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§8.2 两条直线的位置关系
考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交
点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l ：y＝kx＋b ，l ：y＝kx＋b ，l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0(其中l 与l
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2 1 3
是同一直线，l 与l 是同一直线，l 的法向量v ＝ ( A ， B )，l 的法向量v ＝ ( A ， B )的位置关
2 4 3 1 1 1 4 2 2 2
系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l，l 满足的条件 l，l 满足的条件
1 2 3 4
AB － A B ＝ 0 且
1 2 2 1
平行 v∥v k ＝ k 且 b ≠ b
1 2 1 2 1 2
AC － A C ≠ 0
1 2 2 1
垂直 v⊥v k · k ＝－ 1 AA ＋ B B ＝ 0
1 2 1 2 1 2 1 2
v 与v
1 2
相交 k ≠ k AB － A B ≠ 0
1 2 1 2 2 1
不共线
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
②结论：|PP|＝.
1 2
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0之间的距离d＝.
1 1 2 2
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
＋λ(Ax＋By＋C )＝0(λ∈R)，但不包括l.
2 2 2 2
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l 和l 斜率都存在时，一定有k＝k⇒l∥l.( × )
1 2 1 2 1 2
(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × )
(3)点P(x，y)到直线y＝kx＋b的距离为.( × )
0 0
(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
教材改编题
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．2 B.
C. D.
答案 C
解析 点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.
2．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，故m＝2或－
3.故选C.
3．直线l：2x＋y－1＝0和l：x－2y＋7＝0的交点的坐标为________．
1 2
答案 (－1,3)
解析 解方程组得
所以两条直线交点的坐标为(－1,3).
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2022·杭州模拟)已知直线l ：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l ：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea
1 2
＝”是“l∥l”的( )
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A解析 当l∥l 时，
1 2
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，
所以“ea＝”是“l∥l”的充分不必要条件．
1 2
(2)(2022·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程
为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案 C
解析 ∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
教师备选
1．“m＝3”是“直线l ：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l ：(m－3)x＋2y－5＝0垂
1 2
直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由l⊥l，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
1 2
∴m＝3或m＝－2，
∴“m＝3”是“l⊥l”的充分不必要条件．
1 2
2．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的
取值集合为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y
－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或
4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝
0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂
心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称
为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的
方程为( )
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案 D
解析 由题设，可得k ＝＝－2，
AB
且AB的中点为，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－＝，
故AB的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
(2)已知两直线l：x＋ysin α＋1＝0和l：2xsin α＋y＋1＝0.若l∥l，则α＝________.
1 2 1 2
答案 kπ±，k∈Z
解析 由AB－AB＝0，得1－2sin2α＝0，
1 2 2 1
所以sin α＝±.
又AC －AC ≠0，
1 2 2 1
所以1－2sin α≠0，即sin α≠.
所以α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l∥l.
1 2
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为(
)
A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝6，d＝ D．a＝－6，d＝
答案 B
解析 由题知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋＝0，
∴d＝＝.
(2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为
________________．
答案 4x－y－2＝0或x＝1
解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有＝，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
教师备选
1．经过两直线l ：x－2y＋4＝0和l ：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l ：3x－4y＋5＝0垂
1 2 3
直的直线l的方程为________．
答案 4x＋3y－6＝0
解析 由方程组得
即P(0,2)．
因为l⊥l，所以直线l的斜率k＝－，
3
所以直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
2．直线l 经过点(3,0)，直线l 经过点(0,4)，且l∥l ，d表示l 和l 之间的距离，则d的取值
1 2 1 2 1 2
范围是________．
答案 (0,5]
解析 当直线l，l 都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
1 2
d ＝＝5；
max
当直线l 和l 都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
1 2
所以0＜d≤5.
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x，y)到直线x＝a的距离d＝|x－a|，到直线y＝b的距离d＝|y－b|.
0 0 0 0
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
跟踪训练2 (1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的
最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可
知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，
所以|PQ|的最小值为.
(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B. C. D．2
答案 B
解析 由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截得的线段被
1 2
点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l 与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)
1
在l 上，代入l 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以
2 2
直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m
＋n＝________.
答案
解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是
点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，
于是
解得故m＋n＝.
命题点3 线关于线对称
例5 直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
答案 A
解析 设直线2x－4y－1＝0上一点P(x ，y)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，
0 0
y)，
则
整理可得
∴－2y＋4x－1＝0，
即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
教师备选
1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P
出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长
度为( )A．2 B．1 C. D.
答案 D
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐
标系，由题意可知 B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线 BC 的方程为 x＋y－4＝0.设 P(t，0)
(00)上，则点P到
直线3x－4y－2＝0的距离可以为( )
A. B．1
C. D.
答案 CD
解析 设点P(x，y)，
0 0
y＝f(x)＝x＋(x>0)，
则f′(x)＝1－，点P与直线3x－4y－2＝0的最小距离，即为点P处的切线的斜率等于直线
0
3x－4y－2＝0的斜率时的情况，即满足1－＝，
解得x＝2，
0
所以y＝2＋＝，
0
所以点P，
所以点P到直线3x－4y－2＝0的距离的最小值为d＝＝，
故只需满足d≥即可．
15．(多选)定义点P(x ，y)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P ，
0 0 1
P 到直线l的有向距离分别是d，d.以下命题不正确的是( )
2 1 2
A．若d＝d＝1，则直线PP 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d＝1，d＝－1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d＋d＝0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d·d≤0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
答案 BCD
解析 设P(x，y)，P(x，y)，
1 1 1 2 2 2对于A，若d＝d＝1，
1 2
则ax＋by＋c＝ax＋by＋c＝，直线PP 与直线l平行，正确；
1 1 2 2 1 2
对于B，点P，P 在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线PP 不一定与l垂直，错误；
1 2 1 2
对于C，若d＝d＝0，满足d＋d＝0，
1 2 1 2
即ax＋by＋c＝ax＋by＋c＝0，
1 1 2 2
则点P，P 都在直线l上，所以此时直线PP 与直线l重合，错误；
1 2 1 2
对于D，若d·d≤0，
1 2
即(ax＋by＋c)(ax＋by＋c)≤0，
1 1 2 2
所以点P，P 分别位于直线l的两侧或在直线l上，
1 2
所以直线PP 与直线l相交或重合，错误．
1 2
16．(多选)(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若
和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台
ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角
落C的球袋中，则tan α的值可能为( )
A. B. C．1 D.
答案 AD
解析 如图1，A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为
F，连接GF，EF，
由题可得tan α＝＝＝.
图1 图2
如图2，A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，连接
EF，EG，
由题可得tan α＝＝＝.
