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第二十四章 圆 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要
使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答．
【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，
∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心，
故选：A．
2．（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为 ，那么该弦所对的圆周角为
( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据圆周角定理解答即可．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理．
【详解】解：如图：
一弦所对的圆心角为 ，即 ，
∴
∴
该弦所对的圆周角为 或 ，
故选：C
3．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）下列命题①长度相等的两条弧是等弧②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点③相等的圆心角所对的弦相等④平分弦的直径垂直于弦⑤不共线的三点确定一个圆；
其中真命题的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理知识，掌握内切圆的圆心、圆周角定理、垂径定理等知识是解题的关键．据
此逐一分析即可作出判断．
【详解】解：①在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；
②三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，故原命题为真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题为假命题；
④平分弦的直径不一定垂直弦，例如：两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为假命题；
⑤不共线的三点确定一个圆，故原命题为真命题；
∴真命题的有 个．
故选：C．
4．（2024九年级上·贵州·专题练习）将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，
用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公
式计算．
【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为 ，
所以虚线①所对的圆弧长 ．
故选：A．
5．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图， 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点
D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵ 是 的直径， 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
6．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图， 为 的切线，A为切点， 交 于点C，点B在
上，连接 ， ．若 的度数为 ，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接 ，根据圆周角定理得出
，根据切线的性质得出 ，最后求出结果即可．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C正确．
故选：C．
7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线 交 于A，B两点， 是 的直径，点
C为 上一点，且 平分 ，过C作 ，垂足为D，且 ， 的直径为10，则
的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接 ，根据题
意可证得 ，再根据角平分线的性质，得 ，过 作 ，则
，得四边形 为矩形，设 ，在 中，由勾股定理得
，从而求得 的值，由垂径定理得出 的长．
【详解】连接 ，过 作 ，垂足为 ，，
，
平分 ，
，
，
∴ ，
，
，
四边形 为矩形，
， ．
，
设 ，则 ，
的直径为10，
，
，
在 中，由勾股定理得 ．
即 ，
解得 ， ．
大于 ，故 舍去，
，
， ，
，由垂径定理知， 为 的中点，
．
故选：C．8．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形 和正六边形 均以点O为中心，连接
（A，G，H三点共线），若 ，则正六边形 的边长为
（ ）
A． B．5 C． D．19
【答案】C
【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质， 直角三角形的性质，连接 ， ， ，
，根据正六边形的性质证明 ，得到 ， ，即可得到B，
I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且 ，然后在三角形 中
计算即可．
【详解】连接 ， ， ， ，过 作 于 ，
∵正六边形 和正六边形 均以点O为中心，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵A，G，H三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴B，I，H三点共线，
同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即正六边形 的边长为 ，
故选：C．
9．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 、
， 的半径为2（O为坐标原点），点P是直线 上的一动点，过点P作 的一条切线 ，Q
为切点，则切线长 的最小值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌
握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接 ，根据勾股定理知 ，当 时，线段 最短，即线段 最短．【详解】解：连接 ．
∵ 是O的切线，
∴ ，
根据勾股定理知 ，
∵当 时，线段 最短，
又∵ 、 ，
∴ ，
∴ ， 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 内接于 ， ，连接 并延长，交 于点
D， 于点E，交AD于点F，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次判断 ， ，
，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解:连接 ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
而 交AD于 ,
则 为 的重心 连接CF，
∵
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选A．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知 的半径为 ，点P到圆心O的距离为 ，则点P
与 的位置关系是 ．
【答案】点P在 上
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若点与圆心的距离 ，则点在圆内；若 ，则点在
圆上；若 ，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵ 的半径为 ，点P到圆心O的距离为 ，
∴ ，
∴点P与 的位置关系是：点P在 上，
故答案为：点P在 上．12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ，圆心
角θ为 ，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公
式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，
由题意得： ，
解得： （负值舍去），
则 ，
解得： ，
∴圆锥的底面圆的半径为： ，
故答案为： ．
13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点
，若 ，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接 ，构造直角三
角形，利用 ，从而得出 的度数．
【详解】解：连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
；
，，
故答案为：35
14．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径 ，将半圆O沿弦BC所在的直
线折叠，若 恰好过圆心O，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作
，由折叠可得 ，运用勾股定理可求 ，再由垂径定理即可求解．
【详解】解：过点O作 ，如图所示，
∵将半圆O沿弦 所在的直线折叠，若 恰好过圆心O，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∵ ， 经过圆心，
∴ ，
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为 ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据A、B的度数得到 ，再根据同圆中同
弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接 ，
∵点A，B的读数分别为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知 ， ， ，半径为2的 从
点 出发，沿 方向滚动到点 时停止，圆心 运动的路程是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意
画出图形，将运动路径分为三部分： ， ， ，分别计算出各部分的长再相加即可．
【详解】解：圆心O运动路径如图：∵ ；弧 的长度为 ； ，
∴圆心O运动的路程是 ．
故答案为： ．
17．（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正
六边形，六边形的边长为 ，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支
彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积
差为 （结果保留根号）
【答案】 二
【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面积，
即可得出答案．
【详解】如图1中，圆的半径为3cm，
底面积为 ．
如图2中，连接 ， ．， ， ，
，
，
等边三角形的边长 ，
底面积 ，
等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为 ，
两种方案底面积差为 ，
故答案为：方案二， ．
18．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知点 ， 的半径为1， 切 于点A，点P为
上的动点，当P的坐标为 时， 是等腰三角形．
【答案】 ， ，
【分析】根据题意画出图形，分三种情况讨论：当点P在x轴上， ， ，当点P是
切点时， ，进而可以解决问题．【详解】解：如图，当P的坐标为 ， ， 时， 是等腰三角形．理由如下：
连接 ，
∵ ， 的半径为1，
∴ ，
∴ ，
∵ 切 于点A，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，连接 交x轴于点H，
∵ 切 于点A，
∴ 切 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述：当P的坐标为 ， ， 时， 是等腰三角形．
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标
与图形的性质，解决本题的关键是得到 是等边三角形．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，AB是 的直径，点C，D在 上，若 ，求
证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定．
由 得到 ，由圆周角定理得到 ，从而 ，根据
平行线的判定即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图， 为 的直径，弦 于点E，若 ，
求弦 的长．
【答案】24
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接 ，根据垂径定理得到 ，根据 求
出 的长，根据 求出 的长，利用勾股定理求出 ，即可得到 的长．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 为 的直径，， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
21．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在 中，弦 相交于点M，且 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 是 的直径， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）先得出 ，再进行弧运算，得出 ，结合圆周角定理，即可作答．
（2）根据圆周角定理得出 ，因为 ，所以得出 ， ，再得出
，运用勾股定理列式得出 ，运用等腰三角形的三线合一得出 ，再结合勾
股定理内容，即可作答．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ；
∴
（2）解：如图， 是 的直径，
∵ ，∴ ， ，
设 ，则 ．
．
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
，
．
∴在 中由勾股定理得 ．
22．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)分别写出图中点A和点C的坐标；
(2)画出 绕点 按顺时针方向旋转 后的 ；
(3)求点A旋转到点 所经过的路线长（结果保留π）．
【答案】(1) 、
(2)见解析(3)
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的读取、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概
念是解题关键．
（1）根据平面直角坐标系写出点A、C的坐标即可；
（2）根据网格结构先找出点A、B、C绕点C顺时针旋转 的对应点的位置，然后再找出旋转后的三角
形绕点B逆时针旋转 的对应点 的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据勾股定理求出 的长度，然后根据弧长公式列式求出点A所经过的路线长．
【详解】（1） 、 ；
（2）如图， 即为所求，
（3） ，
．
23．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图， 的直径AB垂直于弦CD，垂足为E， ， ．
(1)求 的半径长；(2)连接 ，作 于点F，求 的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接 ，如图，设 的半径长为r，先根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理得到
，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出 ，再根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理可计算
出 的长．
【详解】（1）解：连接 ，如图，设 的半径长为r，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径长为5；
（2）解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，即 的长为 ．
24．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图， 中， ，点O是 边上一点，以点O为
圆心、 为半径的圆经过点A，与 交于点D．
(1)试说明 与 相切；
(2)若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据题意可得出 ，从而可判断出直线 与 的位置关系；
（2）根据图中阴影部分的面积等于 的面积-扇形 的面积”即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵点A在 上，
∴ 与 相切；
（2）解：∵ 的半径为2，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
25．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】
如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好
圆”，矩形是圆的“友好矩形”．
【理解】
（1）如图①，四边形 是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知 ，则它有
___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）；
【思考】
（2）如图③，矩形 中， ， ， 是矩形 中经过点C、B的“友好圆”，求
的半径．
【探究】
（3）如图④，已知矩形 ，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，
不写步骤）
【答案】（1）4；无数个；（2） （3）见解析
【分析】（1）根据定义判断即可；经过圆上的任意一点，作圆的切线，经过圆上另外一点，作切线的平
行线，与圆有一个交点，过这两个点作切线的垂线，构造的矩形符合题意，这样的点有无数个，故新定义矩形有无数个；
（2）设 与 切点为E，连接 并延长交 于F，连接 ，设 ，则 ，
，由勾股定理，得 解答即可．
（3）根据新定义，结合圆的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可．
【详解】解：（1）四边形 是矩形，根据定义，判定有4个“友好圆”；
已知 ，如图，根据圆上有无数个点，故它有无数个“友好矩形”，
故答案为：4，无数．
（2）解：如图， ， ，矩形 ，
则 ， ， ，
设 与 切点为E，连接 并延长交 于F，
∴ ，
∴四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
连接 ，设 ，
则 ， ，
根据勾股定理，得 ，
故 ，
解得
（3）解：作线段 的垂直平分线 ，交 于点F，交 于点E，
连接 ，作线段 的垂直平分线 ，交 于点Q，
以点Q为圆心，以 为半径作 ，
则 即为所求．
证明：作线段 的垂直平分线 ，交 于点F，交 于点E，
连接 ，作线段 的垂直平分线 ，交 于点Q，
则 ， ， ，
故 ， ，
故点B，C都在 上，且 是 的切线，
故 是过点B、C的“友好圆”．【点睛】本题考查了新定义，切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，线段的垂直
平分线，基本作图，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键．
26．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得]
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，
可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在 中， ， ，D是 外一点，且 ，求 的度数．
若以点A为圆心， 长为半径作辅助圆 ，则C、D两点必在 上， 是 的圆心角，
是 的圆周角．则 ______．
[初步运用]
（2）如图2，在四边形 中， ， ，则 ______°；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段 和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得 （不写作法保
留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形 ， ， ，M为边 上的点，若满足 的点M恰
好有两个，则m的取值范围为______．
②如图4②，在 中， ， 是 边上的高，且 ， ．求 的长．
【答案】（1） ；（2）25；（3）见解析；（4）① ；②【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；
（2）取 的中点 ，连接 、 ．由直角三角形的性质证明点 、 、 、 共圆，由圆的性质得
出 ，则可得出答案；
（3）作出等边三角形 ，再以O为圆心， 为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线 的交点即为点
P；
（4）①在 上截取 ，连接 ，以 为直径 ，由图形可知 ，由勾股定理
求出 和 的长，则可得出答案；
②作 的外接圆，过圆心 作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、 ．由圆周角
定理及勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1） 是 的圆心角， 是 的圆周角， ，
；
故答案为： ；
（2）如图2，取 的中点 ，连接 、 ．
，
， ，
，
点 、 、 、 共圆，
，
，
．
故答案为：25；
（3）作图如下：由图知， ；同理 ．
（4）① ．理由如下：
在 上截取 ，连接 ，以 为直径作 ， 交 于 ，交 于 ，连接 ，过圆
心 作 于 且交圆 于 ，过 作 的切线 交 于 交 于 ，如图所示：
，
，
的半径为 ，即 ，
∵ ，
，
，
，
，
，即 ，
故答案为： ；
②如图，作 的外接圆，过圆心 作 于点 ，作 于点 ，连接 、 、 ，则
四边形 是矩形，
∴ ．，
．
在 中， ，
．
， 为圆心，
，
．
在 中， ， ，
．
在 中， ， ，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三
角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
