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专题 10 利用数学思想方法解决线段与角的计算问题之四大题型
分类讨论思想在线段的计算中的应用
例题：（2023上·广东肇庆·七年级统考期末）点A，B，C在同一条直线上， ， ，
则 长为 ．
【答案】 或
【分析】分类讨论，当点C在线段 的延长线上时， ；当点C在线段 的延长线
上时， ，然后把 ， 代入计算即可．
【详解】解：当点C在线段 的延长线上时， ；
当点C在线段 的延长线上， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分类讨论是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知点C是线段AB的一个三等分点，M是线段AB的中
点，N是线段BC的中点， ，则AB= ．
【答案】 或 /12或6
【分析】根据点C是线段AB上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．
【详解】解：如图1，
∵点C是线段 上的三等分点，
∴ ，
∵M，N是线段 ， 的中点，∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图2，
∵点C是线段 上的三等分点，
∴ ，
∵M，N是线段 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画
图计算．
2．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）点 和点 都在直线 上，若 且 ，
．则 ．
【答案】4或8或16
【分析】分4种情况讨论：①当点C在点B左侧，点D在点C右侧时，②当点C在点B左侧，点
D在点C左侧时，③当点C在点B右侧，点D在点C右侧时，④当点C在点B右侧，点D在点C
左侧时，画出图形，结合图形，分别求解即可．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ ，
①当点C在点B左侧，点D在点C右侧时，如图1，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点C在点B左侧，点D在点C左侧时，如图2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当点C在点B右侧，点D在点C右侧时，如图3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
④当点C在点B右侧，点D在点C左侧时，如图3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4或8或16．
【点睛】本题考查线段和差倍分的计算，解题的关键是分类讨论思想的运用．
分类讨论思想在角的计算中的应用例题：（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末） 是从 的顶点O引出的一条射线，若
， ，则 的度数是 ．
【答案】35或105/105或35
【分析】分两种情况， 在 内部， 在 外部，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解： 在 内部，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
② 在 外部，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：35或105．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式训练】1．（2023上·山西晋中·七年级统考期末）已知 ， 平分 ， ，
平分 ，则 ．
【答案】 或
【分析】根据角平分线的定义求出 的度数，再分两种情况求出 ．
【详解】解： ∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
当 在 内部时，如图，
；
当 在 外部时，如图，
，
故答案为： 或
【点睛】此题考查了角平分线的定义，几何图形中求角的度数，正确掌握角平分线的定义是解题的
关键．
2．（2023上·江西宜春·七年级统考期末）如图，射线 在 的内部，图中共有3个角：
， 和 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是
的“平衡线”．若 ，且射线 是 的“平衡线”，则 的度数为
．【答案】 或 或
【分析】分① ，② ，③ ，④ 四
种情况，再根据角的和差进行计算即可得．
【详解】解：由题意，分以下四种情况：
①当 时，射线 是 的“平衡线”，
，
；
②当 时，射线 是 的“平衡线”，
，
，
；
③当 时，射线 是 的“平衡线”，
， ，
，
解得 ；
④当 时，射线 是 的“平衡线”，
， ，
，
解得 ；
综上， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．
整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题例题：（2023上·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段 ，点 为
上的一个动点，点 、 分别是 和 的中点．
(1)若点 恰好是 中点，则 ____________ ；
(2)若 ，求 的长；
(3)试利用“字母代替数”的方法，设 “ ” ，请说明不论 取何值（ 不超过 ），
的长不变．
【答案】(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据线段中点的性质得出 ， ，结合图形即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法进行求解即可．
【详解】（1）解： ， 点为 的中点，
．
点 、 分别是 和 的中点，
，
．
故答案为：6；
（2）解： ， ，
．
点 、 分别是 和 的中点，
， ，
；
（3）解：设 ，则 ，
点 、 分别是 和 的中点，
∴ ，
，不论 取何值（不超过 ）， 的长不变；
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段 上，点M、N分别是 的中
点．
(1)若 ，求线段 的长；
(2)若C为线段 上任一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想 的长度吗？请直接
写出你的答案．
(3)若C在线段 的延长线上，且满足 ，M 、N分别为 的中点，你能猜想
MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，图及理由见解析
【分析】（1）根据M、N分别是 的中点，可得 ，从而得到
，即可求解；
（2）根据M、N分别是 的中点，可得 ，从而得到
，即可求解；
（3）根据M、N分别是 的中点，可得 ，从而得到
，即可求解．
【详解】（1）解：∵M、N分别是 的中点，∴ ，
∴
∴线段 的长为 ．
（2）解∶ ∵M、N分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解∶ ，理由如下∶
如图:
∵M、N分别是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关
键．
整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题
例题：（2023上·河南驻马店·七年级校考期末）如图1，线段 ， ， 、 分别是
、 的中点．
【问题发现】（1）若 ，则 ___________ ．
【拓展探究】（2）当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，
求出 的长度；如果变化，请说明理由．【问题解决】（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2， 、 分别平分 和
．若 ， ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） 的长度不变， ；（3）
【分析】（1）根据已知得到 的长度，再根据线段中点的定义，得出 和 的长度，即可求
出 的长度；
（2）根据已知，得到 的长度，再根据线段中点的定义，得到 ， ，
然后根据 ，即可求出 的长度；
（3）根据已知，得到 的度数，再根据角平分线的定义，得到 ，
，，然后根据 ，即可求出 的度数．
【详解】解：（1） ， ， ，
、 分别是 、 的中点，
， ，
，
故答案为： ；
（2） 的长度不变，理由如下：
， ，
，
、 分别是 、 的中点，
， ，
，
;当线段 在线段 上运动时， 的长度不变， ；
（3） ， ，
，
、 分别平分 和 ，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，角平分线的定义，线段以及角度的和差，根据题意正确找出
线段和角度之间的数量关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）点 为直线 上一点，在直线 同侧任作射线
，使得 ．
(1)如图一，过点 作射线 ，使 为 的角平分线，若 时，则
________ ， ________ ；
(2)如图二，过点O作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分
．
①若 ，求 的度数（写出推理过程）；
②若 ，则 的度数是________（直接填空）．
(3)过点 作射线 ，当 恰好为 的角平分线时，另作射线 ，使得 平分 ，当
时，则 的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°
(2)①135°，②135°
(3)35°或55°
【分析】（1）根据 求出 ，利用角平分线的定义得到 ，再根
据 进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出 ，根据
进行求解即可；
②同①法，进行计算即可；
（3）分 在 内部和 在 外部两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）①解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为 的角平分线， 为 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
②∵ ， ，
∴ ，
又∵ 为 的角平分线， 为 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）①当 在 内部时，如图：
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
②当 在 外部时，如图：
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
综上： 的度数是 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清
角之间的和差关系．
一、单选题
1．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）线段 ，点 在线段 所在的直线上，且
，则线段 的长度为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C【分析】分点 在线段 的右侧和在线段 上，进行分类讨论，求解即可．
【详解】解：当点 在线段 的右侧时： ；
当点 在线段 上时： ，
综上： 的长为： 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查线段的和与差．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
2．（2023上·安徽亳州·七年级统考期末）已知一条射线 ，若从点O再引两条射线 ，使
， ，那么 的度数是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】画出符合的两种情况，根据 和 的度数求出即可．
【详解】解：分为两种情况：①如图1，
，
②如图2，，
所以， 的度数是 或
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角的计算，关键是注意此题分两种情况．
3．（2023上·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成两
个角，分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为
的三等分线．若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，
综合即可得出答案．
【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线．
∴ 或 ，
∴ ，
∴ 的度数为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
二、填空题
4．（2023·四川达州·七年级校考期末）在直线 上取 ， 两点，使 ，再在直线 上
取一点 ，使 ， ， 分别是 ， 的中点，则 ．
【答案】 或
【分析】分情况讨论点 在线段 上，点 在线段 的反向延长线上，即可求解．
【详解】由题意知点 的位置有两种情况，
①点 在线段 上，
， ， ， 分别是 ， 的中点，
， ，，
②点 在线段 的反向延长线上时，由①得，
，
或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，解题的关键是分情况讨论点 在线段 上，点 在线段
外两种情况．
5．（2023上·河南周口·七年级统考期末）若 ， ， 分 ， 平
分 ，则 的度数是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意，进行分类讨论当 在 内部时，当 在 外部时，再根
据角平分线是定义以及角度之间的和差关系即可进行解答．
【详解】解：当 在 内部时，
∵ 分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
当 在 外部时，
∵ 分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角度之间的和差关系，解题的关键是正确理解题意，
进行分类讨论．
6．（2023上·江西南昌·七年级统考期末）已知直线l上有A，B，C，D四点，且 ，
，则 的长为 ．
【答案】2或4或8
【分析】依据题意分类画出图形，根据线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵ ， ，
若点C在点A左侧，点D在点B右侧，
；
若点C在点A左侧，点D在点B左侧，
；
若点C在点A右侧，点D在点B右侧，
；
若点C在点A右侧，点D在点B左侧，
；综上所述， 的长为2或4或8，
故答案为：2或4或8．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，分类讨论思想的运用是解题的关键．
三、解答题
7．（2023上·山东聊城·七年级统考期末）已知关于 的方程 的解也是关于 的方程
的解．
(1)求m、n的值；
(2)已知线段 ，在直线 上取一点P，恰好使 ，点 为 的中点，求线段 的长．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ．
【分析】(1)先求出方程 的解，然后把n的值代入方程 ，求出m的值即
可；
(2)分两种情况：①点P在线段 上，先由 ， ，求出 ， ，然后由点Q
为 的中点，可求 ，最后由 即可求出答案；②点P在线段
的延长线上，先由 ， ，求出 ，然后由点Q为 的中点，可求 ，
最后由 即可求出答案
【详解】（1）解：由 ，得 ，
解得 ，
∵关于 的方程 的解也是关于 的方程 的解，，
将 ，代入方程 得： ，
解得： ，
故 ， ；
（2）解：由 知： ， ，
当点 在线段 上时，如图所示：
， ，
， ，
点 为 的中点，
，
；
当点 在线段 的延长线上时，如图所示：
， ，
，
点 为 的中点，
，
故B 或 ．
【点睛】本题主要考查了利用同解方程求参数，线段中点的有关计算及线段的和差，采用分类讨论
的思想是解决本题的关键．
8．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）已知 是直线 上一点， 是直角， 平分，
牛刀小试：
(1)如图1，若 ，求 的度数；
类比说明：
(2)如图1，若 ，求 的度数（用含 的代数式表示）；
猜想发现：
(3)如图2， 是直线 上一线， 是直角， 平分 ，探究 与 的关系，
直接写出结论．
【答案】(1)
(2)
(3) ，见解析
【分析】（1）利用角的和差求出 ，然后根据 求解即可；
（2）仿照（1）的步骤求解即可；
（3）由角平分线的定义得 ， ，进而求出 ，
然后可证结论成立．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又∵ 是直角， 平分 ，
∴（2）由（1）知 ，
∴
= ．
（3） ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是直角，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线，以及角的和差，解题的关键是熟练掌握角的加减，角平分线的定义．
9．（2023上·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段 上，M，N分别是 ，
的中点．若 ， ，求 的长；
（2）设 ，C是线段 上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长；
②若M，N分别是 ， 的n等分点，即 ， ，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）由中点的定义可得 ，然后根据 求解即可；
（2）由 ， 可得 ，然后根据 求解即可；（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是 ， 的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴ ；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
10．（2023上·广东梅州·七年级统考期末）已知直线 经过点O， ， 是 的
平分线．
(1)如图1，若 ，求 ；
(2)如图1，若 ，求 ；（用含 的式子表示）
(3)将图1中的 绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论___________（填“成立”或“不成立”）；
(4)将图1中的 绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，求（2）中的结论是否还
成立？试说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立
(4)（2）中的结论不成立， ，理由见解析
【分析】（1）先根据平角的定义得到 ，再由角平分线的定义得到 ，则
；
（2）同（1）求解即可；
（3）同（2）求解即可；
（4）同（2）求出 ，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：成立；
（4）解：（2）中的结论不成立， ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，掌握角的和差关系是解题的关
键．
