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第 01 讲 投影
课程标准 学习目标
①投影与平行投影 1. 掌握投影的概念并能够快速无误的判断投影的类型。
②中心投影 2. 能够利用投影的性质判断影子的变化情况，且能够根据投影
③正投影 的性质进行简单的计算。
知识点01 投影与平行投影
1. 投影的概念：
物体在光线的照射下，会在某个平面（如地面或墙壁）上留下它的 影子 ，这就是投影现象。
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做 投影线 ，
投影所在的平面叫做 投影面 。
2. 平行投影的概念：
由 平行光线 形成的投影是平行投影。通常只把太阳光线认定为时平行光线。在太阳光线
下，同一时刻不用物体的高度与影长成 正比 且影子方向一致。一天之中，人在太阳光下形成的
影长的变化情况为： 长 → 短 → 最短 → 短 → 长 。
【即学即练1】1．下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
【解答】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；
B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；
C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；
D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；
故选：A．
【即学即练2】
2．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的定义判断即可．
【解答】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：
故选：D．
【即学即练3】
3. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成
图2，已知∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，则∠ABC的大小为（ ）A．44° B．45° C．46° D．47°
【分析】根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【解答】解：∵某一时刻在阳光照射下，AD∥BE∥FC，且∠MAD＝22°，∠FCN＝23°，
∴∠MAD＝∠ABE＝22°，∠EBC＝∠FCN＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝45°．
故选：B．
【即学即练4】
4．如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝
1.7m，则树高AB＝ 3. 4 m ．
【分析】利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到 ＝ ，然后利用比例性质求出AB即可．
【解答】解：根据题意得 ＝ ，即 ＝ ，
所以AB＝3.4（m）．
故答案为3.4m．
知识点02 中心投影
1. 中心投影的概念：
由 同一点（点光源） 发出的光线形成的投影叫做中心投影。物体与投影面平行时的投影是
放大（即位似变换）的关系。
在灯光下，等高的物体垂直于地面放置时物体离灯光远的物体影子较 长 ，离灯光进的物体影
子较 短 。等长的物体平行于地面放置时，离灯光越近影子越 大 ，离灯光越远影子越 短
。
【即学即练1】
5．下列各种现象属于中心投影的是（ ）A．阳光下沙滩上人的影子
B．晚上人走在路灯下的影子
C．中午用来乘凉的树影
D．阳光下旗杆的影子
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【解答】解：A．阳光下沙滩上人的影子，是平行投影，不符合题意；
B．晚上人走在路灯下的影子，是中心投影，符合题意；
C．中午用来乘凉的树影，是平行投影，不符合题意；
D．阳光下旗杆的影子，是平行投影，符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
6．如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（ ）
A．先变大后变小 B．逐渐变小
C．逐渐变大 D．先变小后变大
【分析】在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由
远及近，并结合上述知识，即可解答．
【解答】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大．
故选：C．
【即学即练3】
7．小明和爸爸晚上散步（小明身高没有爸爸高），在同一个路灯下，小明的影子比爸爸的影子长，这时
候爸爸和小明离路灯的距离谁近一点？（ ）
A．一样近 B．爸爸近一点
C．小明近一点 D．无法比较
【分析】根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案．
【解答】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且小明的影子比爸爸的影子
长（小明身高没有爸爸高），
∴爸爸和小明离路灯的距离爸爸近一点，
故选：B．
知识点03 正投影
1. 正投影的概念：
在平行投影中，投影线 垂直于 投影面产生的投影叫做正投影。①当物体平行于投影面时，物体与正投影 全等 。
②当物体倾斜于投影面时，实际物体 大于 正投影。
③当物体垂直于投影面时，正投影是 一条线或一个点 。
【即学即练1】
8．一个正五棱柱如图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解．
【解答】解：把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正五棱柱时的正投影是正五角形．
故选：B．
【即学即练2】
9．如图，A B 是线段AB在投影面P上的正投影，AB＝20cm，∠ABB ＝70°，则投影A B 的长为（ ）
1 1 1 1 1
A．20sin70°cm B．20cos70°cm
C．20tan70°cm D．
【分析】如图，过点A作AH⊥BB 于点H，则四边形AHB A 是矩形，解直角三角形求出AH，可得结
1 1 1
论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BB 于点H，则四边形AHB A 是矩形，
1 1 1
∴AH＝A B ，
1 1
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin70°＝20•sin70°（cm），
∴A B ＝AH＝20sin70°（cm）．
1 1
故选：A．题型01 判断投影的类型
【典例1】下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．中午烈日下用来乘凉的树影
B．上午阳光下人走在路上的影子
C．晚上人走在路灯下的影子
D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子
【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投
影为中心投影，
故选：C．
【变式1】下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．阳光下房屋的影子
B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子
D．皮影戏中的影子
【分析】由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．
【解答】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
阳光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故选：A．
【变式2】日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，
晷针在晷面上所形成的投影属于 平行 投影．（填写“平行”或“中心”）
【分析】根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
【解答】解：太阳光属于平行光线，晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行．
【变式3】如图是西周丞相周公旦设置的一种以测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．其表在圭上
形成的投影属于 平行 投影．（填“中心”或“平行”）【分析】太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
【解答】解：太阳光线下形成的投影是平行投影．
故答案为：平行．
题型02 判断影子的变化情况
【典例1】下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断．
【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【变式1】如图，若路灯的底部距人m米，则下列说法正确的是（ ）
A．若m变小，则人的影长变长
B．若m变小，则人的影长变短
C．若m变大，则人的影长变短
D．若m变大，则人的影长不变
【分析】根据相似三角形相似比，分式的性质解答．【解答】解：
如图，人高固定为a，当人站在点B时，
，
人影长：AB＝ ，
当人站在点B时，
，
人影长：CD＝ ，
∵AE＞CE，
∴ ，
AB＞CD．
∴m变小，人的影长变短．
故选：B．
【变式2】在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠
近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【分析】根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离
越小，影子越大．
【解答】解：当把球竖直向上靠近白炽灯时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越大，
故选：B．
【变式3】如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④②
【分析】根据不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向的改变规律：就北半球而言，从早晨到傍晚
物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
【解答】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③，
故其按时间的先后顺序为：④②①③．
故选：B．
题型03 利用投影进行简单的计算
【典例1】如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片 AB投影到与胶片平行的屏幕
上，形成影像 CD．已知 AB＝0.3（dm），点光源到胶片的距离 OE 长为 6（dm），CD 长为 4.3
（dm），则胶片与屏幕的距离EF为（ ）dm．
A．86 B．84 C．80 D．78
【分析】证明△OAB∽△OCD，推出 ＝ ，构建方程求出EF即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∵OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝80（dm），
故选：C．
【变式1】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影
长度（ ）A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【解答】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴ ， ，
则 ，
∴x＝ ；
，
∴y＝ ，
∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选：C．
【变式2】一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B C 长为24cm，则AC边
1 1
的中心投影A C 的长为（ ）
1 1A．24cm B．20cm C．15cm D．5cm
【分析】由题意易得△ABC∽△A B C ，根据相似比求解即可．
1 1 1
【解答】解：∵△ABC∽△A B C ，BC＝12cm，B C ＝24cm，
1 1 1 1 1
∴A C ：AC＝B C ：BC＝2：1，
1 1 1 1
∵AC＝10cm，
∴A C ＝20cm，
1 1
故选：B．
【变式3】如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树高AB＝2m，树影AC＝3m，树AB与路灯
O的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度PO长是 5 米．
【分析】利用中心投影的性质得到AB∥OP，则可判断△CAB∽△CPO，然后利用相似三角形的性质求
OP的长即可．
【解答】解：∵AB在路灯O的照射下形成投影AC，
∴AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴ ＝ ，
∵AB＝2m，AC＝3m，AP＝4.5m，
∴ ＝ ，
解得OP＝5，
即路灯的高度PO长是5米．
故答案为：5．
【变式4】为了测得一棵树的高度AB，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的
墙壁上（如图），测得墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米，则这棵树的高度AB
为 米 ．
【分析】经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，
影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有 ，
解得 ，
树高是 （米）．
故答案为： 米．
1．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日
晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时
刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影
B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影
D．不能确定
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光
源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．【解答】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影．
故选：B．
2．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．
【解答】解：因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长．
故选：C．
3．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（ ）
A．①→②→③→④ B．④→②→③→①
C．③→④→①→② D．①→③→②→④
【分析】不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体
的影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知按照时间的先后顺序正确的是③→④→①→②，
故选：C．
4．如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断
△ABC≌△DFE的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【分析】先根据题意得出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，进而得∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝
∠DTK＝90°，据此即可判定△AGH和△DKT全等，从而得出答案．
【解答】解：如图，
，
∵AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，
∴∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，
在△AGH和△DKT中，
，
∴△AGH≌△DKT（AAS），
故选：B．
5．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关，一个正方形纸板的正投影不可能是（ ）
A．一条线段
B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形
D．一个等腰梯形
【分析】根据投影的含义进行判断即可．
【解答】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与
光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到
一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形；
故选：D．
6．如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小莉的影子比小玉的影子长
B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子和小玉的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
【分析】因为光是直线传播的，光照到不发光、不透明的物体就会产生影子．物体影子的变化与太阳在
天空中的位置的关系有直接关系，影子与太阳的位置是相反的，与阳光照射的方向相同，物体影子长短
不但与物体高度有关，也与光线的照射角度有关．
【解答】解：路灯是点光源，高度较低，在同一路灯下，身高影响身体影长，人站的位置更会影响身体
影长．因此，小莉和小玉的影子长短，由于站立位置不同，无法确定谁的更长，故D正确，其他选项错
误．
故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点P（2，2）处，木杆AB∥x轴，点A的坐标为（0，1），木
杆AB在x轴上的投影长度为6，则点B的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，1） C．（4，1） D．（5，1）
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出AB的长．
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），AB∥x轴，
∴PD＝1，PE＝2，A'B'＝6，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ ，
即 ，
∴AB＝3，
∵点A的坐标为（0，1），
∴B（3，1），
故选：B．
8．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离
BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．5m B．4.5m C．4m D．3m【分析】先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP∥AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴ ＝ ，
即： ＝ ，
解得：OP＝5（m），
故选：A．
9．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个
矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝ x＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴PN＝ x，
∵PN+MN＝PM，
∴ x+ x＝1.6，
解得，x＝ ，
故选：B．10．如图，线段AB是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道AB进
行监控．已知AC＝30m，BC＝40m，AC⊥BC，监控的半径为30m，路段AD在监控范围内，路段BD为
监控盲区，则BD的长为（ ）
A．12m B．14m C．16m D．20m
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，运用等面积法求出CE，然后运用勾股定理求出AD和AB即可解答．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
∵AC＝30m，BC＝40m，AC⊥BC，
∴AB＝ ＝50（m），
∴ ，
∴ ，
∴CE＝24（m），
∴在Rt△ACE中，AE＝ ＝18（m），
∴AD＝2AE＝36（m），
∴BD＝AB﹣AD＝50﹣36＝14（m），
答：BD的长为14m．
故选：B．
11．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母
“L”、“K”、“C”的投影中，与字母“N”属同一种投影的有 L ， K ．【分析】根据由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影判
断即可．
【解答】解：根据平行投影和中心投影可知：
字母L，N，K是中心投影，
所以与字母“N”属同一种投影的是L，K，
故答案为：L，K．
12．如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置
B （填“A”或“B”）的影子长一些．
【分析】根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可．
【解答】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长，
由图可知：位置B离路灯比位置A离路灯远，
∴在位置B的影子长些；
故答案为：B．
13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法，如图，燃烧的
蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小
孔O到AB的距离为30cm，则△OA′B′的面积为 24 0 cm2．
【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出小孔O到A′B′的距
离，再根据三角形的面积公式得出答案即可．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
根据小孔成像的原理可得：△ABO∽△A′B′O，
∴ ，
∴x＝20．△OA′B′的面积为 （cm2），
故答案为：240．
14．如图，小明家的客厅有一张高0.6米的圆桌，直径BC为0.8米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌
的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系；其中点E的坐标为（4，0），则点D
的坐标是 （ ， 0 ） ．
【分析】根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标．
【解答】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，由题意得，BF＝0.6米，BC＝0.8米，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ＝ ，
即 ，
解得：DE＝ ，
∴OE＝4米，OD＝4﹣ ＝ ，
∴D（ ，0），
故答案为：（ ，0）．
15．如图是某电影院一个圆形VIP厅的示意图，AD是 O的直径，且AD＝10m，弦AB是该
厅的屏幕，在C处的视角∠ACB＝45°，则AB＝ 5⊙ m．【分析】如图，连接OB．证明∠AOB＝90°，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OB．
∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，OA＝OB＝5m，
∴AB＝ ＝ ＝5 （m）．
故答案为： ．
16．如图，正方形纸板ABCD在投影面 上的正投影为A B C D ，其中边AB，CD与投影面平行，AD，
1 1 1 1
BC与投影面不平行，若正方形ABCDα 的边长为4厘米，∠BCC
1
＝45°，求投影A
1
B
1
C
1
D
1
的面积．
【分析】过B点作BH⊥CC 于H，如图，利用∠BCC ＝45°求出BH的长，再利用平行投影的性质得到
1 1
B C 、C D 的长，然后根据矩形的面积公式计算即可．
1 1 1 1
【解答】解：过B点作BH⊥CC 于H．
1
∵∠BCC ＝45°，
1
∴BH＝sin45°•BC＝ ×4＝2 （厘米），
∵正方形纸板ABCD在投影面 上的正投影为A B C D ，
1 1 1 1
α
∴ 厘米，C D ＝CD＝4厘米，
1 1
∴四边形A B C D 的面积＝2 ×4＝8 （平方厘米）．
1 1 1 117．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情
况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点 E处时，
可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上
的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高 EF是
1.6m，请你帮李航求出楼高AB．
【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出
BN，进而求得AB的长．
【解答】解：过点D作DN⊥AB，垂足为N．交EF于M点，
∴四边形CDME、ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），
∴MF＝EF﹣ME＝1.6﹣1.2＝0.4（m），
∴依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，
∴ ＝ ，
即： ＝ ，
∴BN＝20（m），
∴AB＝BN+AN＝20+1.2＝21.2（m）
答：楼高为21.2m．18．如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得
影长DN＝0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB＝1.6m，（图中线段AB、CD、EF表示小明
的身高）
（1）请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
（2）求小明位于F处的影长．
【分析】（1）连接MA、NC并延长，交点即为点O，再连接OE并延长于底面的交点为G，FG即为所
求；
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，根据AB∥CD∥OH得 ＝ ，据此求得DH，再根据
＝ 可求得FG．
【解答】解：（1）如图：
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，
由AB∥CD∥OH得： ＝ ，
即 ＝ ，
解得x＝1.2．
设FG＝ym，
同理得 ＝ ，
即 ＝ ，
解得y＝0.4．
所以EF的影长为0.4m．
19．太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳
能电板，图②是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE、CD均为钢架且垂直于地面DE，AB为水平钢架且垂直于CD，测得AG＝CF＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m．若某一时刻的太阳光线垂直照射
GF．
（1）求钢架AE的长；
（2）求太阳能电板GF的影子EH的长（结果保留小数点后两位）．
【分析】（1）由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF，易证四边形ABDE是矩
形，由矩形的性质得出∠BAE＝90°，进而得出∠1+∠2＝90°．在Rt△AEG中，由∠AGE＝90°，进而得
∠1+∠3＝90°，∠2＝∠3．根据相似三角形的判定可证△AEG∽△CAB，由相似三角形的性质得出
，把数值代入即可得出结果；
（2）过点E作EM⊥FH于M，易证四边形EGFM是矩形，由矩形的性质得出∠GEM＝90°，即∠4+∠3
＝90°，再根据∠AED＝90°，得出∠4+∠5＝90°，进而得出∠3＝∠5，根据相似三角形的判定可证
△AEG∽△HEM，由相似三角形的性质得出 ．在Rt△AEG中，由勾股定理可得EG的长，进而
得出EH的值．
【解答】解：（1）如图，由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF，
∴∠AED＝∠BDE＝∠ABD＝90°，∠AGE＝∠GFH＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝90°，∴∠1+∠2＝90°．
又∵在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3．
又∵∠AGE＝∠ABC＝90°，
∴△AEG∽△CAB，
∴ ，
∵AG＝0.4m，BC＝0.6m，AC＝0.75m，
∴ ，
∴ （m）．
答：钢架AE的长为0.5m．
（2）如图，过点E作EM⊥FH于M，
∴∠EMF＝90°，
∴∠AGE＝∠GFH＝∠EMF＝90°，
∴四边形EGFM是矩形，
∴∠GEM＝90°，
∴∠3+∠4＝90°．
又∵∠AED＝90°，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠3＝∠5．
又∵∠AGE＝∠EMH＝90°，
∴△AEG∽△HEM，
∴ ．在Rt△AEG中，由勾股定理，得AE2＝AG2+EG2，
∴ （m），
∴EM＝GF＝AG+AC+GF
＝0.4+0.75+0.4
＝1.55（m），
∴ ，
∴ （m）．
答：太阳能电板GF的影子EH的长为2.58m．
20．日晷仪也称日晷，是观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我
国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日
晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与 O相
切于点D）．点A在 O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与 O交于点E，与CD的延长
⊙
线交于点 B，连接 AC、OC、CE，OC 与 O 交于点 F，测得此时∠ACB＝60°，BD＝CD＝3，
⊙ ⊙
OA⊥AC．
⊙
（1）求证：∠B＝∠ACO．
（2）求CE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质的OD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，根
据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACO；
（2）根据直角三角形的性质得到∠B＝30°，求得∠AOC＝60°，得到OA＝ AC＝ ，根据勾股定理
即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BC与 O相切于点D，
∴OD⊥BC，
⊙
∵BD＝CD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OD⊥BC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，
在Rt△AOC与Rt△DOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠B＝∠ACO；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
AC＝CD＝BD＝3，
∴ ，
∴∠B＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴OA＝ AC＝ ，
∴AE＝2OA＝2，
∴CE＝ ＝ ＝ ．
