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2025-2026学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）若集合A＝{0，1，3，5}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{3，5} D．{1，3，5}
2．（5分）已知复数z满足z（1﹣2i）＝1+i，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知a＞0，b＞0，则“a+b≤2”是“ab≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知向量，，在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．8 B． C． D．
5．（5分）已知，则tan2 ＝（ ）
A． Bθ． C． D．
6．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F ，F ，以F F 为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交
1 2 1 2
点为M，若∠MF F ＝30°，且焦点到渐近线的距离为，则C的方程为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
7．（5分）在正方体ABCD﹣A B C D 中，E为AA 的中点，，，若D ，E，F，G四点共面，则 的值
1 1 1 1 1 1
为（ ） λ
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）＝e﹣cos x，若a＝f（log 12），，，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
π
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c
第1页（共16页）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知直线l：mx﹣y+m+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣13＝0，则（ ）
A．当时，直线l过圆心C
B．存在实数m，使得直线l与圆C相切
C．直线l被圆C截得的最长弦长为
D．直线l被圆C截得的最短弦长为
（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）在区间上单调递减
C．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D．f（x）的图象向右平行移动个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）为偶函数
（多选）11．（6分）已知圆锥PO 的底面圆O 半径为，母线长为，A为圆锥底面上任意一点，O为圆锥
1 1
PO 外接球的球心，S为球面上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
1
A．圆锥PO 的侧面积为
1
B．球O的体积为36
C．点S的轨迹长度为π4
D．的最大值为6 π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和，若a ＝1，3S ＝4S +12，则公差d＝ ．
n n 1 4 3
13．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+b，若函数y＝f（x+a）﹣1为奇函数，则a+b＝ ．
14．（5分）已知椭圆Γ：，曲线 ：xy＝m（m＞0），曲线 与椭圆Γ在第一象限内有两个交点A，B，
若AB的斜率为，则椭圆Γ的离Ω心率为 Ω ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，BC边上的高为3，求b+c．
16．（15分）记S 为正项数列{a }的前n项和，已知．
n n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）令，求数列{a b }的前n项和T ．
n n n
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，，AD∥BC，PB⊥AC，点M在棱PB上．
第2页（共16页）（1）证明：平面ACM⊥平面PAB；
（2）若，PD∥平面ACM，求直线PB与平面ACM所成角的正弦值．
18．（17分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交C于点A，B，当直线l垂
直x轴时，点A的坐标为（1，p）．
（1）求C的方程；
（2）求4|AF|+|BF|的最小值；
（3）若点M在抛物线C外，线段MF的垂直平分线与C相切，求点M的轨迹方程．
19．（17分）已知函数f（x）＝aex﹣（x﹣1）2．
（1）若直线l：4x﹣y+1＝0是曲线f（x）的一条切线，求a的值；
（2）若函数f（x）有三个零点，设为x ，x ，x 且x ＜x ＜x ．
1 2 3 1 2 3
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
第3页（共16页）2025-2026学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C D C A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD ABD ABD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）若集合A＝{0，1，3，5}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{3，5} D．{1，3，5}
【分析】根据对数函数的定义域求出集合B，再根据交集的定义求出结果．
【解答】解：根据对数函数的定义知，2﹣x＞0，解得x＜2，所以B＝{x|x＜2}，
又因为A＝{0，1，3，5}，所以A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．（5分）已知复数z满足z（1﹣2i）＝1+i，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由复数的除法运算及复数的基本概念求解．
【解答】解：由z（1﹣2i）＝1+i，得，
所以z的虚部为．
故选：B．
3．（5分）已知a＞0，b＞0，则“a+b≤2”是“ab≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】通过基本不等式的性质判断前者是否推出后者，通过特例判断后者是否推出前者，即可得到
结论．
第4页（共16页）【解答】解：a＞0，b＞0，“a+b≤2”， 2≥a+b≥2 1 “ab≤1”正确，
当a＝10，b＝0.1时，ab≤1，所以a+b≤2⇒不成立， ⇒ ⇒
即前者是推出后者，后者推不出前者，
所以a＞0，b＞0，“a+b≤2”是“ab≤1”的充分而不必要条件．
故选：A．
4．（5分）已知向量，，在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．8 B． C． D．
【分析】由图得到坐标，根据向量的加法法则和向量模的计算公式求解．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，则，
所以，
所以．
故选：C．
5．（5分）已知，则tan2 ＝（ ）
A． Bθ． C． D．
【分析】根据两角和与差的余弦公式化简已知等式，结合同角三角函数的关系求得tan ，然后运用二
倍角的正切公式算出答案． θ
【解答】解：根据，
可得cos sin ＝2（cos sin ），整理得cos ＝3sin ，
所以tanθ，可θ得． θ θ θ θ
故选：Dθ．
第5页（共16页）6．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F ，F ，以F F 为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交
1 2 1 2
点为M，若∠MF F ＝30°，且焦点到渐近线的距离为，则C的方程为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得△MOF 是等边三角形，根据已知可得，进而可得|MF |＝2，可求得c＝2，进而可
2 2
求双曲线的方程．
【解答】解：由题可得：∠F MF ＝90°，又因为∠MF F ＝30°，所以|F F |＝2|MF |，∠MOF ＝
1 2 1 2 1 2 2 2
2∠MF F ＝60°，
1 2
所以△MOF 是等边三角形．
2
又双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，焦点F （c，0），
2
所以焦点F （c，0）到渐近线的距离为，所以，
2
所以可得|MF |＝2，所以|F F |＝4，所以2c＝4，解得c＝2，
2 1 2
所以a2＝c2﹣b2＝1，所以双曲线C的方程为．
故选：C．
7．（5分）在正方体ABCD﹣A B C D 中，E为AA 的中点，，，若D ，E，F，G四点共面，则 的值
1 1 1 1 1 1
为（ ） λ
A． B． C． D．
【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据
四点共面列出方程组，进而求出结果．
【解答】解：如图所示，以A 为原点，以A B ，A D ，A A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标
1 1 1 1 1 1
系，
第6页（共16页）设正方体的棱长为1，根据条件得出以下几个点的坐标：
，
所以，
因为D ，E，F，G四点共面，所以，
1
得到，解得．
故选：A．
8．（5分）已知函数f（x）＝e﹣cos x，若a＝f（log 12），，，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
π
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【分析】根据函数的奇偶性、周期性化简，再由对数的性质比较大小，根据导数求出函数的单调性得
解．
【解答】解：因为f（x）＝e﹣cos x的定义域为R，且f（﹣x）＝e﹣cos（﹣ x）＝e﹣cos x＝f（x），
π π π
所以函数f（x）＝e﹣cos x是偶函数，
π
又f（x+2）＝e﹣cos （x+2）＝e﹣cos（ x+2 ）＝e﹣cos x＝f（x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，
π π π π
所以，
，
，
，即log 4＜log 3，
3 2
因为log 4＞1，log 5＞1，，
3 4
所以log 4＞log 5，综上可知1＜log 5＜log 4＜log 3＜2，
3 4 4 3 2
因为f′（x）＝e﹣cos x（﹣cos x）′＝ sin x•e﹣cos x，
π π
所以当1＜x＜2时，sin x＜0，π则f′（πx）＜π0，f（x）单调递减．
所以f（log
4
5）＞f（logπ3 4）＞f（log
2
3），即a＜b＜c．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
第7页（共16页）部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知直线l：mx﹣y+m+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣13＝0，则（ ）
A．当时，直线l过圆心C
B．存在实数m，使得直线l与圆C相切
C．直线l被圆C截得的最长弦长为
D．直线l被圆C截得的最短弦长为
【分析】由已知可求得圆心C（1，﹣2），半径，直线l过定点M（﹣1，1），进而逐项计算可判断结
论．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣13＝0化为标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝18，
可得圆C的圆心C（1，﹣2），圆的半径．
当时，直线方程为，又C（1，﹣2）代入直线方程可得，
所以直线l过圆心C，故A选项正确；
当x＝﹣1时，y＝1，所以直线l过定点M（﹣1，1），
又，
所以M（﹣1，1）在圆C内，故不存在实数m，使得直线l与圆C相切，故B选项错误；
直线l过圆心C时，直线l被圆C截得的最长弦长为，故C选项正确；
当直线l⊥CM，直线l被圆C截得的最短弦长为，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）在区间上单调递减
C．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D．f（x）的图象向右平行移动个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）为偶函数
【分析】根据二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，f（x）＝cos（2x），通过求f（0）的值判断
出A项的正误；根据余弦函数的单调性判断出B项的正误；根据余弦曲线的对称性判断出C项的正误；
根据函数图象的平移变换、三角函数的奇偶性，对D项作出判断，进而可得本题答案．
【解答】解：由题意得，
根据，可知A项正确；
当时，，
结合余弦函数的单调性，可知f（x）在上单调递减，所以B项正确；
根据f（）＝cos0，不是f（x）的最大或最小值，可知x不是f（x）图像的对称轴，所以C项错误；
第8页（共16页）将f（x）图象向右平移个单位，可得的图象，
根据余弦函数是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）是偶函数，所以D项正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）已知圆锥PO 的底面圆O 半径为，母线长为，A为圆锥底面上任意一点，O为圆锥
1 1
PO 外接球的球心，S为球面上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
1
A．圆锥PO 的侧面积为
1
B．球O的体积为36
C．点S的轨迹长度为π4
D．的最大值为6 π
【分析】选项A，利用圆锥PO 的侧面积公式S＝ rl求解；
1
选项B，求出圆锥的高O
1
P，设球O的半径为R，π在Rt△AOO
1
中，利用勾股定理得到，解出R，利用
球O的体积公式求解；
选项C，将，整理得到，设，则有9+3xcos ﹣2x2＝0①，在△SOP中，利用余弦定理得到|OP|2＝|SP|
2+|SO|2﹣2|SP|•|SO|cos ，整理得到②，②代θ入①后解得x，即，则有S的轨迹是以P为球心，为半径
的球面与球O的交线，θ 且此交线为圆O ，设圆O 的半径为r ，两个球心P与O的距离为|PO|＝3，球
2 2 2
O的半径为3，在Rt△SPO 中，由勾股定理得到③，在Rt△SOO 中，由勾股定理得到④，③代入
2 2
④后解得|PO |＝1⑤，⑤代入③后解得，利用圆的周长公式求出点S的轨迹长度；
2
选项D，A为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为O ，则的最大值为|AO|+R．
1
【解答】解：选项A，∵圆锥PO 的底面圆O 半径为，母线长为，
1 1
∴圆锥PO 的侧面积为，故选项A正确；
1
选项B，圆锥的高，设球O的半径为R，
由图可知，∵OA＝R，OP＝R，∴OO ＝O P﹣R＝5﹣R，
1 1
在Rt△AOO 中，∵，
1
∴，∴R＝3，
球O的体积为，故选项B正确；
第9页（共16页）选项C，∵，
∴，
∵，
∴，
设，
则有9+3xcos ﹣2x2＝0①，
在△SOP中，θ∵|OP|2＝|SP|2+|SO|2﹣2|SP|•|SO|cos ，
∴9＝x2+9﹣6xcos ，∴x2﹣6xcos ＝0，∵x≠0，θ∴②，
②代入①，得，θ解得， θ
∵，∴，
∴S的轨迹是以P为球心，为半径的球面与球O的交线，且此交线为圆O ，
2
设圆O 的半径为r ，两个球心P与O的距离为|PO|＝3，球O的半径为3，
2 2
在Rt△SPO 中，∵，
2
∴，
∴③，
在Rt△SOO 中，∵，
2
∴，
∴，
∴④，
③代入④，得，解得|PO |＝1⑤，
2
⑤代入③，得，解得，
∴点S的轨迹长度为，故选项C错误；
选项D，A为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为O ，
1
，|OO |＝5﹣R＝5﹣3＝2，|AO|＝3，
1
的最大值为|AO|+R＝3+3＝6，故选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和，若a ＝1，3S ＝4S +12，则公差d＝ 2 ．
n n 1 4 3
【分析】根据等差数列求和公式计算求解．
【解答】解：根据题意，等差数列{a }中，
n
由a ＝1，3S ＝4S +12，则3×（4a +6d）＝4×（3a +3d）+12，
1 4 3 1 1
第10页（共16页）变形可得d＝2．
故答案为：2．
13．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+b，若函数y＝f（x+a）﹣1为奇函数，则a+b＝ 1 ．
【分析】由f（x）求出，y＝f（x+a）﹣1，设g（x）＝f（x+a）﹣1，则g（x）为奇函数，求出g（﹣
x），由g（﹣x）＝﹣g（x）得到关于a，b的等式，解得a，b的值，从而得解．
【解答】解：由题可得y＝f（x+a）﹣1＝（x+a）3﹣（x+a）+b﹣1，
设g（x）＝f（x+a）﹣1＝（x+a）3﹣（x+a）+b﹣1，
故g（x）＝（x+a）3﹣（x+a）+b﹣1为奇函数，
∴g（﹣x）＝（﹣x+a）3﹣（﹣x+a）+b﹣1，
∵g（﹣x）＝﹣g（x），
∴（﹣x+a）3﹣（﹣x+a）+b﹣1＝﹣[（x+a）3﹣（x+a）+b﹣1]，
∴﹣x3+3ax2﹣3a2x+a3+x﹣a+b﹣1＝﹣x3﹣3ax2﹣3a2x﹣a3+x+a﹣b+1，
∴6ax2+2a3﹣2a+2b﹣2＝0对于任意的x R恒成立，
∴，∴， ∈
∴a+b＝1．
故答案为：1．
14．（5分）已知椭圆Γ：，曲线 ：xy＝m（m＞0），曲线 与椭圆Γ在第一象限内有两个交点A，B，
若AB的斜率为，则椭圆Γ的离Ω心率为 ． Ω
【分析】设A（x ，y ），B（x ，y ），根据题设结合点差法可得a2＝4b2，进而得到，即可求解．
1 1 2 2
【解答】解：曲线 与椭圆Γ在第一象限内有两个交点A，B，设A（x ，y ），B（x ，y ），AB的斜
1 1 2 2
率为， Ω
则，即，
又，两式相减得，
则，
∴a2＝4b2＝4（a2﹣c2），则3a2＝4c2，即，
∴椭圆Γ的离心率为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，BC边上的高为3，求b+c．
第11页（共16页）【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解，
（2）根据面积公式以及余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）根据条件，
由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）cosA＝sinAcosB，
即2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，即2sinCcosA＝sin（A+B）＝sinC，
因为在△ABC中，sinC≠0，所以，
又因为0＜A＜ ，所以；
（2）因为△ABπC的面积为，所以，得
由，即，所以bc＝24，
由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝b2+c2﹣bc，
化简得（b+c）2＝3bc+48，所以（b+c）2＝120，即，
所以．
16．（15分）记S 为正项数列{a }的前n项和，已知．
n n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）令，求数列{a b }的前n项和T ．
n n n
【分析】（1）根据S
n
和a
n
的关系结合题设可得a
1
＝3，a
n
﹣a
n﹣1
＝3，n≥2，进而得到{a
n
}是首项为
3，公差为3的等差数列，进而求解即可；
（2）结合（1）及题设可得，进而根据错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）因为S 为正项数列{a }的前n项和，，
n n
所以当n＝1时，，解得a ＝3或a ＝0（舍去）；
1 1
当n≥2时，，
所以，
则（a n ﹣a n﹣1 ﹣3）（a n +a n﹣1 ）＝0，又a n +a n﹣1 ＞0，
所以a
n
﹣a
n﹣1
＝3，
所以{a }是首项为3，公差为3的等差数列，
n
则a ＝3n；
n
（2）因为3log b ＝a +3，
2 n n
所以，则，即，
所以，①
所以，②
由①﹣②得，
第12页（共16页），
所以．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，，AD∥BC，PB⊥AC，点M在棱PB上．
（1）证明：平面ACM⊥平面PAB；
（2）若，PD∥平面ACM，求直线PB与平面ACM所成角的正弦值．
【分析】（1）先证明AC⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）证明OB，OE，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可．
【解答】解：（1）证明：取BC中点E，连接AE，
则AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AE＝DC，∴，
∴AC⊥AB，又∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，AB，PB 平面PAB，
∴AC⊥平面PAB，AC 平面ACM， ⊂
∴平面ACM⊥平面PA⊂B．
（2）连接BD交AC于点F，则，连接FM，
∵PD∥平面ACM，PD 平面PBD，平面PBD∩平面ACM＝FM，
∴PD∥MF，∴， ⊂
取AB中点O，连接PO，则PO⊥AB，
又∵AC⊥平面PAB，PO 平面PAB，
∴AC⊥PO，∵AB∩AC＝⊂A，∴PO⊥平面ABCD，
连接OE，则OE∥AC，∴OE⊥AB，
以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，AB＝2，BC＝4，得PO＝2，，
∴A（﹣1，0，0），B（1，0，0），，P（0，0，2），，
∴，，，
设平面ACM的法向量，
第13页（共16页）则，则，即，
解得y＝0，令x＝1，则z＝﹣1，
∴平面ACM的一个法向量，
记直线PB与平面ACM所成的角为 ，
则， θ
∴直线PB与平面ACM所成角的正弦值为．
18．（17分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交C于点A，B，当直线l垂
直x轴时，点A的坐标为（1，p）．
（1）求C的方程；
（2）求4|AF|+|BF|的最小值；
（3）若点M在抛物线C外，线段MF的垂直平分线与C相切，求点M的轨迹方程．
【分析】（1）由题意可得抛物线焦点坐标，根据垂直直线上点的性质，建立方程，可得答案；
（2）分斜率存在与不存在两种情况，建立方程，写出韦达定理，结合基本不等式，可得答案；
（3）设出动点坐标，分情况设出线段MF所在直线的方程，从而求出中垂线的直线方程，联立抛物线
方程，根据根的存在性，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意知：，l垂直x轴时，点A（1，p），
那么，解得p＝2，因此C的方程为y2＝4x．
（2）当直线l的斜率不存在时，|AF|＝|BF|＝2，因此4|AF|+|BF|＝10＞9；
当直线l的斜率存在时，设直线ly＝k（x﹣1），
与抛物线方程联立得，，化简得：k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，
设B（x ，y ），A（x ，y ），且根的判别式Δ＞0，那么x x ＝1，由于|BF|＝x +1，|AF|＝x +1，
2 2 1 1 1 2 2 1
因此，当且仅当4x ＝x 取得等号．
1 2
综上，4|AF|+|BF|的最小值为9．
（3）设M（m，n），那么MF中点坐标为，
当m＝1时，MF的垂直平分线平行x轴，不会与抛物线C相切，因此m≠1，
第14页（共16页）因此MF存在斜率为，
①当n≠0时，
MF的垂直平分线方程为，所以，
与抛物线方程联立得，，化简得：
，
由于线段MF的垂直平分线与C相切，
因此，
，（m﹣1）（1﹣m2﹣n2）﹣2n2＝0，
（m﹣1）（1﹣m2）﹣（m﹣1）n2﹣2n2＝0，（m﹣1）（1﹣m2）﹣（m+1）n2＝0，
（m+1）[（m﹣1）2+n2]＝0，因此m＝﹣1或（舍），
②当n＝0时，点M坐标为（﹣1，0），线段MF的垂直平分线与C相切，满足条件．
因此点M的轨迹方程为x＝﹣1．
19．（17分）已知函数f（x）＝aex﹣（x﹣1）2．
（1）若直线l：4x﹣y+1＝0是曲线f（x）的一条切线，求a的值；
（2）若函数f（x）有三个零点，设为x ，x ，x 且x ＜x ＜x ．
1 2 3 1 2 3
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
【分析】（1）设直线l与曲线f（x）相切于点P（x ，y ），利用函数f（x）在x＝x 处的导数f′
0 0 0
（x ）为直线l的斜率，列出方程组求解即可；
0
（2）（i）根据题意进行参变分离得到，然后构造函数，结合函数h（x）的单调性和图象的变化趋势
即可解得；
（ii）由（i）可得，；换元后构造函数，t＞1，求导后判断函数g（t）的最值即可证得．
【解答】解：（1）依题意，f′（x）＝aex﹣2（x﹣1），设直线l：4x﹣y+1＝0与曲线f（x）相切于点
P（x ，y ），
0 0
则，解得x ＝0，a＝2；所以a的值为2；
0
（2）（i）令f（x）＝aex﹣（x﹣1）2＝0，则；
设，则，
由h′（x）＜0，得x＜1或x＞3；由h′（x）＞0，得1＜x＜3；
所以h（x）在区间（﹣∞，1）和（3，+∞）上单调递减，在区间（1，3）上单调递增，
所以当x＝1时，h（x）取得极小值h（1）＝0；当x＝3时，h（x）取得极大值；
又当x→﹣∞时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→0且h（x）＞0，大致图象如图：
第15页（共16页）若函数f（x）有三个零点，即函数与y＝a的图象有三个交点，
则，即实数a的取值范围是（）；
（ii）证明：因为x ，x 为函数f（x）的零点，所以，；
1 3
由（i）知0＜x ＜1，x ＞3；所以，，，
1 3
所以；
因为0＜x ＜1，所以，
1
所以
；
令，则；令，t＞1，则，
由g′（t）＞0，得1＜t＜2；由g′（t）＜0，得t＞2，
所以g（t）在区间（1，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减；
所以，所以，
即当x ＞3时，；
3
所以．
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