文档内容
1.1-1.3 幂的运算
同底数幂的乘法
知识点一
am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算；
②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则： am+n =am×an
幂的乘方
知识点二
(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
积的乘方
知识点三
(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，
再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
同底数幂的除法
知识点四
am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。题型一 幂的基本运算
【例题1】下列计算正确的是（ ）
A．x8÷x4＝x2 B．x3•x4＝x12
C．（x3）2＝x6 D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6
解题技巧提炼
根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；
利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
【变式1-1】下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）3＝﹣6a3
1
C．a6÷a2＝a3 D．a﹣1= （a≠0）
a
【变式1-2】下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a5÷a3＝a2【变式1-3】下面计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（π−√3）0＝1
C．（﹣2a2）3＝﹣6a6 D．x3÷x•x﹣1＝x3
题型二 幂的运算法则逆用（比较大小）
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【例题2】若a＝（− ）﹣2，b＝（− ）0，c＝0.75﹣1，则（ ）
4 2
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
解题技巧提炼
化简成底数或同指数后进行比较.
【变式2-1】若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【变式2-2】已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【变式2-3】（1）填空： 2=64；（2）比较 与 的大小．
【变式2-4】233、418、810的大小关系是（用＞号连接）_____．
【变式2-5】比较 和 的大小．
题型三 幂的运算法则逆用（求代数式的值）
【例题3】已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为 ．解题技巧提炼
根据幂的运算的基础公式推导出结果，主要培养孩子的逆向思维.
【变式3-1】已知am＝2，an＝3，则（a3m﹣n）2＝ ．
【变式3-2】已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．
【变式3-3】若 ，用含x 的代数式表示y，则y＝__________．
【变式3-4】（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；
（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．
【变式3-5】（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【变式3-6】已知： ， ， ．
（1）求 的值．（2）求 的值．（3）直接写出字母 、 、 之间的数量关系．
题型四 幂的运算法则逆用（整体带入）
【例题4】若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于 ．解题技巧提炼
把题中的已知当作一个整体，将问题换成同底数幂的运算，进行计算.
【变式4-1】若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝ ．
【变式4-2】若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．
【变式4-3】先化简，再求值
（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
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（3）若x、y满足x2+ y2= ，xy=− ，求下列各式的值．
4 2
①（x+y）2；
②x4+y4．
题型五 幂的运算法则（混合运算）
【例题5】计算．
（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．
1
（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（− ）﹣3．
2解题技巧提炼
根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；
利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系.
【变式5-1】以下运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】下列选项中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】计算：
（1）﹣22+20210+|﹣3|；
（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．
【变式5-4】计算：
1
（1）( ) −1−(5−π) 0−|−3|+2；
2
（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．
【变式5-5】计算：
（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；
1 1
（2）﹣（3×2﹣2）0+（− ）﹣3﹣4﹣2×（− ）﹣3．
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【变式5-6】计算：（1） ；（2） ．题型六 幂的运算法则逆用（新定义问题）
【例题6】规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果am＝b，那么a※b＝m．
例如：因为52＝25，所以5※25＝2；因为50＝1，所以5※1＝0．
1
（1）根据上述规定填空：2※16＝ ；3※ = ．
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（2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10＝8※90成立．
解题技巧提炼
利用题中已经给的运算规则进行计算.
【变式6-1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0 ，m、n为正整数），类似地我们规
定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）
=3×3=9，若h（2）=k（k≠0 ），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k
【变式6-2】如果 ，则 ，例如： ，则， ．（1）根据上述规定，若 =
x，则x=_______；（2）记 ，求 之间的数量关系．
【变式6-3】先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若 且 ， ，则 叫做以 为底 的对数，记为 （即 ．
，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ．（1）计算以下各对数的值：
， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式， 、 、 之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论：
且 ， ， ．
【变式6-4】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因
为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
1
②若(x， )=−4，则x＝ ．
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（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
【变式6-5】规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为
23＝8，所以（2，8）＝3．
1
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ；（5，1）＝ ；（2， ）＝ ；
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（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数 n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下
的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）
＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．
（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．
