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南阳一中 2022 年秋期高三第一次月考
数学试题（文）
一、选择题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知 ， ，进而根据补集运算与交集运算求解即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
所以
故选：B
2. 给出下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤
，其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；
② 是整数，故可判断②正确；
③通过解方程 ，可得出 ，故可判断③；
④根据 为正整数集可判断④；⑤通过解方程 ，得 ，从而可判断⑤.
【详解】① ，故①错误；
② 是整数，所以 ，故②正确；
③由 ，得 或 ，所以 ，所以 正确；
④ 为正整数集，所以 错误；
⑤由 ，得 ，所以 ，所以 错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.
3. “ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出 在 上恒成立时 的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出
答案.
【详解】 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
，所以 .因为 ，而 推不出 ，
所以“ ”是“ 在 上恒成立”的充分而不必要条件.
故选：A.
4. 存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义，对于任一自变量x有唯一的y与之相对应，对x取特殊值，通过举反例排除即
可．
【详解】A：当 与 时，此时 ，但 是不同的两个值，不合题设；
B：当 与 时，此时 ，但 是不同的两个值，不合题设；
C：令 ，当 与 时，此时 ，但 是不同的两个值，不合题设；
D：令 ，此时 ，即 ，符合题设．
故选：D.
5. 若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
的
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据函数 的定义域求出函数 的定义域，然后再列出 有意
义时 所满足的条件，从而可求出函数 的定义域.【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 ，
所以要使函数 有意义，需满足 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：B．
6. 函数 的递减区间是（ ）
A. B. 和
C. D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】分别讨论 和 ，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.
【详解】当 时， ， ，解得： ，又
为开口向下的抛物线，对称轴为 ，此时在区间 单调递减，
当 时， ， 为开口向上的抛物线，对称轴为 ，
此时在 单调递减，
综上所述：函数 的递减区间是 和 .
故选：B.
7. 若函数 ，则 的值域为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出每一段上函数的值域，再求出两值域的并集即可得 的值域.
【详解】当 时， ，则 ，
所以 在 上递增，所以 ，
即 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 的值域为 ，
故选：C
8. 若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算 时，函数值域为 ，故 时的值域 ，讨论 和 两种
情况，计算得到答案.
【详解】当 时，当 时， 的值域
时， 单调递增， ；
时， 单调递减， 时 ，不满足；
综上所述：
故选：
【点睛】本题考查了根据分段函数的值域求参数范围，分类讨论是常用的方法需要熟练掌握.
9. 已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域可得 ， ， ，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】解：∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ .
故选：A.
10. 已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
求出函数 的值域，可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】 ，所以， ，整理得 ，
解得 .
故选：C.
【点睛】解本题的关键在于求得函数 的值域 ，再由 构建不等式求解.
11. 已知偶函数 的定义域为 ，且当 时， ，则使不等式 成立的
实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知 在 上单调递增，且 ，将所求不等式转化为 ，
可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】当 时， ，所以 在 上单调递增，
且 ，不等式 即为 .
又因为 是偶函数，所以不等式 等价于 ，
则 ，所以， ，解得 .
综上可知，实数 的取值范围为 ，
故选：A.12. 函数f(x)＝ 的值域为( )
A. [－ , ] B. [－ ,0]
C. [0,1] D. [0, ]
【答案】C
【解析】
【详解】令 ，则 的几何意义是单位圆(在 轴及其上方)上的动点
与点 连线的斜率 ，由图象，得 ，即函数 的值域为[0,1]，故选C.
点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用
的形式和平方关系联想到三角代换，二是由 的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充
分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设函数 ，若 ， ，则 的解析式为 ＝
________．
【答案】 ，
【解析】【分析】根据 ， ，列出方程组，求得 的值，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
因为 ， ，可得 ，
即 ，解得 ，
所以函数的解析式为 .
故答案为：
14. 已知定义域是R的函数 满足： ， ， 为偶函数， ，
则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用题给条件求得函数 最小正周期为4，进而得到 ，再利用
及 即可求得 的值.
【详解】 ， ，则 ，
令 则 ，则
由 为偶函数，可得 ，则函数 有对称轴
则有 ，又 ，则
则则 ，
则函数 最小正周期为4.
则
又 ，则
故答案为：
15. 已知函数 ．若 的定义域为 ，值域为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知函数 为开口向下，且对称轴为 的二次函数，讨论 与 的大小关系，即可
得出 在区间 上的单调性，则可列出等式，即解出 的值，则可求出答案.
【详解】因为 ，对称轴为 ，
当 时： 在 上单调递减，所以 ，无解；
当 时： 在 上单调递增，所以 ，
解得： 或 ， 或 ，又 ，所以 ， ;
当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ，与 矛盾；
综上所述： ， ，此时
故答案为： .16. 函数 的值域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】将函数 的值域转化为 与 有交点时
的t的取值范围，利用数形结合法求解.
【详解】解： ，
由 ，解得 ，
令 ，即 ，
将函数 的值域转化为 与 有交点时的t的取
值范围，
在同一坐标系中作函数 与 的图象如图所示：
由图象知：当直线 与半圆 相切时，t最小，
此时 ，解得 ，由图象知 ，
当直线 过点 时，t最大，此时 ，
所以 ，即 的值域是 ，
故答案为：
三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合 ， .
（1）若“命题 ： ， ”是真命题，求 的取值范围.
（2）“命题 ： ， ”是真命题，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由“命题 ： ， ”是真命题得 ，再根据集合之间的包含关系求解即可；
（2）由“命题 ： ， ”是真命题得 ，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】解： 得 ，则 ，
（1）“命题 ： ， ”是真命题，∴ ，
当 时，∴ ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围 ；
（2）由 为真，则 ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，故只需要 ∴
综上， .
【点睛】本题考查了根据命题真假求参数取值范围，利用集合之间的关系求参数取值范围，属于中档题.
18. 设命题 ， ；命题 关于 的一元二次方程 的一根
大于零，另一根小于零；命题 的解集．
（1）若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）分别求出当命题 为真命题时实数 的取值范围，以及当命题 为真命题时实数 的取值范
围，由已知条件可得 、 一真一假，然后分 真 假和 假 真两种情况讨论，综合可得出实数 的取
值范围；
的
（2）解不等式 ，根据已知条件可出关于实数 不等式组，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】（1）若命题 为真命题，即 ， ，则 ，解得 或
.
若命题 为真命题，即关于 的一元二次方程 的一根大于零，另一根小于零，
则 ，可得 .
因为 为真命题， 为假命题，则 、 一真一假.
若 真 假，则 ，可得 ；
若 假 真，则 ，可得 .
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（2）对于命题 ， ，由 ，可得 ，
可得 或 ，解得 或 .
因为 是 的必要不充分条件，则 ，
所以， ，解得 .因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：本题考查利用必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件，则 对应集合与 对应集合互不包含．
19. 下表是弹簧伸长的长度 与拉力值 的对应数据：
长度 1 2 3 4 5
拉力值 3 7 8 10 12
（1）求样本相关系数 （保留两位小数）；
（2）通过样本相关系数 说明 与 是否线性相关；若是求出 与 的线性回归方程，若不是，请说明理
由．
参考数据和公式： ， ， ，
线性回归方程 中， ， ，其中 ， 为样本平均值．
【答案】（1）0.98；
（2） 与 是线性相关，回归方程是 .
【解析】
【分析】(1)根据给定数据表求出相关系数公式中的相关量，再代入公式计算作答.
(2)由(1)可得 与 是线性相关，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程.
【小问1详解】依题意， ， ，
， ，
，
所以样本相关系数 .
【小问2详解】
由(1)知， 接近于1，说明 与 具有较强的线性相关关系，
， ，
因此， ， ，
所以 与 是线性相关，回归方程是 .
20. 在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【小问1详解】
因为l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
【小问2详解】
联立l与C的方程，即将 ， 代入
中，可得 ，
所以 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
，
所以m的取值范围为 .
21. 定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）若 使不等式 成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有 ，即可求出 的值，然后根据奇函数的定义即可
求出结果；
（2）参变分离后构造函数 ，根据函数 的单调性即可求出最小值，从而可以
求出结果.
【小问1详解】
（1）因为 是定义在 上的奇函数， 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 时， ，
当 时， ，所以 ，
又 ，
所以 ， ，
即 在 上的解析式为 .
【小问2详解】
因 为时， ，
所以 可化为 ，整理得 ，
令 ，根据指数函数单调性可得，
与 都是减函数，
所以 也是减函数，
，
所以 ，
故实数 的取值范围是 .
22. 已知函数 是定义在 上的函数，对任意 ，满足条件 ，且当 时， .
（1）求证： 是 上的递增函数；
（2）解不等式 ，（ 且 ）.
【答案】（1）证明见解析；（2） ，解集 ； ，解集 ..
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义，取 易得 ，结合题设有
，即可证结论.
（2）由递推关系可得 ，再求 、 ，最后由单调性有
，进而讨论参数a结合对数函数的性质求x的范围.
【详解】（1）任取 ，则 ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ 是 上的递增函数；
（2）由题设，原不等式转化为 ，
又 时， ，即 ，
而 ，又 ，即 ，
∴ ，由（1）知： ，
∴ ，解得 或 ，
当 时， 或 ；当 时， 或 ；∴ ，解集 ； ，解集 .
的
【点睛】关键点点睛：第二问，利用题设递推关系得到 形式，结合第一问的单调性解不等式
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