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专练 56 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用
1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每
位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则
该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确
与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题
中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为
0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
2．[2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜
者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩
余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
3．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200只小鼠随机
分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．
每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残
留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P(C)的估
计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表).
4．某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次
检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量
结果得到频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)技术分析人员认为，本次测量的产品的质量指标值X服从正态分布N(μ，12.22)，若
同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8，212.2)
内的概率；
(3)设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y＝
假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．
参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954
5.5.[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．
已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
6.
[2022·广东深圳模拟]“2020弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于2020年11月26
日在深圳举行，会议同期举行了“深圳市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式．从2021
年1月起到12月，深圳市文化和健康发展促进会将连续举办 52场中华优秀传统文化公益
讲堂，邀请多位名家名师现场开讲．某学校文学社为响应这次活动，举办了中华古诗词背
诵比赛，统计的比赛成绩(单位：分)的数据如频率分布直方图所示，已知成绩在[80，90)内
的有50人．
(1)求a的值及参加比赛的总人数．
(2)分别从[80，90)，[90，100]分数段中选取1人和2人组成“优胜”队，与另一学校
的“必胜”队的3人进行友谊赛，两队的选手每人均比赛1局，共比赛3局，胜1局得1分，
输1局得0分，没有平局．已知“优胜”队中成绩在[80，90)内的选手获胜的概率为，在
[90，100]内的2名选手获胜的概率分别为，，记“优胜”队的得分为随机变量X，求X的
分布列和期望．
7.[2020·全国卷Ⅱ]某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所
增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i＝1，2，…，
i i
20)，其中x和y分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，
i i
并计算得 ＝60，＝1 200，(x－x)2＝80，(y－y)2＝9 000，(x－x)(y－y)＝800.
i i i i i i
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(x，y)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
i i
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得
该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理
由．
附：相关系数r＝，≈1.414.
8．[2022·新高考Ⅰ卷，20]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生
习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100
例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数
据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事
件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度
量指标，记该指标为R.
(ⅰ)证明：R＝·；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计
值．
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
