文档内容
绝密★启用前
大联考
2022-2023 学年高三年级上学期期末考试理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知在复平面内，复数 所对应的点分别为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B.1 C. D.
4.为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单
位： ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中
位数为（ ）
A. B.24 C. D.
5.已知在正方体 中， 交于点 ，则（ ）A. 平面 B. 平面
C. 平面 D.
5.为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如
计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其
实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字
1048576，即 .记 ，则
（ ）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
102
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
4
11 12 19 20 21 22 23 24 25
204 409 52428 104857 209715 419430 838860 1677721 3355443
8 6 8 6 2 4 8 6 2
A. B. C. D.
6.已知点 ，若在直线 上存在点 ，
使得 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.若 ，则 的大小关系不可能为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的两条直线 分别与抛物线 交于点
和 ，且点 在 轴的上方，则直线 在 轴上的截距之积为（
）
A.4 B.3 C.2 D.1
11.已知正四棱锥 的外接球半径为 ，底面边长为 .若 垂直于过
点 的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）A. B. C. D.
12.已知在 中， ，若 （ 表示 的
面积）恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中 的系数为__________.
14.已知函数 ，若 与 的
图象的对称轴相同，则 的一个值为__________.
15.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备
了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为
.现移动边 ，使得点 分别在 轴､ 轴的正
半轴上运动，则 （点 为坐标原点）的最大值为__________.
16.已知 ，函数 在其定义域 上单
调递减，则实数 __________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求满足不等式
的 的值.
18.（12分）
如图所示，四棱锥 的底面 为矩形，且 平面
为等腰直角三角形， 是线段 上靠近 的四等分点.（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
19.（12分）
近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行
业的从业人数统计如下表所示.
第 年 1 2 3 4 5
从业人数 （万人） 5 8 11 11 15
（1）若 与 线性相关，求 与 之间的回归直线方程 ；
（2）若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进人电商行业的概率分别为 ，且他们是
否进人电商行业相互独立.记这4人中最终进人电商行业的人数为 ，求 的分布列以及
数学期望.
参考公式：在线性回归方程 中， .
20.（12分）
已知函数 .
（1）设函数 ，判断 的单调性；
（2）若当 时，关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
21.（12分）
已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点的直线 与椭圆 交于
两点，且当 轴时， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率存在且不为0，点 在 轴上的射影分别为 ，且
三点共线，求证： 与 的面积相同.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标
原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，点 的极坐标为 .
（1）求直线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程；
（2）记 为直线 与曲线 的一个交点，其中 ，求 的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
大联考
20222-2023 学年高三年级上学期期末考试
理科数学•答案
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.答案B
命题意图本题考查函数的定义域及集合的运算.
解析依题意， ，则 .
2.答案A
命题意图本题考查复数的几何意义､复数的四则运算.
解析依题意， .
3.答案D
命题意图本题考查平面向量的数量积及其应用.
解析依题意， ，故 ，则
.
4.答案C
命题意图本题考查样本的数字特征､频率分布直方图.
解析依题意， ，解得 ，故前3块小矩形的
面积分别为 ， ，则所求中位数为 .
5.答案C
命题意图本题考查空间线面的位置关系.解析作出图形如图所示，连接 ，因为 ，所以平面 平面
，故 平面 ，其他三个选项易知是错误的.
6.答案B
命题意图本题考查对数的运算､数学文化.
解析因为 ，故
， ，则
，则
，而
，故 ，故选B.
7.答案C
命题意图本题考查双曲线的定义与性质.
解析由题可知点 在双曲线 的下支上，故直线 与曲线 有交点.而曲线
的渐近线为 ，直线 ，故 ，即 .
8.答案B
命题意图本题考查基本不等式.
解析依题意， .而
，当且仅当 ，即 时前后两个不等号中的
等号同时成立，所以 的取值范围为 .
9.答案B
命题意图本题考查函数的图象与性质.解析令函数 ，在同一直角坐标系
中分别作出 的大致图象，如图所示，观察可知，
可能有 （ 的图象为 时）､ （ 的图象为 时） （
的图象为 时），故选B.
10.答案D
命题意图本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题.
解析由题可知 .设直线 的方程为 ，联立 可得
，则根据根与系数的关系可设 ，同理可设
，则直线 的斜率 ，直线 的方程为
，令 ，得 ，即直线 在 轴上的截距为 .同
理可得，直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 在 轴上的截距之积为
1.
11.答案A
命题意图本题考查空间几何体的表面积与体积.
解析设正四棱锥 的高为 ，其外接球的半径为 .因为 ，解得
或 .当 时， ，不符合题意；当
时， ，所以 为等边三角形.取 的中点 ，连接
，则 ，且 .设平面 直线 ，平面 直线 ，则
.在 中，由余弦定理可得 ，所
以 .在 中， ，故 ，故.在四边形 中， ，故 .
12.答案A
命题意图本题考查正余弦定理､三角形的面积公式及导数的应用.
解析记角 所对的边分别为 .因为 ，所以由正弦定理
可得 .
.
令 ，则 ，令 ，则
，故当 时， ，当 时， ，故
，故 ，则实数 的取值范围为 .
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案121
命题意图本题考查二项式定理.
解析 ，故所求 的系数为 .
14.答案 （其他符合条件的答案也给分）
命题意图本题考查三角函数的图象与性质.
解析因为 与 的图象的对称轴相同，所以 ，故
，因为 ，故
15.答案
命题意图本题考查数学文化.解析如图，取 的中点 ，因为 为直角三角形，故 .由于
为直角三角形，故 ，显然 ，当且
仅当 三点共线时等号成立，故 的最大值为 .
16.答案2
命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.
解析依题意， ，故对任意的
恒成立.设 ，则
，由 知， 当 时， ，
当 时， 在 上单调递增，在 上单
调递减， 在 时取得最大值.又 对任意的
恒成立，即 的最大值为 ，解得 .
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.命题意图本题考查等差数列的通项公式､错位相减法､数列的性质.
解析（1）设等差数列 的公差为 ，则 解得 ，.
故 .
（2）依题意， ，
故 ，
则 ，
两式相减可得，
解得 .
故 可转化为 .
令 ，则 ，
故 ，即 单调递减.
注意到 ，所以满足条件的 的值为1，2.
18.命题意图本题考查空间面面的位置关系､向量法求空间角.
解析（1）因为 平面 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以Rt Rt ，
所以 ，
所以 ，即 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标
系 ，
不妨设 ，则 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ..
记直线 与平面 所成的角为 ，则 .
19.命题意图本题考查回归直线方程､离散型随机变量的分布列及数学期望.
解析（1）依题意， ，
而 ，故
，
故所求回归直线方程为 .
（2）依题意， 的所有可能取值为 .
，
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
故 .
20.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.
解析（1）由题可知 ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 在 和 上单调递减，在 上单调递增.（2）依题意，当 时， 恒成立.
令 ，则 .
令 ，则 .
令 ，则 ，故 在 上单调
递增，
则 ，故 在 上单调递增，则 .
当 时， ，此时 单调递增，从而 ，满足
题意.
当 时，令 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，
从而 .
又 在 上单调递增，故存在唯一的实数 ，
使得 ，
且当 时， 单调递减，
所以当 时， ，不合题意，舍去.
综上所述，实数 的取值范围为 .
21.命题意图本题考查椭圆的方程､直线与椭圆的综合性问题.
解析（1）设椭圆 的半焦距为 .
依题意， ，故 ①.
联立 解得 ，故 ②.
联立①②，解得 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）易知椭圆的右焦点为 .设直线 的方程为 .
由 得 ，
设 ，则 .
因为 轴，所以 .
直线 的方程为 ，所以 .
因为 轴，所以 .
因为 ，
所以
，
所以 三点共线.
因为 ，所以 ，
而 ，
所以 与 的面积相同.
22.命题意图本题考查参数方程､极坐标方程､普通方程､直角坐标方程之间的转化.
解析（1）由直线 的参数方程可得直线 的普通方程为 ，
将 代入得 ，
故直线 的极坐标方程为 .而曲线 ，即 ，则 ，
故曲线 的直角坐标方程为 .
（2）由
可得 或
因为 ，所以点 ，转化为极坐标为 .
由于点 的极坐标为 ，
故 的面积 .
23.命题意图本题考查绝对值不等式的求解.
解析（1）依题意， .
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 ；
当 时， ，解得 ，故 .
综上所述，不等式 的解集为 或 .
（2）依题意， ，
当 时，取“ ”，故 .
.
因为 ，使得 成立，故 ，
故 或 ，则 或 ，
故实数 的取值范围为 .
