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第二十讲 一题多解
第一部分：趣味数学
三兄弟的争吵
克、千克和吨是三兄弟，他们都很自以为是，总认为自己本领最大，所以就整天相互攀
比, 抓住一切机会显示自己的能耐，常常争得面红耳赤。
一天，白鸽小姐请他们来家里做客，想让他们复称一下刚从金店买来的金戒指。千克见
表现自己的机会到了，就说：“我来!我来!” 可称来称去好像没有质量似的，它奇怪地问:
“怎么会没有质量呢?”这时，克走了过来，说:“让我来试试吧。”果然，克称出金戒指的
质量为5克。千克和吨非常不服气，但都没有吱声，心里却恨得咬牙切齿。
第二天，兔子妹妹邀请他们到家里做客，兔子妹妹想称一下自己的体重，便请他们帮忙。
克又自信地要为她称，兔子妹妹一看克被压得气都喘不过来。吨很无礼地挤开了千克，说：
“让我来！”可称来称去，显示不出数字，兔子妹妹好象没有体重一样。“这绝对绝对不可
能，看我的！”千克一试，果然称出来了结果：2千克重。兔子妹妹笑咪咪地说：“谢谢你，
千克！”吨涨红了脸，灰溜溜地走了，而千克却沾沾自喜。
过了几天，猴王举行宴会，又邀请他们去赴宴。因为小动物们太多了，所以买的水果也
很多。猴王说：“感谢大家的光临，我今天买了一车水果，请大家尽情享用。”
千克觉得自己大显身手的机会又来了，便得意洋洋地说：“猴大哥，让我来称一称这一
车水果有多重吧。”谁知千克刚上秤便大叫起来：“啊……”猴王跑过去一看，只见千克被
压得连气都喘不上来了。这时，吨笑呵呵地说：“还是让我来吧。”吨轻轻松松地就称出了
水果的质量，一共7吨。
猴王看到千克垂头丧气的样子，亲切地对他们说：“你们都是质量单位，克适合称较轻
的东西，千克适合表示较重物品的质量，而吨则适合用来计量很重的物品或是大宗物品的质
量，各有各的长处。只有相互协助，才能解决好问题。”三兄弟听了，默默地点了点头。
从此以后，三兄弟和睦相处，相互协作，成了形影不离的好朋友。
第二部分：奥数小练
知识要点：一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行
一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。
在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不
同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的
简便方法和最佳途径。
【例题1】 有一个正方形池塘，四周种树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间
距离都相等。四周一共种了多少棵树？
【思路导航】
方法一：根据条件可知，每边种8棵，4边就是8×4=32棵，但每边起点一棵算了两次，
一共多算了4棵，所以四周一共种了32－4=28棵树。
方法二：我们可以先数正方形的一组对边，包括两个顶点的，每边种8棵；再数另一组
对边的，不数两个顶点的，每边种8－2=6棵。所以，一共有：8×2＋6×2=28棵。
方法三：把正方形四边拉直，每边种8棵，就是把每边分成了7等份，4边共分成了28
等份，每一等份对应一棵树，所以共有28棵树。
练习一：
1.在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每
边有12根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？
2.有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种 10棵，每两棵之间距离相
等，四周一共种了多少棵？
3.少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站 1人，已知每边站6人，一共站了
多少人？
【例题2】 一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克。瓶
里原有多少克油？空瓶重多少克？
【思路导航】
方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油 800克变为550克，是因为吃掉了一半油，
半瓶油的重量是 800－550=250 克，一瓶油的重量是 250×2=500 克，油瓶的重量是 800－
500=300克。
方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重 550克，从 550克中减去半瓶油的重量 800－550=250克，550－250=300克即为瓶的重量，油的重量为：800－300=500克。
方法三：根据“并瓶油连瓶共重550克”可求出一瓶油和两个瓶共重550×2=1100克，
所以瓶重：1100－800=300克，油重800－300=500克。
练习二：
1.一袋大米，连袋共重50千克。吃掉一半后，连袋剩下27千克。大米重多少千克？袋
重多少千克？
2.一筐苹果连筐共重85千克，倒去一半后，连筐共重45千克。苹果和筐各重多少千克？
3.一筐橘子，连筐共重45千克。先拿一半送给幼儿园，再拿出剩下的一半给敬老院的
老人，余下的橘子连筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？
【例题3】 甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学
生人数相等？
【思路导航】
方法一：根据已知条件，我们可求出转来了 25位同学后的总人数为：42＋35＋25=102
人，再求出平均每班为102÷2=51人，再根据甲班乙班原有的人数分别求出甲班分了：51－
42=9人，乙班分了：51－35=16人。
方法二：根据已知条件，我们可先求出乙班比甲班少42－35=7人，那么25位新同学中
我们可先分7人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就剩下 25－7=18人。剩下的18人，我
们再平均分给两班，每班各分18÷2=9人。
所以，甲班共分了9人，乙班共分了9＋7=16人。
练习三：
1.小明有18枝铅笔，小红有15枝铅笔，妈妈又买来13枝铅笔，怎样分，才能使两人铅
笔一样多？
2.甲仓库有粮食420吨，乙仓库有粮食370吨，又运来粮食180吨，怎样分，才能使两
仓库粮食一样多？
3.有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果25千克，乙筐有苹果18千克，又买来13千克苹果，
怎样分才能使两筐苹果一样多？
【例题4】 从小青家经小红和小强家到学校有450米，从小青家到小强家有390米，从
学校到小红家有320米。从小红家到小强家有多少米？【思路导航】根据题意，画出线段图。
方法一：从小青家到学校有 450米，到小强家有 390米，说明小强家到学校有 450－
390=60米，又因为小红家到学校有320米，所以小红家到小强家有320－60=260米。
方法二：根据上面线段图和已知条件可知：
A
从 小 青家到学校有 450 米，从
学校到小红家有 320米，说明小青家到小红家
12分钟 12分钟
有 450－320=130 米。 又因为小青家到小强家有 390米，
所以小红家到小强家有390－320=260米。
方 法 三：根据上面线段图和已知条件
小青家 小红家 小强家 学校
可知：
从小青家到小强家有390米，从学校到小红家有 320米。我们可求出小青家到学校与小
红家到小强家的距离为390＋320=710米，从中减去小青家到学校的距离450米，就是小红家
到小强家的距离：710－450=260米。
练习四：
1.亮亮经过小明、小丹家到电影院共 500米，从亮亮家到小丹家是 270米，从小明家到
电影院是410米。从小明家到小丹家多少米？
2.小敏外出旅游乘车回家，从汽车站经医院、商店到家共 1000米，从汽车站到商店是
620米，从医院到家是690米。那么医院到商店多少米？
3。有两块木板，一块长70厘米，另一块长80厘米。如果把两块木板重叠后钉成一块
木板，全长130厘米。重叠部分长多少厘米？
【例题5】 小青以均匀的速度在公路上散步，从第 1根电线杆走到第10根电线杆共用
了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？
【思路导航】
方法一：根据题意，画出线段图。从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时间关系上加以
考虑，24分钟正好是12分钟的2倍，就相当于小青先走12分钟，又继续走12分钟。注意第
10根（图中A处）既是前12分钟的终点，又是后12分钟的起点，显然被重复算了一次。因
此，小红如果走24分钟，应走到10×2－1=19根电线杆处。
方法二：根据题意，画出线段图。
由图可知，12分钟走到第10根电线杆，共走了10－1=9个间隔，24分钟正好是12分钟
的2倍，那么24分钟就走了9×2=18个间隔。
要求应走到第几根电线杆，我们要加上起点 B点那根电线杆，因而应走到第 18＋1=19
根电线杆。
练习五：
B
1.玲 玲上楼，从一楼到三楼用 6
分 钟 ， 如 果她走12分钟，应走到几楼？
12分钟 12分钟
2. 路 的 一 旁 插着彩旗，如果从第一面旗走到第4
面旗要用12分钟，那么走24分钟能从第一面走到第几面？
3.小芳和妈妈用均匀的速度在马路上散步，他们从第1根电线杆走到第12根电线杆，
整整用了8分钟。仍用这样的速度，再走8分钟，他们会走到第几根电线杆？
小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应的数量关
系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的对应
关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的思维方法叫对应法。
在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺
序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。
第三部分：数学史话鬼谷算
我国汉代有位大将，名叫韩信。他每次集合部队，只要求部下先后按 l～3、1～5、1～7
报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人
们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。
到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：三人同行七十稀，五树梅花
廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，
加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的
倍数，这样就知道所求的数了。
比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余 1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有
鸡蛋一定是52个。算式是：1×70＋2×21＋3×15＝157157－105＝52（个）请你根据这一算
法计算下面的题目。
新华小学订了若干张《中国少年报》，如果三张三张地数，余数为 1张；五张五张地数，余
数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小学订了多少张《中国少年报》呢？
参考答案：
练习一：
1.（12-1）×4=44根
2.（10-1）×3=33棵
3.（6-1）×4=55人
练 习 二：
1.大米重：（ 50-27）×2=46千克
袋重：50-46=4千克
2.苹果重：（ 85-45）×2=80千克
筐重：85-80=5千克
3.橘子重：（ 45-15）÷（2+1）×4=40千克筐重：45-40=5千克
练 习 三：
1.方法一：18-15=3枝 给小明：（13-3）÷2=5枝 给小红： 5+3=8枝
方法二：（18+15+13）÷2=23枝 23-18=5枝 23-15=8枝
2.420-370=70吨 给甲仓库：（180-70）÷2=55吨 给乙仓库：55+70=125吨
3.25-18=7千克 给甲筐：（13-7）÷2=3千克 给乙筐： 3+7=10千克
练 习 四：
1.方法一500-270=230米 410-230=180米
方法二：270+410-500=180米
2.方法一：1000-620=380米 690-380=310米
方法二：620+690-1000=310米
3.方法一：70+80-130=20厘米
方法二：130-70=60厘米 80-60=20厘米
练 习 五：
1.6÷（3-1）=3（分钟） 12÷3+1=5（楼 ）
2.12÷（4-1）=4（分钟 ） 24÷4+1=7（面 ）
3.（ 12-1）×2+1=23（根）
