专题12.16三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）-（人教版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练） （专项练习） 1．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射 线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 2．如图， 是边长为3的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，以 为顶点作一个 角，使其两边分别交 于点 ，交 于点 ，连接 ，求 的周长． 3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点， ． (1)求证： ．(2)求证： 平分 ．4．问题背景： 如图1：在四边形 中， ， ， ． ， 分别是 ， 上的 点，且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连接 ，先证明 ， 再证明 ，他的结论应是 ；（并写出证明过程） 探索延伸： （2）如图2，若在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且 是 的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形 中， ， ，且 ，求证： ． （2）如图2，若在四边形 中， ， ， 分别是 上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由．6．【问题引领】 问题1：如图1．在四边形 中， ， ， ．E，F分别是 ， 上的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系． 小王祠学探究此问题的方法是，延长 到点G．使 ．连接 ．先证明 ，再 证明 ．他得出的正确结论是______． 【探究思考】 问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形 中， ， ， ，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展延伸】 问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在 的延长线上，则问题2的结论是 否仍然成立？若不成立，猜测此时线段 ， ， 之间存在的等量关系是______． 7．（ ）如图 ：在四边形 中， ， ， ． ， 分别是 ，上的点．且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长 到点 ．使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）； （2）如图 ，若在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的点，且 是 的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图 ，四边形 是边长为 的正方形， ，直接写出三角形 的周长． 8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 重 合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ．设 ．(1)如图1，如果 ___________度； (2)如图2，你认为 之间有怎样的数量关系？并说明理由． (3)当点 在直线 上移动时， 之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你 的结论．（B、C、E三点不共线）参考答案： 1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析． 【分析】（1）根据题意补全图形即可． （2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）补全图形 （2）BE+DF=EF． 证明：延长FE到H,使EH=EF ∵BE⊥AP， ∴AH=AF， ∴∠HAP=∠FAP=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD， ∠BAD=90° ∴∠BAP+∠2=45°， ∵∠1+∠BAP=45° ∴∠1=∠2， ∴△ABH≌△ADF， ∴DF=BH， ∵BE+BH=EH=EF， ∴BE+DF=EF． 【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．2． 的周长为6． 【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长 来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及 △DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CDN， ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6． 【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的 关键． 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）延长 到 ，使 ，连接 ．先说明 ，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得 ，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答； （2）根据（1）的结论可得 ， ，即可得出 ，即可得证． 【详解】（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 ． ， ， ． ， ． ． ． 又 ， ． ． ． ； （2）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 平分 ． 4．（1） ，证明过程见解析（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）先利用“ ”判断 得到 ， ，再证明 ，接 着根据“ ”判断 ，所以 ，从而得到 ； （2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】解：（1） ，证明如下：如下图，延长 到点 ，使得 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 故答案为： ； （2）结论 仍然成立，理由如下： 如下图，延长 到点 ，使得 ，连接 ，∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 5．（1）见解析；（2）结论 仍然成立；理由见解析 【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三 角形是解此题的关键． （1）延长 到 ，使 ，连接 ，根据 证明 可得 ，再证明 ，可得 ，即可得出结论；（2）延长 到 ，使 ，连接 ，根据 证明 可得 ，再证明 ，可得 ，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长 到 ，使 ，连接 ， 则 ， 又 ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ； （2）结论 仍然成立，理由如下：如图，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 6．问题1： ；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论： ． 【分析】问题1，先证明 ，得到 ， ，再证明 ，得到 ，即可得到 ； 问题2，延长 到点G．使 ．连接 ，先判断出 ，进而判断出 ，再证明 ，最后用线段的和差即可得出结论； 问题3，在 上取一点G．使 ．连接 ，然后同问题2的方法即可得出结论． 【详解】解：问题1，如图1，延长 到点G．使 ．连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ， ∴ ； 故他得到的正确结论是： ； 问题2，问题1中结论仍然成立，如图2， 理由：延长 到点G．使 ．连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ， ∴ ； 即 ； 问题3．结论： ，理由如下： 如图3，在 上取一点G．使 ．连接 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 即 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 7．（ ） ；（ ）结论仍然成立， ；（ ） ． 【分析】（ ）延长 到点 ，使 ，连结 ，由“ ”可证 ，可得 ， ，再由“ ”可证 ，可得 ，即可解题； （ ）延长 到 ，使 ，连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明 ，可得 ，即可解题； （ ）延长 到 ，使 ，连接 ，由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可得 ，可得 ，即可求解． 【详解】（1）延长 到点 ，使 ，连结 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故答案为： ； （2）结论仍然成立，理由如下：如图 ，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， 同（ ）理： ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）如图，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ，∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长 ． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关 键． 8．(1) ； (2) ； (3)图象见详解； ； 【分析】（1）先证明 （ ），则可得 ，根据 ，可知 ； （2）已知 ，则 ，则 ，根据 则 ． （3）连接 ，作 使得 ， ，连接 、 ：根据 ， ，可得 ，证明 ，进而可得 ，则 ，由此可证明 之间存在数量关系为 ； 【详解】（1）解：在 与 中， ， ∴ （ ）， ∴ ，∵ ， ∴ ∴ 故答案为： ； （2）解：已知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． （3）解：连接 ，作 使得 ， ，连接 、 ，可得下图： ∵ ， ， ∴ ； 在 和 中， ， ∴ ； ∴ ； ∴ ， ∴ 之间存在数量关系为 ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条 件是解决本题的关键．