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专题23.1 图形的旋转（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】旋转的概念
（1） 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫
做旋转角（如∠AOA′)，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应
点.
（2）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
【知识点2】旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后的图形全等（△ABC≌△ ).
特别提醒：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
【知识点3】旋转的作图
作图顺序：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指
定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
作图步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的各对应点.
【考点一】旋转中心、旋转角、旋转方向的识别
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图，点 是正方形 边 上一点，过 作 交
的延长线于 点，连接 ．
（1） 可以由 通过旋转变换得到，则旋转中心是__________，旋转方向是__________，
旋转角是__________度．
（2）若 ， ，求 的长．【答案】（1） ，顺时针，90；（2）
【分析】（1）利用 证明 ，结合图形可得；
（2）由勾股定理先求出 的长，得到 的长，推出 ，再利用勾股定理求解即可．
（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 可以由 绕旋转中心点 ，按顺时针方向旋转90度得到．
答案： ，顺时针，90；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明
．
【举一反三】
【变式1】（2020秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图所示,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形
AB′C′D′的位置,旋转角为α（0°<α<90°）.若∠1=110°,则α等于（ ）A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【分析】由性质性质得，∠D′=∠D=90°,∠4=α,由四边形内角和性质得∠3=360°-90°-90°-110°=70°,所以
∠4=90°-70°=20°.
解：如图,因为四边形ABCD为矩形,
所以∠B=∠D=∠BAD=90°,
因为矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,
所以∠D′=∠D=90°,∠4=α,
因为∠1=∠2=110°,
所以∠3=360°-90°-90°-110°=70°,
所以∠4=90°-70°=20°,
所以α=20°.
故选A
【点拨】本题考核知识点：旋转角. 解题关键点：理解旋转的性质.
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图（1），在三角形ABC中， ，BC
边绕点C按逆时针方向旋转 ，在旋转过程中（图2），当 时，旋转角为
度；当 所在直线垂直于AB时，旋转角为 度．【答案】 70 160
【分析】在三角形ABC中，根据三角形的内角和得到∠B=180°-38°-72°=70°，如图1，当CB′∥AB时，根
据平行线的性质即可得到结论；如图2，当CB′⊥AB时根据垂直的定义即可得到结论．
解：∵在三角形ABC中，∠A=38°，∠C=72°，
∴∠B=180°-38°-72°=70°，
如图1，
当CB′∥AB时，旋转角=∠B=70°，
∴当CB′∥AB时，旋转角为70°；
如图2，
当CB′⊥AB时，∠BCB″=90°-70°=20°，
∴旋转角=180°-20°=160°，
∴当CB′⊥AB时，旋转角为160°；
故答案为：70；160．
【点拨】本题考查了三角形的内角和，平行线的性质，正确的画出图形是解题的关键．
【考点二】利用旋转性质求解或证明【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，
，点 在对角线 上，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
【分析】（1）首先根据旋转的性质得到 ， ，然后证明出
，即可得到 ；
（2）根据等边对等角得到 ，然后利用全等三角形的性质得到 ，进而证
明 ，最后利用平行线的性质求解即可．
（1）解：证明：由旋转性质得： ， ，
，
又 ，
，
；
（2） ，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了旋转的性质、平行线的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性
质等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2021春·全国·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且
∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应
是 ．
拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写
出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
【答案】（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，证明见分析．
【分析】（1）结论：EF=BE+DF．证明△AFE≌△AFG（SAS）即可解决问题．
（2）结论：GH2=AG2+CH2．将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．证明∠MAG=90°，
△BGH≌△BGM（SAS）即可解决问题．
解：（1）结论：EF=BE+DF．
由旋转的性质可知：DG=BE，∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠FAG=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴EF=BE+DF．
（2）结论：GH2=AG2+CH2．如图：将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°，
由旋转的性质可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠ABM=∠CBH，
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°，
∵∠HBG=45°，
∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=∠ABG+∠CBH=90°-∠HBG=45°，
∴∠HBG=∠MBG，
∵BG=BG，
∴△BGH≌△BGM（SAS），
∴GH=GM，
∵∠MAG=90°，
∴AM2+AG2=GM2，
∴GH2=AG2+CH2．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型．
【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中，点E在 边上， ，将线段
绕A点旋转到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点G．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】由旋转的性质可得 ，利用 证明 ，根据全等三角形的对应边相等即
可得出 ；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ，那么 ，
由 ，得出 ，再根据三角形外角的性质即可求出．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵将线段 绕A点旋转到 的位置，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及
三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【考点三】旋转作图
【例3】（2023春·全国·九年级专题练习）在 中， ， ，点D在 边上
（不与点B，C重合），将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）根据题意补全图形，并证明： ；
（2）过点C作 的平行线，交 于点F，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图形见分析，证明见分析；
（2） ，证明见分析．
【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出 ，
，进而可得结论；
（2）作 于点M，与直线 交于点N，利用 证明 ，可得 ，
，然后求出 ，可得 ，再利用 证明 即可．
解：（1）补全的图形如图所示：
证明：∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，即 ，
∴ ；
（2） ；
证明：如图，作 于点M，与直线 交于点N，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等
腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·河北承德·九年级承德市第四中学校考期中）如图，在方格纸中的△ABC经过变
换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A．把△ABC向右平移6格
B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
【答案】D
解：观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到．
根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF
重合．
考点：几何变换的类型．
【变式2】（2019秋·山东临沂·九年级统考期中）如图，已知：BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，
△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕
迹，不写作法），并直接写出旋转角度是 ．【答案】90°
分析：分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．
解：如图所示：
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB=∠DEC，∠A=∠ECD，
∴∠ACB+∠BCE=90°，
∴∠OFC=∠OGC=∠FCG=90°，
∴∠FOG=90°，
∴旋转角度是90°．
故答案为90°．
【点拨】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．
【考点四】旋转的综合题
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，点 为正方形 内一点， ，将
绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 （点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连
接 ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图2，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
（3）如图1，若 的面积为72， ，请直接写出 的长．【答案】（1）四边形 是正方形，理由见分析；（2） ，理由见分析；（3）3．
【分析】（1）根据旋转性质得到 ，再由题意可得
，即可得四边形 是正方形；
（2）过点 作 于点 ， 可证明 ，则有 ，根据正方形的性质即可
解决；
（3）作 于 ，设 ，由 求得 ，在 中，由勾股定理得
，由 即可求出 ．
（1）解：四边形 是正方形．
理由如下：
∵将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
．
，
∴四边形 是矩形．
，
∴四边形 是正方形．
（2）解： ；理由如下：
如图2，过点 作 于点 ，
，．
∵四边形 是正方形，
．
．
．
，
．
．
∵将 绕点 按顺时针方向旋转 ，
．
∵四边形 是正方形，
．
．
；
（3）解： ，理由如下：
作 于 ，如图 ．
由（2）可知， ，
由将 绕点 按顺时针方向旋转 得 可知，
，设 ，则∵ ，即 ，
解得 ，
即
∵四边形 是正方形，
在 中，
，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾
股定理，证明 是关键．
【举一反三】
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与
坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段
绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由点 的运动确定 的运动轨迹是与 轴垂直的一段线段 ，当线段 与 垂直时，
线段 的值最小；
解：将 绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段 上；如图：两点是直线 与坐标轴的交点
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
，
所在的直线为：
的最小值为点 到 的距离：
故选：B．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点 的运动轨迹是解题的关键．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中，
，连接 ，将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，则线段
的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】连接 ，过点A作 ，截取 ，连接 ，通过 证明
，得 ，再求出 的长．最后在 中，利用三边关系即可得出答案．解：如图，连接 ，过点A作 ，截取 ，连接 ，
∵将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助
线构造出全等三角形是解题的关键．
