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第十五章 分 式
15.1 分式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标：1．理解并掌握分式的基本性质．
2．理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3．会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
重点：掌握分式的基本性质．
难点：会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
自主学习
一、知识链接
1.（1）把下列分数化为最简分数或整数： = ， = ， = ．
（2）分数约分的方法：先将分数的分子和分母__________，再约去分子、分母的最大公约
数，把分数化为最简分数或整数．
2．因式分解：
①x2+xy=__________；②4m2－n2=_____________；③a2+8a+16=____________．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：分式的基本性质
问题1：下列两式成立吗？为什么？
要点归纳：分数的基本性质：
分数的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变．
即对于任意一个分数 有： ，
问题2：你认为分式 与 ；分式 与 相等吗（a，m，n均不为0）？
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
要点归纳：分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质可以用式子表示为： ， 其中A，B，C是整式．
典例精析
例1：填空：
（1） ， ；
（2） ， （b≠0）．
想一想：运用分式的基本性质应注意什么？
例2：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
（1） ； （2） ．
针对训练
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
（1） ；（2） ；（3） ．
探究点2：分式的约分
想一想：联想分数的约分，由例题 1 你能想出如何对分式进行约分？
要点归纳：约分的定义：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．例如 ， 是最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式．
议一议：
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖： ；小明： ．
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
典例精析
例3：约分：（1） ； （2） ．
要点归纳：约分的基本步骤：
（1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂；
（2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因
式．
注意：
（1）约分前后分式的值要相等．
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式．
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因
式．
探究点3：分式的通分
问题1：通分： 与 ．
要点归纳：分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值．
问题2：填空：， （b≠0）．
想一想：联想分数的通分，由例题你能想出如何对分式进行通分？
要点归纳：
通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同
分母的分式，叫做分式的通分．
最简公分母：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的
积作公分母，它叫做最简公分母．
注意：确定最简公分母是通分的关键．
例4：通分：（1） 与 ；（2） 与 ．
例5：通分： 与 ．
方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
要点归纳：确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）分子分母含多项式能分解的先因式分解
（2）系数：各分式分母系数的最小公倍数
（3）字母：各分母的所有字母的最高次幂
（4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
（5）取积
想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
约分 通分
分数
分式
依据
二、课堂小结当堂检测
1．下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中是最简分式的（ ）
A． B． C． D．
3．若把分式 中的x和y都变为原来的两倍，则分式的值( )．
A．变为原来的两倍 B．不变
C．变为原来的一半 D．变为原来的四分之一
4．若把分式 中的x和y都变为原来的 3 倍，则分式的值变为原来的( )
A．3倍 B．9倍
C．4倍 D．不变
5．约分：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．6．通分：
（1） ， ； （2） ， ； （3） ， ．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．（1） 2 （2）分解因数
2． ①x(x+y) ②(2m+n)(2m－n) ③(a+4)2
课堂探究
一、要点探究
探究点1：分式的基本性质
问题1 成立，因为分数的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变．
问题2 相等
典例精析
例1 （1）x2 2x （2）a 2ab－b2
想一想 （1）“都”；（2）“同一个”；（3）“不为0”
例2 解：（1）
（2）
针对训练
解：（1）原式= ； （2）原式= ； （3）原式= ．
探究点2：分式的约分
想一想 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式．
议一议 一般约分要彻底，使分子、分母没有公因式．
典例精析
3 （1）
例
（2）
探究点3：分式的通分
问题1 解： ，
问题2 a2+ab 2ab－b2例4 解：（1）最简公分母是2a2b2c．
（2）最简公分母是(x+5)(x－5)．
例5 解：最简公分母是x(x+y)(x－y)．
想一想
约分 通分
分数 找分子与分母的最大公约数 找所有分母的最小公倍数
分式 找分子与分母的公因式 找所有分母的最简公分母
依据 分数或分式的基本性质
当堂检测
1．D 2．B 3．B 4．A
．解：（1）
5
2）
（
（3）
（4）
6．解：（1）最简公分母是12a2b3．，
（2）最简公分母是(2x+1)(2x－1)．
，
（3）解：最简公分母是(x+y)2(x－y)．
，
