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期末复习必考选填压轴题二十大题型总结
【人教版】
【题型1 利用二次根式的性质化简求值】..............................................................................................................1
【题型2 由二次根式的性质求参数】......................................................................................................................2
【题型3 求二次根式的值】......................................................................................................................................2
【题型4 利用勾股定理解决翻折问题】..................................................................................................................3
【题型5 利用勾股定理解决图形面积问题】.........................................................................................................4
【题型6 利用勾股定理解决坐标问题】..................................................................................................................5
【题型7 利用勾股定理解决最值】..........................................................................................................................6
【题型8 构造直角三角形求线段长度】..................................................................................................................8
【题型9 平行四边形中的多结论问题】..................................................................................................................9
【题型10 平行四边形中折叠问题】........................................................................................................................10
【题型11 与三角形中位线有关的求解】................................................................................................................11
【题型12 求特殊平行四边形中的线段长度】.......................................................................................................12
【题型13 求特殊平行四边形中的角度】................................................................................................................13
【题型14 求特殊平行四边形中的面积】................................................................................................................14
【题型15 求特殊平行四边形中的最值】................................................................................................................15
【题型16 特殊平行四边形中的多结论问题】.......................................................................................................17
【题型17 利用一次函数的性质求字母取值范围】...............................................................................................18
【题型18 利用一次函数的性质判断结论正误】...................................................................................................19
【题型19 一次函数中的规律探究】........................................................................................................................20
【题型20 利用一次函数解决行程问题】................................................................................................................22
【题型1 利用二次根式的性质化简求值】
1
【例1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知x= ，则
❑√2024−❑√2023
x6−2❑√2023x5−x4+x3−2❑√2024x2+2x−❑√2024的值为（ ）
A．0 B．1 C．❑√2023 D．❑√2024
【变式1-1】（24-25八年级·山东威海·期中）观察下列等式：
1
第1个等式： a = = ❑√2 −1，
1 1+❑√2
1
第2个等式： a = = ❑√3−❑√2，
2 ❑√2+❑√31
第3个等式： a = =2− ❑√3，
3 ❑√3+2
1
第4个等式： a = = ❑√5 −2，
4 2+❑√5
…
按上述规律，计算a +a +a ⋯+a = ．
1 2 3 n
【变式1-2】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为
2 1
❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小数部分，则 − 的值为（ ）
b a
A．❑√6+❑√2−1 B．❑√6−❑√2+1 C．❑√6−❑√2−1 D．❑√6+❑√2+1
【变式1-3】（24-25八年级·上海·阶段练习）求值：
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ．
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋯+❑1+ + =
12 22 22 32 32 42 20232 20242
【题型2 由二次根式的性质求参数】
【例2】（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）若 的积是有理数，则无理数m的值为
(2+❑√3)(2+m)
．
【变式2-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）若m满足关系式
❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=❑√1−x−y⋅❑√x−1+ y ，则m= ．
【变式2-2】（24-25八年级·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件
1
❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，则xy−z的值是 ．
4
【变式2-3】（24-25八年级·重庆·期中）若a和b都是正整数且a0)
边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知a+b=10(a>0,b>0)，计
算 的最小值为 ．
❑√a2+4+❑√b2+9
【变式3-1】（24-25八年级·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值
为（ ）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【变式3-2】（24-25八年级·重庆·期中）任意一个四位正整数m=abcd，如果它的各个数位上的数字均不
为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将
m−m′
m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为m′，其中F(m)= ，则F(3871)= ；若
99
❑√F(m)+4a+10b+1为整数，则满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为 ．
【变式3-3】（24-25八年级·浙江宁波·自主招生）已知正实数a，b，c满足a+b+c=6，则
的最小值为 ．
❑√a2+18+❑√b2+32+❑√c2+50
【题型4 利用勾股定理解决翻折问题】
【例4】（24-25八年级·重庆·期末）如图，∠ABC=90∘，AB=CB=8，射线BF交线段AC于点
M，AD⊥BF于点D，CE⊥BF于点E，BG平分∠ABC交AD的延长线于点G，连接CG并延长交
BD的延长线于点F．若将点F沿AD翻折，点F刚好落在E点处，此时CF：DF=5：2，连接AE，AC
，则△AEC的面积为 ．【变式4-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，在长方形ABCD中，AD=5cm,AB=2cm，点E在
BC上，CE=1cm,F是AD上一动点，将四边形CDFE沿EF翻折至四边形C′D′FE的位置，FD′与BC相
交于点G，当点F从点A运动到AD的中点时，点G运动路线的长为 cm．
【变式4-2】（24-25八年级·上海·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，AC=2❑√3，
BC=3，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，连接AC′，直线AC′与边CB的
1
延长线相交于点F，如果∠DAB= ∠BAF，那么线段BF的长为 ．
2
【变式4-3】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
BC=1，以AB为边在AB上方作一个等边△ABD，将四边形ACBD折叠，使D点与C点重合，折痕为HK
，则点H到直线BD的距离为（ ）7❑√3 5❑√3 7 3❑√3
A． B． C． D．
8 6 5 10
【题型5 利用勾股定理解决图形面积问题】
【例5】（24-25八年级·重庆渝北·期末）四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形ABCD，将四个直
角三角形的短直角边（如EA）向外延长，使得AA′=BB′=CC′=DD′，连接A′，B′，C′，D′得四
边形A′B′C′D′连接B'C．已知A是A′E的中点，△B′BC和△CC′B′的面积之比为2：3，四边形
ABB′ A′的面积为15，则四边形A′B′C′D′的面积是 ．
【变式5-1】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，点E在
∠C内部，且△ADE是等边三角形，∠CBE=60°．若BC=5，BE=3，则△ABD的面积为（ ）
5❑√3
A． B．3❑√3 C．4❑√3 D．5❑√3
2
【变式5-2】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若△ABE、△BCF和△CDG的面积分别为4、9、5，则
△ADH的面积为 ．
【变式5-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正
方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB=6，EF=10，则△AEF的面积为（ ）
A．6❑√3 B．8❑√3 C．24 D．12
【题型6 利用勾股定理解决坐标问题】
【例6】（24-25八年级·江西抚州·期中）点A(−4，0)，B(0，3)，若点M在y轴上，若△ABM是等腰
三角形，则点M坐标 ．
【变式6-1】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，
B(−4，0)，C(8，8)，D(−4，12)，点E在x轴上，满足∠BED=∠DEC，则点E的坐标为
（ ）
A．(2，0) B．(6，0) C．(3，0) D．(2，0)或(8，0)
【变式6-2】（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示放置的
△OB A ,△B B A ,△B B A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是边长为2的等边三角形，边OA 在x轴上，且点
1 1 1 2 2 2 3 3 1B 、B 、B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，都在同一直线上，则A 的坐标是 ．
1 2 3 2023
【变式6-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴
上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等，则点
P的坐标为 ．
【题型7 利用勾股定理解决最值】
【例7】（24-25八年级·四川眉山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、
E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
24 27
A． B．5 C． D．6
5 5
【变式7-1】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，△ABC为等边三角形，AB=2，点D是BC中点，点
E,F分别是边AB、BC上的动点，且不与端点重合，作∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，则
DG+CG的最小值为 ．【变式7-2】（2025·安徽合肥·一模）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边
上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
3 3 3
A．3❑√6 B． ❑√5 C． ❑√6 D．
2 2 2
【变式7-3】（24-25八年级·浙江·周测）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点P在AC的
延长线上，且AC=CP=4，将△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′，连接PA′，PC′，则△PA′C′的周长
的最小值为 ．
【题型8 构造直角三角形求线段长度】
【例8】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AC=2,AB=❑√7,∠ACB=60°，点D为
△ABC外一点，且满足CD∥AB,AC=AD，则BD的长为 ．
【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC
（不含A，C两点）上，连BD，以DB为直角边向右侧作邻腰直角△BDE，∠BDE＝90°，连接CE．若AD=2， CE=❑√5，则线段BE的长为 ．
【变式8-2】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D在线段BC
上，点E在线段AB上，且∠BED=22.5°．若S =8，则DE的长为 ．
△BDE
【变式8-3】（24-25八年级·四川成都·期末）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下
探究活动：
如图，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变换，每次均移动BC
的长度，得到了△CJE、△EFG和△GHI．若BH=BI，BC=a，则以BJ、BF、BH为三边构成的新三
角形面积16❑√15，则a的值为 ．
【题型9 平行四边形中的多结论问题】
【例9】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
1
AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，AB= BC=1，则下列结论：
2
1 ❑√3
①∠CAD=30°；②BD=❑√7；③S =AB⋅AC；④OE= AD；⑤S = ，正确的个数是
▱ABCD 4 △APO 8（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式9-1】（2025·广西贵港·三模）如图，点E在 ▱ABCD内部，EB⊥BC，ED⊥CD，且∠EAB=45°，
连接CE．对于下列四个结论：①∠ADE=∠ABE；②∠DAE=∠DCE；③BE=AD；④当
∠DAB=60°时，CE=2AE，其中所有正确结论的序号是 ．
【变式9-2】（24-25八年级·北京大兴·期末）如图，在 ▱ABCD中，∠BAD>90°，点E为线段CD上一
动点，有下列四个结论：
①在E点运动过程中，△ABE的面积始终是 ▱ABCD面积的一半；
②在线段CD上有且只有一点E，使得S =2S ；
△ADE △BCE
③若点E恰好是∠BAD的角平分线与∠ABC 的角平分线的交点，则点E是CD的中点；
④若AB=2AD，则在CD上有且只有一点E，使得△ABE 是直角三角形其中所有正确结论的序号是
．
【变式9-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等
边△ABD和△ACE,F为AB中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接
OG，若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4 AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1∶4，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型10 平行四边形中折叠问题】
【例10】（24-25八年级·山东日照·期中）已知： ▱ABCD中，∠A=60°，AB=6，BC=10，点E是
AD上一个动点，连结BE，把△ABE沿BE折叠到△A′BE的位置．若点A′落在△DCE的内部（包括边
界），则DE的范围是 ．
【变式10-1】（24-25八年级·江西抚州·期中）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻
BE
折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′:AB:BC=1:3:7，过F作AB的垂线交于E，则 =
BF
．
【变式10-2】（24-25八年级·重庆·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上
动点．将四边形MNCD沿直线MN折叠，点D的对应点D′恰好落在边AB上，C的对应点为C′，连接DN
、DD′，其中DD′交MN于点P．若AB=6，AD=10，∠ADC=2∠NDD′=60°，则MP的长度为
．【变式10-3】（24-25八年级·上海·期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=2AD=4，∠D=60°，点P是边
CD上一点，连接PB，沿PB折叠△BCP，使点C落在点N处，其中CP≥2，设PN与AB相交于点M，若
△BMP的面积为x，则x的取值范围是 ．
【题型11 与三角形中位线有关的求解】
【例11】（24-25八年级·四川成都·期中）如图， ▱ABCD中∠D=75°，AB=2,AC=BC，点E为线段
AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF
的值为 ．
【变式11-1】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在 ▱ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=6，BC=8，∠BAD=120°，则GH
的长度是（ ）
5 ❑√37 ❑√34
A． B． C． D．2
2 2 2
【变式11-2】（24-25八年级·黑龙江佳木斯·期中）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点
E作ED∥AB， EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S ，取BE中点E 作E D ∥FB，
1 1 1 1E F ∥EF，得到四边形E D FF ，它的面积记作S ……，照此规律作下去，则S = ．
1 1 1 1 1 2 n
【变式11-3】（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在 ▱ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中
点，连接EC、FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB=6❑√2，BC=10，
∠BAD=135°，则GH的长度为 ．
【题型12 求特殊平行四边形中的线段长度】
【例12】（24-25八年级·重庆荣昌·期末）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连
接DE，过点E作EF⊥DE，交AB于点F，若∠EDC=30°，则AF长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2❑√2−2 D．8−4❑√3
【变式12-1】（2025·江西·一模）在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，点E，F分别是AD，AB的
中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 ．【变式12-2】（24-25八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形ABCD中，点M在边AD上，先将矩形纸
片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，与BC交于点N．之后再将矩形纸片ABCD折叠，
使AM恰好落在直线M D′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME．若CD=4，MD=8，则
EC的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式12-3】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接
而成，其中∠CED=∠CFB=90°，则矩形的一组邻边之比为（ ）
3 ❑√2+1 2❑√2+1
A．❑√2 B． C． D．
2 2 3
【题型13 求特殊平行四边形中的角度】
【例13】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接
AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE=2BF，∠BAF=α，则∠EGF一定等于（ ）
A．45°+α B．45°−α C．2α D．α
【变式13-1】（2025·重庆·一模）如图，正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，
AE=CF，连接DE，DF，EF，M为EF中点，连接DM，CM．若∠ADE=α，则∠CMF=（ ）1
A．45°− α B．30°−α C．45°−α D．α
2
【变式13-2】（24-25八年级·重庆渝北·期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，F是CD延长
线上一点，连接EF交对角线BD于点G，连接AG，若BE=DF，∠CEF=α，则∠AGB=（ ）
3
A．α B． α C．α+15° D．135°−α
2
【变式13-3】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作
EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF=α，则∠BEF的度数是（ ）
A．2α B．45°+α C．90°−2α D．3α
【题型14 求特殊平行四边形中的面积】
【例14】（24-25八年级·山西晋中·期末）如图，裁剪出一正方形纸片ABCD，若AB=4，且E为BC的中
点，将△ABE沿着AE所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接CF，请你探究求出△ECF的面积
为（ ）4❑√5 8❑√5 8 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式14-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别
是4和3，则重叠部分的四边形ABCD面积是 ．
【变式14-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，边长为2a(a>0)的正方形ABCD中，点E、F分别
是BC、CD的中点，AE与BF交于点G，记四边形CFGE的面积为S，则S的值是（用含a的代数式表
示）（ ）
1 4 2
A．a2 B． a2 C． a2 D． a2
5 5 5
【变式14-3】（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边
分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接
DH，IJ，H，D，E在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为S ，S ，若S ：S =1：4，四边
1 2 1 2
形BAHE的面积为27，则四边形MBNJ的面积为（ ）A．9 B．8 C．7 D．6
【题型15 求特殊平行四边形中的最值】
【例15】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，F、E分别是AD、
CD上的动点，满足AF+CE=AB．若AB=6，则△BEF周长的最小值为（ ）
A．6❑√3 B．9❑√3 C．12 D．18
【变式15-1】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为AB中点，
点P在对角线BD上运动，若PE+PA=❑√3，则AB长的最大值为 ．
【变式15-2】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上一
点，且AE=3，点F是AB边上的动点，以EF为一边作菱形EFGH，使顶点H落在CD上，连接CG，则
△HCG面积的最小值为（ ）3 7
A．1 B． C．3 D．
2 2
【变式15-3】（24-25八年级·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点E为BC的
中点，连结AE． 以BC为边向左作△BCD，且∠BCD=90°，BD∥AC． 连结DE，记△CDE和
3
△ABE的面积分别为S 和S ，则 S −S 的最大值是（ ）
1 2 2 1 2
A．4 B．6 C．4❑√2 D．8
【题型16 特殊平行四边形中的多结论问题】
【例16】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且
AD=AE，DH⊥AE于点H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE．下列结论：①BC=❑√2AB；②
∠AED=∠CED；③BH=HF；④BC=2HE+CF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式16-1】（24-25八年级·吉林长春·期末）知图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点
O，AC=8，BD=6，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF
分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①AC平分四边形BEDF的周长；②四边形
AE 7
BEDF是矩形；③BD平分∠PDQ；④当DE⊥AB时， = ．上述结论中，所有正确结论的序号是
ED 24
．【变式16-2】（24-25八年级·湖北宜昌·期末）用一张正方形的纸片ABCD按如下方式折叠：如图，先将纸
片对折得到折痕EF，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕CG，使点D落在EF上的点H处，连接
BH,DH,DH与CG交于点I．则下列结论中正确的个数为（ ）
①CG⊥DH；②△DHC为等边三角形；③∠BHD=135°；④HI=BH．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式16-3】（24-25八年级·浙江湖州·期末）如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=5,E,F分别是边AD，
25
BC的中点，CP⊥BE于P，DP的延长线交AB于G．下列结论：①PF=2.5；②PF⊥DG；③PG=
12
．其中结论正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【题型17 利用一次函数的性质求字母取值范围】
【例17】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，
则称点A为“和二点”．例如：点B(−1.2,0.8)到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点
C(1，1),D(−0.5，−1.5)也是“和二点”．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(−3,−4)，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
2 4 4 2
A． ≤k≤2 B． ≤k≤2 C． ≤k≤4 D． ≤k≤4
3 5 5 3
【变式17-1】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，RtΔABC的顶点A的坐标为(3,4)，顶点B的坐标为
(−1,0)，点C在x轴上，若直线y=−2x+b与RtΔABC的边有交点，则b的取值范围为（ ）
A．−20，则y y >0 B．若x x ＞0，则y y ＞0
1 3 1 2 1 2 1 3
C．若x x <0，则y y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 2 3 2 3 1 2
【变式18-1】（24-25八年级·湖北·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y=2x+b（b为常
数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b)（b为常数）的图象．若函数y=|2x+b)（b为常数）与直线y=2有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是
．
①△AOB的面积总为2；
②若函数y=|2x+b)（b为常数）图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0|2x+b)的解集为 2．
【变式18-2】（24-25八年级·福建福州·期末）已知一次函数y =kx+2k+4，现给出以下结论：
1
①若该函数的图像不经过第三象限，则−20时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；
3n+6
③当S =9时，n=−5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC= ．
△AOB 4
【题型19 一次函数中的规律探究】
1 1
【例19】（24-25八年级·河南·阶段练习）如图，直线l :y=x+1与直线l :y= x+ 相交于点P(−1,0)，
1 2 2 2
直线l 与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改
1 2 1
为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处
1 1 2 2
后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线l 上的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律
1 2
运动，动点C依次经过点B ,A ,B ,A ,B ,A ,…,B ,A ⋯，则当动点C从A到达A 处时，运
1 1 2 2 3 3 2024 2024 2024动的总路径的长为（ ）
A．22024−2 B．22023−1 C．22025−2 D．22026−2
【变式19-1】（24-25八年级·黑龙江佳木斯·期中）如图．在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y
轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点
A ，以A B，BA为邻边作▱ABA C ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交
1 1 1 1 1 1 1
y轴于点A ，以A B ，B A 为邻边作▱A B A C ……按此作法继续下去，则点C 的坐标是 ．
2 2 1 1 1 1 1 2 2 2025
【变式19-2】（24-25八年级·四川乐山·期末）如图，点A (2，2)在直线y=x上，过点A 作A B ∥y
1 1 1 1
1
轴，交直线y= x于点B ，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右侧作等腰直角△A B C ，再
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A 、B 两点，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在
1 2 2 2 2 2 2 2 2
A B 的右侧作等腰直角△A B C ，…，按此规律进行下去．
2 2 2 2 2
（1）等腰直角△A B C 的面积为 ，
1 1 1（2）等腰直角△A B C 的面积为 ．
n n n
❑√3
【变式19-3】（2025·山东德州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= x，直线
1 3
，在直线 上取一点 ，使 ，以点 为对称中心，作点 的对称点 ，过点 作 ∥
l ：y=❑√3x l B OB=1 B O B B B A
2 1 1 1 1 1
l ，交x轴于点A ，作B C ∥x轴，交直线l 于点C ，得到四边形OA B C ；再以点B 为对称中心，作O点
2 1 1 1 2 1 1 1 1 1
的对称点B ，过点B 作 B A ∥l ，交x轴于点A ，作B C ∥x轴，交直线l 于点C ，得到四边形OA B C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
；…；按此规律作下去，则四边形OA B C 的面积是 ．
n n n
【题型20 利用一次函数解决行程问题】
【例20】（24-25八年级·浙江宁波·期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B
地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚0．5h出发，并且在中途停留1h后，按原来速度的一半继
续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（km）与甲出发的时间t（h）之间的关系如图．下列说
法：①A，B两地相距24km；②甲比乙晚到B地1h；③乙从A地刚出发时的速度为72km/h；④乙出发
17
h与甲第三次相遇．其中正确的有（ ）
14
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式20-1】（24-25八年级·重庆·期中）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙
两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，2
发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原
3
路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间
的函数图象，则下列说法错误的是（ ）
A．a=120
B．点F的坐标为(8,0)
C．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h
125 123
D．出租车返回的过程中，货车出发 h或 h都与出租车相距12km
17 15
【变式20-2】（2025·重庆渝中·二模）甲、乙两辆冷链运输车从某公司疫苗存储库同时出发，各自将一批
疫苗运往省疾控中心疫苗仓储库，他们将疫苗运到省疾控中心疫苗仓储库后，省疾控中心将按规定流程对
疫苗的质量进行检查验收，检查验收及卸货的时间共为30分钟，然后甲、乙两辆冷链运输车又各自按原路
原速返回公司疫苗存储库，在整个过程中，假设甲、乙两辆冷链运输车均保持各自的速度匀速行驶，且甲
车的速度比乙车的速度快．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车离开公司疫苗存储库的时间x（小时）
之间的关系如图所示，则在甲车返回到公司疫苗存储库时，乙车距公司疫苗存储库的距离为 千
米．
【变式20-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，
现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，
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在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过 小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶
3
时间x小时之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 千
米．
