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25.3 用频率估计概率（第二课时）（分层作业）
基础训练
1．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，
任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出
m的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解： （个 ，
所以可以估算出 的值为20，
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从
该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（ ）
随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000
合格的零件个数 18 46 91 450 900
零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【分析】用“实验频率”的稳定值估计“概率”，从而得到合格零件的概率；
【详解】解：∵随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9，
∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9．
故选：A．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，掌握“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解本题的关键．
3．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符
合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】C
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行
判断．
【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符
合题意；
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为 ，不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ，符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为 ，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
4．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和 个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴
趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则 的值最可能
是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【分析】根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，再根据频率公式逐项判断即可．
【详解】解：根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，
则 ，
当n=4时， ，故A不符合题意；
当n=5时， ，故B不符合题意；
当n=6时， ，故C符合题意；
当n=7时， ，故D不符合题意；
∴ 的值最可能是6，
故选：C．
【点睛】本题考查频数与频率，能从图中获取到蓝球出现的频率稳定在0.6附近是解答的关键．
5．某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（
）
A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内
【答案】A
【分析】根据频数和频率的关系进行判断即可
【详解】A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动，故此选项正确；
B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，不一定是优等品，故此选项错误；
C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有不一定为47只，故此选项错误；
D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率不一定在0.940~0.941的范围内，故此选项错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的知识是解题的关键．
6．某射击运动员在同一条件下射击，结果如下表所示：
射击总次数n
击中靶心的次数m
击中靶心的频率
根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；
【详解】解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在 ，估计这名运动员射击一次时“击中靶心”的概率是
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果
个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
7．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多
次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 和 ，则口袋中白色球的个数可能是（
）
A．24 B．18 C．16 D．6
【答案】C
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数 频率 频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在 和 ，
∴摸到白球的频率为 ，
∴口袋中白色球的个数可能是 个．
故选：C．
【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
8．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打
捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有
6尾．”你认为池塘主的做法（ ）
A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼
【答案】A
【分析】设池中大概有鱼x尾，然后根据题意可列方程 ，进而问题可求解．
【详解】解：设池中大概有鱼x尾，由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解；
∴池塘主的做法有道理，池中大概有1200尾鱼；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用及概率，熟练掌握分式方程的应用及概率是解题的关键．
9．在一个不透明的盒子中装有 a 个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将
球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在
左右，则 a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【分析】根据题意可得摸到红球的概率为 ，然后根据概率公式计算即可．
【详解】由题意可得，摸到红球的概率为 ，则有，
，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了频率与概率，熟练列式计算是解题的关键．
10．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出
红球的频率稳定在 左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】设袋子中黄球有x个，根据摸出红球的频率稳定在 左右列出关于x的方程，求出x的值，从而
得出答案．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是方程的解且符合题意，
∴袋子中黄球的个数最有可能是4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
11．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，
记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数
是 ．
【答案】6
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个
固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计
概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越
来越精确．
12．某鱼塘里养了 条鲤鱼、若干条草鱼和 条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到
草鱼的频率稳定在 左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ．
【答案】
【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，设草鱼的条数为x，可得：
；
解得：x=2400，
经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义
∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为
，
故答案为： .
【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以
计算出鱼的数量．
13．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到
乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：
分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数 合计
线路
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分
钟”的可能性最大．
【答案】C
【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，即可得出
结论.
【详解】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率也最小，
∴乘坐C线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
故答案为：C.
【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.
14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全
相同，小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．
【答案】24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入
手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
【详解】解： 小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 和 ，
口袋中白色球的个数很可能是 个．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了利用用频率估计概率，解题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个
数．
15．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其
规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透
明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有
60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1） ；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；
（2）设纸箱中白球的数量为 个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公
式列出方程，解方程即可得．
【详解】解：（1）由题意得： ，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 ；
（2）设纸箱中白球的数量为 个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为 ，
则 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
16．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率
0.960 0.950 ______ 0.942 0.946 0.951 ______
（精确到0.001）
(1)填写完成表格中的空格；
(2)画出该批乒乓球优等品频率的折线统计图；
(3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是___________（精确到0.01）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)0.95
【分析】（1）用频数除以对应的乒乓球数即可得；
（2）用横轴表示乒乓球数，纵轴表示频率，再结合表格描点，连线即可得；
（3）由折线统计图最后趋于0.95可得答案．
【详解】（1）解：补全表格如下：
抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898
优等品的频率
0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（精确到0.001）
（2）解：折线图如下：
（3）解：从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．
故答案为：0.95；【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了
频率分布折线图．
17．下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
300
试验的种子数n 500 1000 1500 2000 4000
0
285
发芽的粒数m 471 946 1425 1898 3812
3
发芽频率 0.942 0.946 0.949 0.953
(1)求表中 ， 的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
(3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【答案】(1) ； ；
(2)这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
(3)需要准备8000粒种子进行发芽培育．
【分析】（1）根据发芽频率 ，代入对应的数值即可求解；
（2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接
近于概率；
（3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树 幼苗棵树 概率可得出结论．
【详解】（1）解： ； ；
（2）解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接
近于概率；
这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．
（3）解：若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，
需要准备 （粒 种子进行发芽培育．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解题的关键是掌握：频率
所求情况数与总情况数之比．能力提升
1．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形
内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次
石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93
石子落在阴影内的次数n 19 85 186
（1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．（2）请利用学
过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．
【答案】（1） ；（2）3π．
【分析】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在阴影
内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形
ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积.
【详解】（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k= = ；
（2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2，
所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的 ，
因为S =π，
圆
所以封闭图形ABC的面积约为3π．
【点睛】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来
估计不规则图形的比是常用的方法．
拔高拓展1．某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该
公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘
的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录
特级柑橘的售价（元/千克） 14 15 16 17 18
100 85
特级柑橘的日销售量（千克） 950 900 800
0 0
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；
（2）按此市场调节的观律，
①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由
②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持
不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】（1）9000千克；（2）①当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克，理由见解析；②最大
利润售价为19元/千克，每日的最大利润为7500元，理由见解析
【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概
率，根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可．
（2）①根据表格求出销售量y与售价x的函数关系式，代入x=16.5计算即可；
②12天内售完9000千克完好的柑橘，求出日最大销售量即可求出售价的范围，再根据利润=（售价-进价）
×销售量求出利润与售价的函数关系式即可；
【详解】（1）由图可知损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定
故所求为 千克（2）①设销售量y与售价x的函数关系式为
由题意可得函数图像过 及 两点
得
∴ 与 的函数关系式为
把 代入，
∴当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克
②依题意得：12天内售完9000千克柑橘
故日销售量至少为： （千克）
∴
解得
设利润为w元，则
∴对称轴为
∴当 时w随x的增大而增大
∴当 时销售利润最大，最大利润为 （元）
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，以及二次函数销售利润问题．解题的关键是在图中得到必要的信
息，求出柑橘损坏的概率；并利用等量关系：利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式．
