文档内容
2025 届高三第一次校际联考
数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培
养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在
校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为： ．则这组数据的 分位数为
（ ）
A．90 B．92.5 C．85 D．95
5．若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手
中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．360种 B．288种 C．504种 D．480种
7．由直线 上的一点向圆 引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
8．已知函数 ，若数列 为递增数列，则称函数 为“数列保增函数”．若函数
为“数列保增函数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．对于函数 和 ，下列说法正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最值
C． 与 有相同的周期 D． 的图象与 的图象有相同的对称轴
10．已知数列 满足 ，其中 ，设 为数列 的前n项和，则下列选项
正确的有（ ）
A． 为等差数列 B． C． D．当 时， 有最大值
11．已知圆 的圆心为E，抛物线 的焦点为F，准线为l，动点P满足
，则（ ）
A．曲线E与C仅有一个公共点 B．点P的轨迹为椭圆
C． 的最小值为1 D．当点P在l上时，
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
学科网（北京）股份有限公司12．已知向量 ，若 ，则实数 _______．
13． _______．
14．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台 ，上下底
面的中心分别为 和O，若 ，则正四棱台 的体积为
_______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
在 中，角 的对边分别为 ，已知 ．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）求 的值．
16．（本小题满分15分）
已知函数 ．
（I）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求函数 在 上的值域．
17．（本小题满分15分）
如图，四棱锥 中， 底面 ，四边形 是正方形， 分别是 的中点．
（I）求证： 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的大小．
18．（本小题满分17分）
已知双曲线 的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且 ，
．
（I）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）设 是双曲线C上不同的两点，Q是线段 的中点，O是原点，直线 的斜率分别为
，证明： 为定值．
19．（本小题满分17分）
如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，
其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为 ．
（I）记质点移动5次后位于8的位置的概率为 ，求 的最大值及最大值点 ；
（Ⅱ）若 ，记质点从原点0运动到n的位置的概率为 ．
（i）求 ；
（ii）证明： 是等比数列，并求 ．
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数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对
一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）
9．ABC 10．AD 11．ABC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（I） ，
，
．……（6分）
（Ⅱ） ，
，
，
．……（13分）
16．解：（I）函数 的定义域为R，
，
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ；由 ，得 或 ，
故函数 的递增区间为 ，递减区间为 和 ．…（7分）
（Ⅱ）由（I）可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取得极小值即最小值， ，
又 ，
函数 在 上的值域为 ．……（15分）
17．解：（I）证明： 分别为 的中点，
，
四边形 为正方形， ，
，
平面 平面 ，
平面 ．…（7分）
（Ⅱ） 四边形 为正方形， ，
平面 平面 ，
两两垂直，
故以A为原点， 所在的直线为x轴， 所在的直线为y轴， 所在的直线为z轴，建立空间直角坐标
系 ，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 即 得
令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
，
直线 与平面 所成角的大小为 ．…（15分）
18．解：（I）不妨设双曲线C的半焦距为 ，
，
，
解得 ，
则 ，
故双曲线C的方程为 ．……（8分）
（Ⅱ）证明：设 ．则 ，
为双曲线C上的两点，
学科网（北京）股份有限公司两式相减得 ，整理得 ，
则 ，
故 为定值，定值为4．…（17分）
19．解：（I）由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，
，
，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，此时 ．……（6分）
（Ⅱ）（i） ，
则 ．…（10分）
（ii）证明：由题意， ，2
，
是首项为 ，公比为 的等比数列，…（14分）
故 ，
学科网（北京）股份有限公司．…（17分）
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