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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题27 探究向心力大小的表达式
导练目标 导练内容
目标1 教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
目标2 新高考的改进创新实验
【知识导学与典例导练】
一、教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
1.实验目的：
探究向心力与物体的质量、转动的角速度、转动的半径之间的定量关系。
2.实验思路：采用控制变量法探究
(1)使两物体的质量、转动的半径相同,探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系;
(2)使两物体的质量、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系;
(3)使两物体的转动半径、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。
3.实验器材：
向心力演示仪,见下图。
当转动手柄1时,变速塔轮2和3就随之转动,放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。
球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处,短臂挡板就推压球,给球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用,短臂向外时,长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧,使测力部分套管7上方露出标尺8的格数,
便显示出了两球所需向心力之比。
4.进行实验：
(1)安装并调试向心力演示仪:在滑槽静止时,旋动两测力部分标尺的调零螺母,使两套管的上沿都与标尺
顶端对齐。
(2)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球转
动的角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
(3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使半径之比为2∶1;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速
度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
(4)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上,使两球的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球的
角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
分析与论证:
(1)分析表格,发现F跟ω的二次方成正比。
(2)分析表格,发现F跟r成正比。
(3)分析表格,发现F跟m成正比。
5.实验结论:
物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比,跟半径成正比,跟角速度的二次方成正比。
【例1】某同学用如图的向心力演示器探究影响向心力大小的因素。
（1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列方案正确的是______；
A．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
（2）该同学在某次实验中匀速转动手柄，左边标尺露出1格，右边标尺露出4格，之后仅增大手柄的转速，
则左右两标尺示数______，两标尺示数的比值______。（选填“变大”、“变小”或“近似不变”）
【答案】 C 变大 近似不变
【详解】（1）[1]ABC．向心力大小公式为 所以为了探究向心力大小和角速度的关系式，应保证
质量和半径一样，AB错误，C正确。
（2）[2]当增大手柄转速时，角速度增大，向心力增大，标尺示数变大
（2）[3]根据 可知，v相同，则塔轮的角速度之比为传送带连接塔轮的半径反比，而小球圆周
运动半径相同，则向心力之比为传送带连接塔轮的半径平方反比，即 所以当加速转动手柄
时，两标尺示数的比值近似不变。
二、新高考的改进创新实验
1.传感器测量法
【例2】某同学用如图所示的装置做探究向心力大小与角速度大小的关系的实验．装置中水平光滑直杆随
竖直转轴一起转动，一个滑块套在水平光滑杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细
绳处于水平伸直状态，当滑块随水平杆一起匀速转动时，细线的拉力就是滑块做圆周运动需要的向心力。
拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过轻质角速度传感器测得。（1）保持滑块的质量和到竖直转轴的距离r不变，仅多次改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的
示数F及角速度传感器的示数 ，根据实验数据得到 的图线斜率为k，则滑块的质量为________。
（用题目中的字母表示）
（2）若水平杆不光滑，根据（1）得到图线的斜率将________。（选填“增大”“不变”或“减小”）。
【答案】 不变
【详解】（1）[1]由公式 所以 图像的斜率为 所以解得
（2）[2]若水平杆不光滑，一开始静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值后，有
可得 ， 图像的斜率为 可知 图线的斜率不变。
2.光电门测量法
【例3】利用水平旋转平台验证向心力与质量、角速度、半径的定量关系，选取光滑水平平台MN，如图甲
所示，平台可以绕竖直转轴 转动，M端固定的压力传感器可以测出物体对其压力的大小，N端有一宽
度为d的遮光条，光电门可以测出每一次遮光条通过时的遮光时间。
实验过程如下：a.用游标卡尺测出遮光条的宽度，如图乙所示；
b.用天平测出小物块质量为m；
c.测出遮光条到转轴间的距离为L；
d.将小物块放置在水平平台上且靠近压力传感器，测出小物块中心位置到转轴间的距离为R；
e.使平台绕转轴做不同角速度的匀速转动；
f.通过压力传感器得到不同角速度时，小物块对传感器的压力F和遮光条通过光电门的时间t；
g.在保持m、R不变的前提下，得到不同角速度下压力F与 的图像如图丙所示，其图线斜率为k。
请回答下列问题：
（1）遮光条宽度d=______cm。
（2）当遮光条通过光电门的时间为t 时，平台转动的角速度 =______（用相应的字母符号表示）。
0
（3）验证小物块受到的向心力与质量、角速度、半径间的定量关系时，则图线斜率应满足k=______（用
m、d、R、L等物理量符号表示）。
【答案】 0.246
【详解】（1）[1]游标卡尺读数
（2）[2]时间为 时，平台转动角速度
（3）[3]由牛顿第二定律 在 图像中是过原点的直线，则斜率
3.圆锥摆测量法
【例4】如图所示为研学小组的同学们用圆锥摆验证向心力表达式的实验情景。将一轻细线上端固定在铁架台上，下端悬挂一个质量为m的小球，将画有几个同心圆周的白纸置于悬点下方的水平平台上，调节细
线的长度使小球自然下垂静止时恰好位于圆心处。手带动小球运动使它在放手后恰能在纸面上方沿某个画
好的圆周做匀速圆周运动。调节平台的高度，使纸面贴近小球但不接触。
(1)若忽略小球运动中受到的阻力，在具体的计算中可将小球视为质点，重力加速度为g；
①从受力情况看，小球做匀速圆周运动所受的向心力是____________（选填选项前的字母）；
A．小球所受绳子的拉力
B．小球所受的重力
C．小球所受拉力和重力的合力
②在某次实验中，小球沿半径为r的圆做匀速圆周运动，用秒表记录了小球运动n圈的总时间t，则小球做
此圆周运动的向心力大小F=____________（用m、n、t、r及相关的常量表示）。用刻度尺测得细线上端
n
悬挂点到画有圆周纸面的竖直高度为h，那么对小球进行受力分析可知，小球做此圆周运动所受的合力大
小F=____________（用m、h、r及相关的常量表示）；
③保持n的取值不变，改变h和r进行多次实验，可获取不同时间t。研学小组的同学们想用图像来处理多
组实验数据，进而验证小球在做匀速圆周运动过程中，小球所受的合力F与向心力F 大小相等。为了直观，
n
应合理选择坐标轴的相关变量，使待验证关系是线性关系。为此不同的组员尝试选择了不同变量并预测猜
想了如图所示的图像，若小球所受的合力F与向心力F 大小相等，则这些图像中合理的是__________（选
n
填选项的字母）；(2)考虑到实验的环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是_________（选
填选项前的字母）；
A．相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响
B．相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆周运动的半径
C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差
D．在这个实验中必须测量出小球的质量
(3)上述实验中小球运动起来后撤掉平台，由于实际实验过程中存在空气阻力的影响，所以持续观察会发现
小球做圆周运动的半径越来越小，经过足够长时间后，小球会停止在悬点正下方。若小球在运动中每转动
一周的时间内半径变化均可忽略，即每一周都可视为匀速圆周运动。请分析说明在小球做上述圆周运动的
过程中，随着细绳与竖直方向的夹角不断减小，小球做圆周运动的周期是如何变化的_______；
(4)小明同学认为:在摆角较小的条件下，单摆的周期和圆周摆的周期可以认为相等，请推导证明小明的观点
是否成立________。
【答案】 C B ABC 周期变大 成立
【详解】（1）①[1]小球受重力和细线的拉力作用，则小球做圆周运动的向心力由重力和细线拉力的合力
提供，故选C；
②[2][3]小球做半径为r的圆周运动的周期为 则向心力 小球所受的合力为③[4]设小球做半径为r的圆周运动的周期为 此时小球距细线上端固定点的竖直高度为h，根据合外
力等于向心力有 可得 故选B。
（2）[5]A．相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响，选项A正确；
B．相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆心的位置，从而容易确定其圆周运动的半径，
选项B正确；
C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差，选项 C正确；
D．由③的分析可知，当合外力等于向心力时，小球的质量可以消掉，则在这个实验中不需测量出小球的
质量，选项D错误。故选ABC。
（3）[6]设小球做半径为r的圆周运动的周期为T，此时小球距细线上端固定点的竖直高度为h，根据合外
力等于向心力有 可解得 因半径变小，绳长不变，h变大，故小球周期变大。
（4）[7]成立；圆锥摆的周期根据 得 夹角较小，cosθ≈1则
即此时单摆的周期和圆周摆的周期可以认为相等。
【多维度分层专练】
1．探究向心力大小F与物体的质量m、角速度 和轨道半径r的关系实验。
（1）本实验所采用的实验探究方法与下列哪个实验是相同的__________；
A．探究平抛运动的特点
B．探究两个互成角度的力的合成规律
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系（2）一组同学用向心力演示器进行实验，实验情境如图甲、乙、丙所示。
三个情境图中，探究向心力大小F与质量m关系的是图__________（选填“甲”、“乙”、“丙”）。
（3）另一组同学用如下图所示实验装置进行探究，圆柱体放置在水平圆盘上做匀速圆周运动，圆柱体与
圆盘之间的摩擦可忽略不计。力传感器测量向心力大小F，角速度传感器测量角速度大小 ，该组同学通
过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究F与 的关系。
该组同学让圆柱体做半径为r的匀速圆周运动，得到如图1所示图像，对图线的数据进行处理，获得了如
图2所示的图像，该图像是一条过原点的直线，则图像横坐标x代表的是__________，如果直线的斜率为
k，则可以得到圆柱体的质量为__________。
【答案】 C 丙
【详解】（1）[1]本实验采用的实验探究方法是控制变量法，采用这个探究方法的实验还有“探究加速度
与物体受力、物体质量的关系”，故选C。（2）[2]探究向心力大小F与质量m的关系时，需要控制半径、角速度不变，采用不同质量的小球进行比
较，故选“丙”。
（3）[3]由向心力公式 可知，当质量m和运动半径r不变时， 所以图像横坐标x代表的是
。
[4]图像的斜率 则可以得到圆柱体的质量为
2．小明同学为探究向心力F与线速度v的关系，用如图所示的实验装置完成实验。其中质量为m的小圆
柱体放在未画出的水平光滑圆盘上，沿图中虚线做匀速圆周运动。力电传感器测定圆柱体的向心力，光电
传感器测定线速度，轨迹的半径为r。实验过程中保持圆柱体质量和运动半径不变。
（1）该同学采用的实验方法为___________。
A．等效替代法 B．理想化模型法 C．控制变量法
（2）改变线速度v，并进行多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.88 1.98 3.50 5.50 7.90
该同学利用实验数据做出了以下四个图像，其中能较为直观地展示向心力F与线速度v关系的图像是
___________。（3）根据图像分析的结果，小明可以得到实验结论___________。
【答案】 C B 在质量和轨迹半径一定的情况下，向心力F与线速度 的平方成正比关系
【详解】（1）[1]探究向心力与质量、半径和线速度的关系时，为了只研究向心力与速度的关系，应采用
控制变量法。故选C。
（2）[2]根据 可知F-v2的图像是一条过原点的倾斜直线，在四幅图中最为直观。故选B。
（3）[3]在质量和轨迹半径一定的情况下，向心力F与线速度v的平方成正比关系。
3．如图（a）所示为探究向心力与质量、半径、角速度关系的实验装置。金属块放置在转台凹槽中，电动
机带动转台做圆周运动，可通过改变电动机的电压来控制转台的角速度。光电计时器可以采集转台转动时
间信息。已知金属块被约束在转台的径向凹槽中，只能沿半径方向移动，且可以忽略与凹槽之间的摩擦力。(1)某同学保持金属块质量和转动半径不变，仅改变转台的角速度，探究向心力与角速度的关系。不同角速
度对应的向心力可由力传感器读出。若光电计时器记录转台每转50周的时间为T，则金属块转动的角速度
=_____
(2)上述实验中，该同学多次改变角速度后，记录了一组角速度 与对应的向心力F的数据，见下表。请根
据表中数据在图（b）给出的坐标纸中作出F与 的关系图象_____。由图象可知，当金属块质量和转动半
径一定时，F与 呈_____关系（选填“线性”或“非线性”）。
次数
1 2 3 4 5
物理量
F/N 0.70 1.35 1.90 2.42 3.10
2.3 4.6 6.6 8.3 10.7
(3)为了探究向心力与半径、质量的关系，还需要用到的实验器材：_____、_____。
【答案】 线性 刻度尺 天平
【详解】(1)[1]由题意可知，周期为 根据角速度和周期的关系可得角速度(2)[2] [3]根据描点法在坐标纸中作出F－ω2的关系图象如图所示
由图像可知，F与 呈线性关系
(3) [4][5]根据向心力F=mrω2可知，为了探究向心力跟半径、质量的关系，还需要用到的实验器材刻度尺测
n
半径，还需要用天平测量金属块的质量m
4．某同学做验证向心力与线速度关系的实验。装置如图甲所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下
端悬挂一小钢球。钢球静止时刚好位于光电门中央，主要实验步骤如下：
①用游标卡尺测出钢球直径d；
②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F，用米尺量出线长L；
1
③将钢球拉到适当的高度处静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为
F；已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
2(1)游标卡尺测出小球直径，如图乙所示，则d＝______cm。
(2)根据向心力公式，小球通过最低点时所需向心力______（用题中物理量符号表示）。
(3)若等式______成立（用题中物理量符号表示），则可以验证向心力表达式。
(4)该实验可能的误差有：______。（写出一条即可）
【答案】 1.64 测摆线长度或者光电门测速
【详解】(1)[1]该游标卡尺的精度为0.1mm，游标卡尺的读数＝主尺读数+游标尺的读数，即游标卡尺的读
数＝1.6cm+0.1mm×4=1.64cm。
(2)[2]钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F，则有mg＝F，故小球的质量 小球通过最低点时
1 1
的速度为 根据向心力公式，小球通过最低点时所需向心力
(3)[3]小球通过最低点时，受小球的重力和细线的拉力作用，拉力F 和重力mg的合力提供小球作圆周运动
2
的向心力，故其通过最低点时所需向心力 若等式 成立，则可以验证
向心力表达式。
(4)[4]该实验可能的误差有测摆线长度有误差，或者光电门测速存在误差等等。
5．如图甲所示，某探究小组用能够显示并调节转动频率的小电动机验证匀速圆周运动的向心力关系式①把转动频率可调的小电动机固定在支架上，转轴竖直向下，将摇臂平台置于小电动机正下方的水平桌面
上；
②在转动轴正下方固定一不可伸长的细线，小电动机转轴与细线连接点记为O。细线另一端穿过小铁球的
球心并固定；
③启动电动机，记录电动机的转动频率f，当小球转动稳定时，将摇臂平台向上移动，无限接近转动的小
球；
④关闭电动机，测量O点到摇臂平台的高度h；
⑤改变电动机的转动频率，重复上述实验。
(1)探究小组的同学除了测量以上数据，还用游标卡尺测量了小球的直径D，如图乙所示，读数为
________mm；本实验___________（填“需要”或“不需要”）测量小球的质量。
(2)实验中测得了O点到摇臂平台的高度h、小球的直径D和电动机的转动频率f，已知当地的重力加速度
为g，若所测物理量满足g=_________，则 成立。（用所测物理量符号表示）
【答案】 10.52 不需要【详解】(1)[1]主尺读数为10mm，游标尺第26个刻度和主尺对其，精确度为0.02mm，故游标尺读数为
0.52mm，故小钢球的直径为10.52mm；
[2]设细线与竖直方向的夹角为 ，从 到球心的距离为 ，如图所示
根据牛顿第二定律可得 ， 可以约去，则得
其中 则有 所以本实验不需要测量小球的质量；
(2)[3]通过上述分析可知所测物理量满足
6．某小组利用拉力传感器验证“圆周运动的向心力表达式”，实验装置如图甲所示，拉力传感器竖直固
定。一根不可伸长的细线上端固定在传感器的挂钩上，下端系着质量为m的小钢球，钢球静止于A处，其
底部固定一竖直遮光片，A处正下方安装有光电门。拉起钢球使细线与竖直方向成适当角度，钢球由静止
释放后在竖直平面内运动，得到遮光片通过光电门的遮光时间为△t。重力加速度大小为g：
(1)用游标卡尺测遮光片宽度d的示数如图乙所示，则其读数为__________mm，并测得钢球做圆周运动的半径为r；
(2)钢球经过A点时拉力传感器的示数为F，则钢球受到的合力大小F=F－mg。利用光电门测得此时钢球的
1
速度后，求出钢球经过A点时向心力大小F=__________（用m、r、d、△t表示），在实验误差允许范围
2
内通过比较F、F 是否相等进行验证；
1 2
(3)由于测量速度时引起的误差，第(2)问中F__________F（选填“略大于”或“略小于”）。
1 2
【答案】 3.85 略大于
【详解】(1)[1]游标卡尺的主尺读数为：0.3cm=3mm，游标尺上第17个刻度和主尺上某一刻度对齐，所以
游标尺读数为17×0.05mm=0.85mm，所以最终读数为：3mm+0.85mm=3.85mm
(2)[2]钢球经过A点的速度为 钢球经过A点时向心力大小
(3)[3]由于实验中用小球运动距离为小球直径时的平均速度代替，则此速度比小球中心经过A点时的真实速
度偏小，所以F 略大于F
1 2
7．如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间摩擦因数的大小设计了该装置．已知固定于转轴上的
角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细线连接物块，细线刚好拉直，物块随盘缓慢加
速．在电脑上记录如图乙所示图象．换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块abc分别
对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系．回答下列问题：
（1）物块没有看作质点对实验是否有影响？______（选填“是或“否”）．
（2）物块a、b、c的密度之比为______（3）物块a、b、c与转盘之间的摩擦因数之比为______
【答案】 否 2：2：1 1：2：2
【详解】（1）该题研究的是向心力和角速度的关系，物体的形状对研究的问题无影响，所以物体没有看
作质点对实验是没有影响；
（2）当物块随盘缓慢加速过程中，物体的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后则由绳子的
拉力和最大静摩擦力提供，即： ，
所以有 ，图象的斜率为mr，与纵轴的截距为-μmg，根据图象知a的斜率k=mr=1，b的斜
a a
率k=mr=1，c的斜率k=mr= ，所以a、b、c的质量之比为2：2：1，因为体积相同，所以物块a、b、c
b b c c
的密度之比为2：2：1.
（3）由图象知a的纵截距-μmg=-1，b的纵截距-μ mg=2，c的纵截距-μmg=1，结合质量之比得到物块
a a b b c c
a、b、c与转盘之间的摩擦因数之比为1：2：2；
8．某校学生验证F =m 的实验中，设计了如下实验：
n
第1步：先用粉笔在地上画一个直径为2L的圆
第2步：通过力的传感器，用绳子绑住一质量为m的物块，人站在圆内，手拽住绳子离物块距离为L的位
置，用力甩绳子，使小球做匀速圆周运动，调整位置，让转动物块的手肘的延长线刚好通过地上的圆心，
量出手拽住处距离地面的高度为h，记下力的传感器的读数为F．第3步：转到一定位置时，突然放手，让物块自由抛出去．
第4步：另一个同学记下物块的落地点C，将通过抛出点A垂直于地面的竖直线在地面上的垂足B与落地
点C连一条直线，这条直线近似记录了物块做圆周运动时在地面上的投影圆B的运动方向，量出BC间的距
离为S．
第5步：保持物块做圆周运动半径不变，改变物块做圆周运动的速度，重复上述操作，试回答：
(1)放手后，物块在空中运动的时间t=___________．
(2)物块做圆周运动的速度v =___________．
0
(3)物块落地时的速度大小为v=___________．
(4)在误差范围内，有F=___________(用题中的m、L、h、S和重力加速度g表示)．
【答案】
【详解】（1）小球飞出后做平抛运动，根据h= gt2得，小球在空中运动的时间 ．
（2）小球做圆周运动的线速度 ；
（3）落地时的竖直分速度vy＝ ，根据平行四边形定则知，小球落地的速度
（4）绳子的拉力等于小球做圆周运动的向心力，则拉力 ．
