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第 08 讲 公式法分解因式
课程标准 学习目标
1. 掌握能用平方差公式分解的多项式的特点以及平方差公式分
①用平方差公式分解因式 解因式的方法并能在题目中熟练应用。
②用完全平方公式分解因式 2. 掌握能用完全平方公式分解的多项式的式子特点以及用完全
平方公式分解因式的方法并能够熟练应用。
知识点01 用平方差公式分解因式
1. 平方差公式分解因式的内容：
两个数的平方差等于这两个数的 乘以这两个数的 。即：
。
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 ，符号 且都可以写成 的形式。
②因式分解结果：等于写成平方形式时的 的和乘以 的差。差时用正项底数减去
负项的底数。
【即学即练1】
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2【即学即练2】
2．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣25y2． （2）﹣4m2+25n2． （3）（a+b）2﹣4a2．
（4）a4﹣1． （5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2． （6）mx2﹣4my2．
【即学即练3】
3．若多项式mx2﹣4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．5 C．9 D．16
【即学即练4】
4．若a+b＝3，a﹣b＝ ，则a2﹣b2的值为（ ）
A．1 B． C． D．9
知识点02 用完全平方公式分解因式
1. 完全平方公式分解因式的内容：
两个数的平方的和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
即 。
2. 式子特点分析与因式分解结果：
①式子特点分析：式子是一个 ，其中两项符号 且都能写成 的形式，
第三项是平方两项 乘积的 。
②因式分解结果：等于 的平方或 的平方。若第三项与平方两项符号 ，
则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号 ，则等于底数差的平方。若平方两项是负号，
则在括号前添加负号。
【即学即练1】
5．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2xy+4y2 B．﹣9x2﹣y2
C．4x﹣y2 D．x2﹣8xy+16y2
【即学即练2】
6．把下列各式分解因式．
（1）n2﹣6mn+9m2 （2）a2﹣14ab+49b2（3）a2﹣4ab+4b2 （4）m2﹣10m+25．
【即学即练3】
7．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣y）2 B．（﹣x﹣y）2 C．﹣（x﹣y）2 D．﹣（x+y）2
【即学即练4】
8．已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12 B．±12 C．24 D．±24
题型01 判断式子能否用公式法分解
【典例1】下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．4x2+y2 B．﹣4x2﹣y2 C．﹣4x2+y2 D．﹣4x+y2
【变式1】下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．﹣x2+6x+9 B．﹣x2+6x﹣9 C．x2﹣6x﹣9 D．x2﹣2x+9
【变式2】下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】下列各式：①﹣x2﹣y2；② ；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤ ，可以用公
式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 用公式法分解因式
【典例1】把多项式16x2﹣24x+9分解因式得（ ）
A．（16x﹣3）2 B．（4x﹣3）2
C．（16x+3）（16x﹣3） D．（4x+3）（4x﹣3）
【变式1】分解因式a2﹣4，正确的是（ ）
A．（a+1）（a﹣4） B．（a﹣2）2
C．（a﹣2）（a+2） D．（2a﹣1）（2a+1）
【变式2】分解因式：（1）4a2﹣16 （2）﹣36x2+12xy﹣y2．
【变式3】分解因式：
（1）（x2﹣6x）2+18（x2﹣6x）+81； （2）（y2+3y）2﹣（2y+6）2．
【变式4】把下列各式分解因式
（1）（x﹣y）2+4xy （2）m3﹣9m
（3）x2（x﹣y）﹣（x﹣y） （4）4a2﹣3b（4a﹣3b）
题型03 根据用公式法分解的式子特点求值
【典例1】关于x的二次三项式x2﹣ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（ ）
A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12
【变式1】若x2+（k﹣2）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0
【变式2】若a的值使x2+6x+a＝（x+3）2成立，则a的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．3
【变式3】若81﹣xk＝（9+x2）（3+x）（3﹣x），那么k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4】已知x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2，则b2﹣a2的值是（ ）
A．﹣72 B．﹣45 C．45 D．72
题型04 因式分解的应用
【典例1】若a+b＝4，ab＝5，则a2b+ab2的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
【变式1】若x+y＝2，则代数式x2﹣y2+4y的值等于 ．
【变式2】若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ．【变式3】如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【变式4】若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B．2ab+a2+b2 C．﹣a2+25 D．﹣4﹣b2
2．已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A．4 B．8 C．﹣8 D．±8
3．因式分解：2a2﹣12a+18＝（ ）A．2（a2﹣6a+9） B．（a﹣3）2
C．2（a﹣3）（a+3） D．2（a﹣3）2
4．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．8
5．在多项式 上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单
项式不可以是（ ）
A．x B．﹣x C．x4 D．﹣x4
6．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定
7．某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如表所
示：
密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+2ab＝c2+2bc，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．已知x﹣y＝﹣4，则多项式 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如果一个数a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”
的是（ ）
A．56 B．82 C．94 D．126
11．因式分解：x4﹣81y4＝ ．
12．已知|x﹣2y﹣1|+x2+4xy+4y2＝0，则x+y＝ ．
13．已知xy＝ ，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝ ．
14．已知a3+2a2+a+2＝0，则a2024﹣2a2022+4a2021的值为 ．
15．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是
对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x+y）（x﹣y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：
x+y＝18，x﹣y＝0，x2+y2＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式9x3
﹣xy2，取x＝11，y＝6时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
16．因式分解：（1）2x2﹣12xy+18y2． （2）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2．
17．若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1，
如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6．
（1）计算：（﹣x）△（1﹣x）．
（2）将（1）计算所得的多项式分解因式；
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，
则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1．
19．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①42﹣22＝4×3；
②62﹣42＝4×5；
③82﹣62＝4×7；
④ ；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为2n，2n+2（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍吗？并说明理由．20．阅读材料，利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我
们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问
题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
＝（x+2）2﹣9＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
