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专题 04 几何图形初步
一、单选题
1．下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示几何体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“面动成体”进行判断即可．
【解析】解：将平面图形 绕着虚线旋转一周可以得到的几何体为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是正确判断的前提．
2．已知点 在线段 上，则下列条件中，不能确定点 是线段 中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案即可．
【解析】解：A、B、C均能确定点C是线段 的中点，不符合题意
D选项中不论点 在线段 的什么位置都满足 ，所以点 不一定是线段 的中点，符合题意，
故选D．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，正确理解线段中点的定义及线段的和的关系是解题的关键．
3．下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离；
②线段AB和线段BA表示同一条线段；
③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点
之间，线段最短；
④若 ，则点C是AB的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念判断即可．
【解析】解：连接两点之间的线段的长叫两点间的距离，故①不符合题意；
线段AB和线段BA表示同一条线段，正确，故②符合题意；
木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确
定一条直线，故③不符合题意；
若 ，点 可能在 外，则点 不一定是 的中点，故④不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念，正确理解定义是解题的关键．
4．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，即可判断．
【解析】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是明确左视图是从物体的左边观察得到的图形．
5．已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB＝60°，则∠BOC等于（ ）
A．150° B．30° C．40°或140° D．30°或150°
【答案】D
【分析】直接根据题意绘制图形，进而结合分类讨论得出符合题意的答案．
【解析】解：分两种情况讨论，
如图1所示，
∵OA⊥OC，
∴ ，
∵∠AOB＝60°，
∴ ；
如图2所示，∵OA⊥OC，
∴ ，
∵∠AOB＝60°，
∴ ．
综上所述，∠BOC等于30°或150°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角的计算，正确利用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
6．点C是线段 的三等分点，点D是线段 的中点．若线段 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解．
【解析】∵点C是线段 的三等分点，
如图所示，当 时，
∴
∵点D是线段 的中点
∴
∴ ；
如图所示，当 时，∴
∵点D是线段 的中点
∴
∴ ；
综上所述，线段 的长为 或 ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
7．下列关于余角、补角的说法，正确的是（ ）
A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余
D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
【答案】A
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补．根据此定义判
断即可．
【解析】A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意；
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互余，此选项不符合题意；
C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；
D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．
8．“病毒无情人有情”，2022年正值全民抗击疫情的关键之年，小茜同学在一个正方体每个面上分别写
一个汉字，组成“全力抗击疫情”，如图是该正方体的一种展开图，那么在原正方体上，与汉字“疫”相
对的面上所写汉字为（ ）
A．全 B．力 C．抗 D．击【答案】B
【分析】根据空间想象能力判断出与汉字“疫”相对的面．
【解析】解：与汉字“疫”相对的面上所写汉字为“力”．
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体展开图中面与面的对应关系．
9．若一个角的余角是它的补角的 ，则这个角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】设这个角为 ，根据余角与补角的关系列出方程，解之即可．
【解析】解：设这个角为 ，则
解得
故选：A．
【点睛】本题考查余角和补角，解题关键是找到题中等量关系，列出方程．
10．如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，
下列结论不正确的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
【答案】B
【分析】由于B选项中的结论是 ,而 ,因此只要判断 和 是否相等即可，根据
,而 ,因此得到 ，由此得出B选项错误．【解析】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项正确；
，
,
,即 ,
所以B选项错误；
由中点定义可得： , ,
，
,
,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得： , ,
,
,
,
,
,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确
运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念
的理解以及几何运算的能力．
二、填空题
11．如果一个几何体的三视图之一是三角形，那么这个几何体可能是__________，_________，________.(写出3个即可)
【答案】 三棱柱、 三棱锥、 圆锥
【解析】如果俯视图是三角形，则这个几何体可能是三棱锥，如果主视图或左视图是三角形，则这个几何
体可能是三棱锥或圆锥.
故答案为 (1). 三棱柱、 (2). 三棱锥、 (3). 圆锥
12．计算79°12′＋21°49′的结果为__________．
【答案】
【分析】根据角度的和进行计算，注意进位
【解析】解：79°12′＋21°49′
故答案为：
【点睛】本题考查了角度的运算，注意单位与进位是解题的关键．
13．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是__________．
【答案】圆锥
【分析】根据三视图（主视图、左视图、俯视图）的概念即可得．
【解析】由三视图（主视图、左视图、俯视图）可知这个几何体的形状如下：
即这个几何体是圆锥
故答案为：圆锥．
【点睛】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键．
14．一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是_______cm2．【答案】6
【解析】解：根据长方体的主视图和左视图得：这个长方体的高是4，底面长是3，底面宽是2；
∴长方体的俯视图就是其底面的图形是长是3，宽是2的长方形，
∴它的面积= =6．
故答案为：6
【点睛】本题考查俯视图，解答本题需要掌握三视图的概念，会观察几何体的俯视图，此类题比较简单
15．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为_____个．
【答案】0，1，3，4，5，6
【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可
看出．
【解析】解：（1）当四条直线平行时，无交点；
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；
（3）当两两直线平行时，有4个交点；
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；
（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．
故答案为：0，1，3，4，5，6．
【点睛】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，
然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高，
学会分类讨论思想是解题的关键．
16．如图， 平分 ， 平分 ， ， ，则 的度数为___°．【答案】70°
【分析】根据角平分线定义先求出∠BOC的度数，和∠COD，然后根据两角和求解即可．
【解析】解：∵∠AOC=100°，∠COE=40°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC=∠AOB=50°，
∵OD平分∠COE，
∴∠COE=2∠COD=40°．
∴∠COD=20°，
∴∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°+20°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义，角的和，解题的关键是熟练掌握角平分线定义．
17．如图，点B在线段AC上，BC＝ AB，点D是线段AC的中点，已知线段AC＝14，则BD＝______.
【答案】3
【分析】先根据BC＝ AB和AC＝14，可以计算出AB和BC的值，再由D是线段AC的中点，可以算出
CD的长度，最后用CD－BC即可得出答案．
【解析】解：∵点B在线段AC上，BC＝ AB，且线段AC＝14，
∴ ，
∵点D是线段AC的中点，
∴ ,
∴ ．
故答案为：3．【点睛】本题考查线段的中点，线段的和差倍分等相关知识，理清线段之间的关系是解题的关键．
18．如图，已知射线 在 内部， 平分 ， 平分 ， 平分 ，现给出以
下4个结论：① ；② ；③ ；④
其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．
【答案】①②④
【分析】①根据 平分 ， 平分 ， 平分 ，得出 ，
， ，求出 ，即可得出结论；
②根据角度之间的关系得出 ，得出 ，
即可得出结论；
③无法证明 ；
④根据 ，得出 ， ，即可得出结论．
【解析】解：①∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
，
，
，
即 ，
∴ ，故①正确；
②∵，
∴ ，故②正确；
③ 与 不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出 ，是
解题的关键．
三、解答题
19．读句画图．
(1)画射线 ，连接 并延长线段 至 ；
(2)用直尺和圆规作 ，使得 ．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据射线和线段的定义即可作射线 ，线段 ；
（2）利用基本作图（作一个角等于已知角）作 ，使得 ．
（1）
如图1，射线 ，线段 即为所求，
（2）
如图2， 即为所求，
【点睛】本题考查了作图—基本作图，作射线，线段，作一个角等于已知角，熟练掌握基本作图的方法是
解本题的关键．
20．如图，C是线段AB上的一点，AC：CB=2：1．
(1)图中以点A，B，C中任意两点为端点的线段共有 条．
(2)若AC=4，求AB的长．
【答案】(1)3
(2)6
【分析】（1）从图中找出所有线段即可；
（2）由AC=4，AC：CB=2：1，求得CB的长度，利用线段的和即可得到AB的长．（1）
解：以点A，B，C中任意两点为端点的线段是AB、AC、BC，共有3条，
故答案为：3
（2）
解：∵AC=4，AC：CB=2：1，
∴CB=2，
∴AB=AC+CB=4+2=6．
【点睛】此题考查了线段、线段的和差，熟练掌握线段的和差运算是解题的关键．
21．如图1，把一张长10cm、宽6cm的长方形纸板分成两个相同的直角三角形（圆锥的体积公式为
，π取3.14）．
(1)甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？
(2)乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？
【答案】(1)一个圆锥，
(2)一个圆柱，里面被挖去一个圆锥，
【分析】（1）根据题干分析可得，分成的直角三角形的两条直角边分别是10厘米、6厘米，以较长边10
厘米为轴旋转一周得到的是一个圆锥体，底面半径是6厘米，高是10厘米，据此利用圆锥的体积公式计算
即可解答．
（2）根据题干分析可得，所形成的几何体的体积=底面半径是6厘米高是10厘米的圆柱体积-底面半径是6
厘米高是10厘米的圆锥体积，据此利用圆柱和圆锥的体积公式计算即可解答．
【解析】（1）甲三角形旋转一周可以形成一个圆锥，
它的体积是 ．
（2）乙三角形旋转一周可以形成一个圆柱，里面被挖去一个圆锥，它的体积是 ．
【点睛】此题主要考查圆柱和、圆锥的体积公式的计算应用，关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半
径和高．
22．如图，点 是线段 上一点，点 、 、 分别是线段 ， ， 的中点．
(1)若 ，则 ；若 ，则 ．
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)5，12
(2)
【分析】（1）利用线段中点的性质得到 ， 的长度，则 ；
（2）由已知条件可以求得 ，因为P是 的中点，所以 ，
，根据N为 的中点，可求得 ，再根据 即可求得 的长．
【解析】（1）∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
若 ，
∴ ，
；
故答案为：5，12；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是线段 的中点， ，
∴ ．【点睛】本题主要考查两点间的距离，正确理解线段中点的定义是解题的关键．
23．如图， 是 的平分线， 是 的平分线．
(1)如果 ， ，则 的度数为 ；
(2)如果 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）利用角平分线的定义易求 ．
【解析】（1）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
，
是 平分线，
，
故答案为： ；
（2） 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转
化求解．
24．如图是一个正方体纸盒的展开图，已知这个正方体纸盒相对面上的代数式的值相等．(1)求a，b，c的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)a的值 ，b的值为 ，c的值为﹣2
(2)
【分析】（1）根据正方体的表面展开图找相对的面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面，可得
， ， ，从而求出a，b，c的值；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把a，b，c的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】（1）解：由题意得：
与8相对，4与 相对， 与 相对，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
∴a的值 ，b的值为 ，c的值为 ；
（2）解：
，
当 ， ， ，时，
原式
．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，代数式求值，整式的加减，熟练掌握根据正方体的表面
展开图找相对的面的方法是解题的关键．25．如图，直线 相交于点O。已知 ，在 内部引一条射线 ，且 ，
请解答下列问题：
(1) 度数是___________； 度数是___________；
(2)将射线 绕点O逆时针旋转 到
①如图2，当 平分 时，说明 平分 ；
②当 时，请求出α的度数
【答案】(1) ；
(2)①见解析；②当 时，α的度数为 或者
【分析】（1）根据 ， ，即可得出答案；
（2）①求出 与 的度数，进行比较即可证得结论；
②考虑到有两种情况即可，即为 在如图所示位置与 在 上方位置．
【解析】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为： ； ；
（2）解：①当 平分 时，
∵ ，
又∵
∴ ，
∴ 平分 ．
∴当 平分 时 是平分 ．②当 时，且OF在 下方时，
∵ ，
∴ ，
当 时，且 在 上方时， 相当于比在 下方时多旋转了 ，
∴ ．
综上所述：当 时，α的度数为 或者 ．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
26．定义：若 ，且 ，则我们称 是 的差余角．例如：若 ，则 的差余
角 ，
(1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的
度数；
(2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系；
(3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，
请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)∠BOE＝30°
(2)∠BOC＋∠BOE＝90°
(3)是定值，
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝ ∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝
∠AOC− ∠BOC＝90°，于是得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由
∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论．
（1）解：∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠COE＝∠BOE＝ ∠BOC，
∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC−∠COE＝∠AOC− ∠BOC＝90°，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝30°；
（2）
∵∠BOC是∠AOE的差余角，
∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠BOC＋∠BOE＝90°；
（3）
是定值2，
理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，
∴ ＝ ＝2（定值）；
如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角，
∴∠AOC−∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°＋∠COE，
∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE，
∴ ＝ ＝2（定值），
综上所述， 为定值．【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键．
