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24.2.1 点和圆的位置关系 分层作业
基础训练
1．已知点 在半径为8的 外，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8，
故选：A．
2．已知 的半径为3， ，则点A和 的位置关系是（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【详解】解：∵⊙O的半径为3， ，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A与⊙O外．
故选：B．
3．已知 的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【详解】解：∵平面内有一点到圆心O的距离为5， ．
∴该点在圆外，
∴点N符合要求．
故选：D．
4．如图， 是等边三角形 的外接圆，若 的半径为2，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
【详解】解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH=30°，
∴OH= OB=1，
∴BH= ，AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选：D
5．矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为
半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
【详解】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其
半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
【详解】解：在 中， °， ， ，
．
， ，
．
以点 为圆心作 ，其半径长为 ，要使点 恰在 外，点 在 内，
的范围是 ，
故选：A．
7．如图， 是 的内接三角形，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵ 是 的内接三角形，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=140°，
∴ ．
故选：C
8．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
【详解】解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误，不符合题意；
B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结不论，故B错误，不符合题意；
C、∠α的补角∠β＜∠α与假命题结论相反，故C正确，符合题意；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误，不符合题意．
故选C．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，
B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
【详解】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，
点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应
该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是 .
10．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形外接圆的半径为 ．
【详解】解： ，
，
解得 ，
当 时， 不能构成三角形；当 时， ，
这个三角形是斜边为5的直角三角形，
该三角形外接圆的半径为 ，
故答案为： ．
11．如图，在平面直角坐标系中， 、 、 ．
（1）经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点 与 的位置关系为点 在 （填内、外、上）．
【详解】解：（1）如图，
∵点 是线段 ， 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴点 是经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点 即为所求．故答案为： ．
（2）∵ ，点 在 上，
∴ ．
故答案为： ．
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在 的内部．
故答案为：内．
12．一个点P到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为
【详解】解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是
8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；
故答案为 3cm或8cm
13．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．AB=24 cm，
CD=8 cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆如图．（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：x2=122+（x-8）2，解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
14．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求圆片的半径R．
【详解】（1）解：作法：分别作 和 的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；（2）连接 、 ， 交 于E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
设 的半径为R，在 中，
∴ ，
即 ，
∴ ，
答：圆片的半径R为 ．
能力提升
1．如图， 的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点， ，且 、 与
x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则 长的最小值为（ ）A．6 B．8 C．12 D．16
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
若要使 长最小，则需 取得最小值，
连接 ，交 于 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，
过点 作 轴于点 ，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是
△ABC的外接圆，则点M的坐标为 ．【详解】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
3．阅读下列材料：
平面上两点P（x，y），P（x，y）之间的距离表示为 ，称为平面内两点间
1 1 1 2 2 2
的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为 ，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C
（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为
（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．
【详解】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），
∴ ，
故答案为 ；
（2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部．
4．如图，在平面直角坐标系中，方程 表示圆心是 ，半径是 的圆，其中 ，
．(1)请写出方程 表示的圆的半径和圆心的坐标；
(2)判断原点 和第（1）问中圆的位置关系．
【详解】（1）解： 在平面直角坐标系中，方程 表示圆心是 ，半径是 的圆，
将 化成 ，
表示的圆的半径为5，圆心的坐标为 ；
（2）解：将原点 代入 ，
左边 右边，
原点 在 表示的圆上．
拔高拓展
1．如图，在等边 中， ，点 为 的中点，动点 分别在 上，且 ，作
的外接圆 ，交 于点 ．当动点 从点 向点 运动时，线段 长度的变化情况为
（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN= ，
OF= 2ON， FN = ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故选： D．
