）；
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
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（2）①详见解析；② ，详见解析
【解析】
【分析】（1）根据各角之间的关系得出 ，即可确定位置关系，画出 ；再由全
等三角形的判定和性质得出 ，即可得出结果；
（2）①过点 A 作 于点 点 N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出
，再由其性质即可得出结果；②在 上截取 ，连接 ，由各角之
间的关系得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，
，即可得出结果．
【小问1详解】
当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 ，过点A作 于点M，如图1：
则 ，
∵ ，
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∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
①证明：过点A作 于点M、 点N，如图2：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图3：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①知： ，
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即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运
用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图
形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，
则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点 （0，2） ， （3，3）， （ ，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（ ，1），若点E（ ，3） 是正方形
ABCD的“倍点”，求 的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写
出满足条件的点T所构成的图形的面积．
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【答案】（1）① 2；② ；（2）t的值为3或 ；（3） π
【解析】
【分析】（1）①根据定义解答即可；②分别找出 的最大值，再根据定义判断即可；
（2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为 ．若点E（t，3）是正方形ABCD的
“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为 ． 分 ， 和
分别讨论即可求解；
（3）分线段MN在 内部和在 外部两种情况讨论即可.
【详解】（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，
故答案为：2；
②由图可知 ，故 不是图形W的“倍点”； ，故 不是图形W
的“倍点”； ，当Q（1，0）时， =2d，故P为图形W的“倍点”；
故答案为： ；
（2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为 ．
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依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为 ．
当 时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可
求得EH=4，从而点E的坐标为 ，即 ；
当 时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为 ，即 ．
当 时，显然不符合题意．
综上，t的值为3或 ．
（3）MN上d=2，2d=4，
当线段MN在 内部时，EM=4, TM=1,
,
∴小圆的半径是 ,
同理，当线段MN在 外部时，
∴大圆的半径是 ,
，
故点T所构成的图形的面积为 .
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【点睛】此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，
学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
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