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九江市 2023 年第一次高考模拟统一考试 数 学 试 题（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷（选择题60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 ， ，则 (A) A. B. C. D. 解： ， ，故选A. 2.复数 满足 ，则 的虚部为（A） A. B. C. D. 解: ，虚部为 ，故选A. 3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为(D) A. B. C. D. 解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数 的 最大值在 处取得， .故选D. 4.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 (C) A. B. C. D. 解：依题意得 ，解得 ， ，故选C. 5.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为 主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组 成绩的平均分分别为 ，则该班成绩的平均分是（D） A. B. C. D.解：该班成绩的平均分是 ，故选D. 6.在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外 观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电 厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m,塔的最小 直径（喉部直径）为60 m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准 的水平面之间的垂直距离）为110 m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）(B) A. B. C. D. 解：设双曲线标准方程为 ( ， )，依题意知 ， 点 在该双曲线上， ， ， ， ， ，故选B. 7.已知 ，则 (C) A. B. C. D. 解： ， ，即 ， .故选C. 8.三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，若平面 平面 ，则该三 棱锥外接球的表面积为（B） A A. B. C. D. 解:分别过 与 外接圆圆心 作平面 与平面 的垂线， O1 O E B D O2 交于点 ， 即为球心.易得 ， ， C ， .故选B. 9.已知 ， ， ，则 的大小关系是(B) A. B. C. D. 解： ， ，由指数函数 单调递减，可知 ， ，故选B.10.已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ，过 的直线交 于 两点，直线 交 轴于点 ，若 ， ，则椭圆 的焦距为（A） A. B. C. D. 解：如图， ， ， 为 的中点，又 为 的中点， 轴， PQx 轴， 为等边三角形， ， ， ，故选A. 11.已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ， ，则 (A) A. B. C. D. 解：由 ，令 ，得 .令 ，得 ， ， . 为偶函数， ，即 ， 曲线 关于直线 对称.又 ， 曲线 关于点 中心对称， 的周期 . ， ， .故选A. 12.已知函数 ( )，点 位于曲线 的下方，且过点 可以 作3条直线与曲线 相切，则 的取值范围是(D) A. B. C. D. 解： ，设切点为 ，切线方程为 ，由于切线过点 ， ，整理得 .构造函数 ， 有三个不同的零点， ， 易知 ， ，即 ，即 ，又因为点 在曲线下方， ，即 ， ，故选D. 第Ⅱ卷（非选择题90分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题， 学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量 ， ，若 ，则 . 解： ， ， ，解得 . 14.2022年11月第十四届中国国际航空航天博览会在珠海举办.在此次航展上，国产大飞机“三兄弟”运 油-20、C919、AG600M震撼亮相，先后进行飞行表演.大飞机是大国的象征、强国的标志.国产大飞机“三 兄弟”比翼齐飞的梦想，在航空人的接续奋斗中成为现实.甲乙两位同学参观航展后各自从“三兄弟”模 型中购买一架，则两位同学购买的飞机模型不同的概率是 . 解：设三架飞机模型分别为A,B,C.甲乙各购买一架的可能情况有9种：AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC， 其中两位同学购买的飞机模型不同有6种情况：AB,AC,BA,BC,CA,CB，所以两 位同学购买的飞机模型不同的概率是 . 15.如图，在正三棱柱 中， ， 为 的中点， 为线段 上的点.则 的最小值为 . 解：将矩形 沿 翻折，使得 六点共面，连接 交 于 ，则此时 的值最小为 . 16. 中，三内角 所对边分别为 ，已知 ， ，则角 的最大值是 . 解法一： ，由正弦定理得 ，由余弦定理得 . 而 ，消去 可得 ，当且仅当 时取等号. 在 上单调递减， . 解法二： ，又 ， ， 为锐角， 且 ，即 ， 为钝角， 为锐角， 而 ， 在 上单调递增， . 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工的业务水平，对员工们进行了业 务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司的测试 频率 成绩分布情况如下： 组距 0.050 成绩 [50， [60， [70， [80， [90， 0.045 60) 70) 80) 90) 100] 0.040 0.035 频数 5 20 50 20 5 0.030 (1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试 0.025 0.020 成绩的中位数； 0.015 (2)补充完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为两家 0.010 0.005 50 60 70 80 90成 绩(分) 100 A地区分公司分公司员工业务水平有差异. 优秀 不优秀 合计 A地区 附： 分公司 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 B地区 40 60 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 分公司 合计 频率 组距 解：(1) A地区分0公.05司0的频率分布直方图如右：………3分 0.045 由图知 A地区分公司员工成绩在[50，70)的频率为 0.040 ………4分 0.035 设该公司员工成绩的中位数为 ， 0.030 0.025 则 ………5分 0.020 解得 ………6分 0.015 0.010 (2)补充完成 列联表如下： 0.005 50 60 70 80 90成 绩(分) 100 优秀 不优秀 合计 A地区公司 A地区 25 75 100 分公司 B地区 40 60 100 分公司 合计 65 135 200 ………8分 ………10分 故有 的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异………12分 18.(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，数列 的前 项积 . (1)求数列 和 的通项公式； (2)求数列 的前 项和. 解:(1)当 时， ， ………1分 当 时， ， 化简得 ………2分 ， ， 数列 是首项为2，公差为2的等差数列， ………3分当 时， ………4分 当 时， ………5分 综上 ………6分 (2) ， 设 ① 则 ②………8分 ①-②得 ………9分 ………11分 ………12分 19.(本小题满分12分) 如图，直角梯形 ABCD 中， AD//BC ， ， ， ，将ΔABD 沿 BD 翻折至 的位置，使得 . (1)求证：平面 平面 ； (2)若F，H分别为 BC ， 的中点，求三棱锥 的体积. A D H D B C B C F 解:(1) ， ， ， 平面 ， 平面 ………1分 又 平面 ， ………2分 ABCD AD//BC 由直角梯形 ， ， ， ， ，得 ………3分又 ， 平面 ， 平面 ………4分 又 平面 ， 平面 平面 ………5分 H (2)取 BD 的中点E，连接 ， D ， ，又平面 平面 ， E 平面 ………6分 B C F ABCD AD//BC 直角梯形 中， ， ， ， , ， ………7分 ………9分 ………10分 ………11分 ， 即三棱锥 的体积为 ………12分 20.(本小题满分12分) 已知函数 ( ). (1)当 时，求 的最大值； (2)若 ， ，求 的取值范围. 解:(1)当 时， ， ………1分 当 时， ；当 时， ………2分 在 上单调递增，在 上单调递减………3分 ………4分 (2) ，易知 在 上单调递减………5分①由(1)知，当 时， ，符合题意………6分 ②当 时， ， ， 存在 ，使得 ………7分 故当 时， ， 单调递减， ，不符 题意，舍去………8分 ③解法一：当 时， ， ， 存在 ，使得 ………9分 故当 时， ， 单调递减， ………10分 令 ( )，则 ，故 在 上单调递减， ， ，符合题意………11分 综上所述， 的取值范围是 ………12分 解法二：当 时， ………9分 ， ， 故当 时， ， 单调递减， ………10分 令 ( )，则 ，故 在 上单调递减， ， ，符合题意………11分 综上所述， 的取值范围是 ………12分 21.(本小题满分12分) 已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，过线段 的中点 作直线轴，垂足为 ，且 . (1)求抛物线 的方程； (2)若 为 上异于点 的任意一点，且直线 与直线 交于点 ，证明：以 为直 径的圆过定点. 解:(1)由题意，可设直线 的方程为 . 将 代入 ，消去 得 ………1分 设 ， ，则 ， ………2分 是线段 的中点， ， ， 即 ， 又 轴， 垂足 的坐标为 ………3分 则 ， ， ， 对任意的 恒成立………4分 y l ，解得 ， A C 故抛物线 的方程为 ………5分 D P x (2)设 ，由(1)可知， ， ， B ， ………6分 R 则 ，直线 的方程为 ………7分 令 ，则 ， ，同理 ………9分 由抛物线的对称性可知，若以线段 为直径的圆过定点，则定点必在 轴上，设该点坐标为 ， 则 ， ，且 ， ………10分， 或 ………11分 以线段 为直径的圆过定点 和 ………12分 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以 为极点， 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ( 为直线 的倾斜角). (1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； (2)设 ，直线 与曲线 相交于 两点，求 的最大值. 解:(1)由 ，得 ………1分 由 ， ，得直线 的直角坐标方程为 ………2分 由 ( 为参数)，两式相除得 ………3分 ，整理得曲线 的普通方程为 ( )………4分 (2)解法一：直线 经过点 ， 的参数方程为 ( 为参数)， 代入 中，得 ………5分 由 ，得 ………6分 ， ………7分 ………8分 , ， ， ， 当且仅当 时，等号成立………9分 故 的最大值为 ………10分 解法二：直线 经过点 ， ………5分由切割线定理得 ………7分 ，当且仅当 为圆 的直径时，等号成立………9分 故 的最大值为 ………10分 23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知 均为正实数，且 . (1)求 的最大值； (2)求 的最小值. (1) ， 解: ， ， ………1分 又 ………2分 ，当且仅当 时，等式成立………3分 的最大值为 ………4分 即 令 ， ， ，则 (2) 分 ………5 ， ， ， ， 当且仅当 ，即 时，等式成立………6分 由(1)知 ， ………7分 ， ………8分 ，当且仅当 时，等式成立………9分 即 的最小值为 ………10分 故