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思维创新 / 四年级 / 春季
第 1 讲 平均数问题
例题练习题答案
例1 【答案】18元
【解析】平 均 价 格 要 用 总 价 钱 除 以 总 重 量 =
(10×200 +30×100 +20×200÷) (200 +100 +200) = 18
(元)．
练1 【答案】17元
【解析】平 均 价 格 要 用 总 价 钱 除 以 总 重 量 ：
(3×16+1×14+2×20)÷(3+1+2) = 17
(元)．
例2 【答案】235.4
235 ×10+0+4−2+3−1+1−3+1+2−1 = 235 ×10+
【解析】基准数法：总和=
(235 ×10+4)÷10 = 235.4
所以平均数为： ．
练2 【答案】105
105 ×8−2+4+0−4+5−3+1−1 = 105 ×8
【解析】基准数法：总和=
105 ×8÷8 = 105
所以平均数为： ．
例3 【答案】40千克
【解析】个数不变的时候，总量的变化是“平均数的变化×个数”．个数是20：
37−35 = 2
平均数的变化 (千克)
2×20 = 40
总量的变化 (千克)
80−40 = 40
所以这个同学原来的体重应该是 (千克)．
练3 【答案】1.6米
【解析】个数不变的时候，总量的变化是“平均数的变化×个数”，个数是20：
1.66−1.65 = 0.01
平均数的变化 (米)，
0.01×20 = 0.2
总量的变化 (米)，
1.8−0.2 = 1.6
所以这个同学的身高是 (米)．
例4 【答案】66千克
【解析】个数发生变化的时候，我们有两种方法：
第一个方法是直接使用平均数的公式
8×48 = 384
8名学生总体重 （千克）9×50 = 450
8名学生和1名老师总体重 （千克）
450 −384 = 66
增加的体重即老师的体重 （千克）
第二个方法仍然是根据平均数的变化，平均数从48变成了50，是因为走进来的老师把自己
8×(50−48) = 16
的一部分体重平均分给了8个学生，一共要分 （千克），平均后老师
50+16 = 66
的体重变成了50千克，所以老师原来的体重是 （千克）．
练4 【答案】136厘米
【解析】个数发生变化的时候，我们有两种方法：第一个方法是直接使用平均数的公式，6名学
6×150 = 900
生，平均身高是150厘米，所以总身高是 (厘米)；7个人平均身高是148厘
7×148 = 1036
米，所以总身高是 (厘米)，那么增加的身高就是进来的女生的身高即
1036−900 = 136
(厘米)；
第二个方法仍然是根据平均数的变化，平均数从150变成了148，这是因为其他6个人把自
己的身高给了这个女生，其他6个人的平均身高下降2厘米，所以共分给这个女生
2×6 = 12 148 −12 = 136
(厘米)，所以进来女生的身高是 (厘米)．
挑战极 【答案】282分
限1 【解析】方法一：
48×(289 −285) = 192 192 ÷64 = 3 285 −3 = 282
如图所示， (分)； (分)； (分)
方法二：
将以上方法进行简化，可以得到“跷跷板原理”：
类比跷跷板，两个红框内，上下两个数相乘的积是一致的，所以甲班平均数和总平均数的
48×4÷64 = 3
差是 （分），乙班比总的平均分高，则甲班比总的平均分低，甲班平均
285 −3 = 282
分就是 （分）
挑战极 【答案】55厘米
限2 【解析】方法一：从下图可以看出，在移多补少的过程中，把精灵高出矮人的部分全部平分给所有精灵，多
25×20 = 500 25+75 = 100
出的部分是 (厘米)，一共有 (个)人，所以每个人平均分分到
500 ÷100 = 5
(厘米)，所以矮人的平均身高是55厘米．
方法二：利用“跷跷板”原理：精灵25人、矮人75人，可以将25人看做1份，则75人就是
3份，可以设精灵平均身高和总平均身高的差为a，矮人平均身高和总平均身高的差为b．
那么，a和1的乘积就与b和3的乘积相同，即a是b的3倍，可以记a为3份，b为1分，由于
精灵和矮人的平均身高之差是20，总的平均身高肯定介于精灵平均身高和矮人平均身高之
间的，那么 a+b = 20 ，根据份数关系：a是15厘米，b是5厘米，精灵比总平均身高高，
60−5 = 55
矮人比总平均身高矮，所以矮人的总平均身高是 （厘米）．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 1 讲 平均数问题
自我巩固答案
1 【答案】90.5
【解析】利用基准数法，得出答案是90.5．
2 【答案】30
(30+20+40)÷3 = 30
【解析】 (千克)．
3 【答案】2400
(1200×10+3000×20)÷30 = 2400
【解析】混合果汁每吨的价格是 (元)．
4 【答案】46.25(100 ×80+50×10+50×15)÷(100 +50+50) = 46.25
【解析】 (元)．
5 【答案】10
8×(60−50) = 80
【解析】8个数的平均数从50到60，说明被改动的数增加 ，改动后是90，说明
原来是10．
6 【答案】90
【解析】原来8个数总和为400，改动后8个数总和为480，增加了80，说明这个数改动之后为
10+80 = 90
．
7 【答案】130
60×8 = 480 50×7 = 350
【解析】原来8个数的总和是 ，后来7个数的总和是 ，所以去掉的数是
480 −350 = 130
．
8 【答案】146
(141 −137)×500 = 2000
【解析】从图中可以看出，在移多补少的过程中，女生需要给男生 (厘
米)．因此图中粗线部分的总和就是2000厘米，而粗线共有400段，所以每段等于
2000÷400 = 5 141 +5 = 146
(厘米)，也就是说女生平均身高为 (厘米)．
9 【答案】162
99×8−90×7 = 162
【解析】方法一：可利用求总量来解题： (厘米)．
方法二：可通过“移多补少”来做，七个小矮人平均身高增多的部分来自于白雪公主，
7×(99−90) = 63
(厘米)，白雪公主的身高为移出的部分加上平均后的身高，
63+99 = 162
(厘米)．
10 【答案】22
【解析】12只狮子把超过25斤的那部分总量平均分给了这群老虎，这部分总量为
12×(30−25) = 60 60÷20 = 3
(斤)，平均每只老虎增加的是 (斤)，所以平均每只老虎
25−3 = 22
每天吃 (斤)．
思维创新 / 四年级 / 春季第 1 讲 平均数问题
课堂落实答案
1 【答案】90.4
2 【答案】30
3 【答案】110
4 【答案】160
5 【答案】20
思维创新 / 四年级 / 春季
第 2 讲 重重疑阵
例题练习题答案
例1 【答案】如图所示：
10−5 = 5
【解析】9是突破口，和9相连的上方两个数只能是10和1．10如果填左边，只能是 ，数
重复了，所以10填右边，接下来6和4都能很快填好．剩下的8、2、7和3在右边的4个圈中
由上往下．
练1 【答案】2
【解析】b填7： 7 = 8−1 ，而8最大，所以只能在边上，a填1．然后注意尝试即可得d填2．
例2 【答案】如图所示：
4× = +3× 4×15 = 45+3× = 5
【解析】 公共和 所有数和 中间数， 中间数，中间数 ，那么
同一条直线上的另外两个数的和就是10，即1和9，2和8，3和7，4和6．
练2 【答案】如图所示：3× = 1+2+⋯+8+2× 3×14 = 36+2×
【解析】 公共和 中间数 ， 中间数 ，
= 3
中间数 ，那么同一条直线上的其他数的和就是11，即1、2和8；4和7；5和6．
例3 【答案】有三种可能：
3× = 1+2+⋯+7+ ×2
【解析】 公共和 中
3× = 28+ ×2
公共和 中 ，有三种情况：
（1）中=1，公共和=10；（2）中=4，公共和=12；（3）中=7，公共和=14．
练3 【答案】其中三种情况：
3× = 1+2+⋯+9+ ×2 = 45+ ×2
【解析】 公共和 尖 尖 ，有三种情况：
（1）尖=3，公共和=17；（2）尖=6，公共和=19；（3）尖=9，公共和=21．
例4 【答案】如图所示：
5× = (1+2+⋯+7)×2+ 5× = 56+
【解析】 公共和 中， 公共和 中，所以中间数只能为
1+7 2+6
4，公共和=12．直线上除最里面的4，剩下两个数之和为8，分别是 、 和
3+5
，然后尝试调整使得圆周的和也都等于12．练4 【答案】18
6× = (1+2+⋯+9)×2+ ×2
【解析】 公共和 中
6× = 90+ ×2
公共和 中 ，所以中间数可以为3、6、9．
（1）如果中=3，则公共和=16，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为13，题
目数据无法满足，排除；
（2）如果中=6，则公共和=17，此时直线上除最里面的6，剩下的两个数之和为11，题
目数据无法满足，排除；
（3）如果中=9，则公共和=18，此时直线上除最里面的9，剩下的两个数之和为9，则分
1+8 2+7 3+6 4+5
别为 、 、 和 ．
然后尝试调整使得圆周的和也都等于18即可．
挑战极 【答案】填法不唯一，中间两数和是7，公共和是24
限1
2+3+4+⋯+11 = 65
【解析】10个数是2、3、…、10、11， ．这个相等的和是2×2正方形
中4个数之和， 3× 和 = A+B+65 ，则A和B的和可以是4、7、… 要使得和最小，这个
和只能是7，所以A、B可以填2、5；3、4．而这个相等的和是24．经过尝试后其他格均
可以填出，答案是其中两种填法．
A+B+2×C = 27
挑战极 【答案】填法不唯一， ，最大公共和是21
限2
【解析】重数有三种，A、B格的重数是2，C格的重数是3，其他格都是1；所以A、B、C是特殊
3× = (A+B+2×C)+ A+B+2×C
格． 公共和 所有和．所有和是36，所以 可
A+B+2×C
能是9、12、15、……要使公共和最大， 只能是27，此时公共和是21．
A、B、C可以是4、7、8．填法不唯一．思维创新 / 四年级 / 春季
第 2 讲 重重疑阵
自我巩固答案
1 【答案】2
9−2 a = 2 c d
【解析】7只能是 ，而9最大，所以 ．剩下3、4、5、6、8， 和 只能是3和4，剩下的
根据题中条件依次填出．
2 【答案】7
【解析】将三条直线、两个圆上的数都加起来，圆上的每个数都算了2次，而中间的数算了3次．即
这7个数的和的2倍加上中间的数等于公共和的5倍．计算可得，公共和为21，中间数是
7．
3 【答案】7
【解析】将三条直线上的数相加，中间的数加了3次，其他数分别加了1次；1至10的和为55，55加
上中间数的两倍等于直线和的3倍，所以中间数可以是1或4或7或10．直线和为23，所以
中间数为7；如图给出了填法．
4 【答案】5【解析】把每条直线上的数都加起来，每个上下的六个数都分别算了两次，中间数算了3次．所以
70加上中间数就等于直线和的5倍，所以中间数是5，直线和是15．
5 【答案】12
【解析】特殊格只有一个，即正中心的圆圈，这个正中心的数我们称为中间数．
3×公共和=所有和＋2×中间数，已知公共和为32，可求出中间数为12．
6 【答案】12
【解析】三条横线上的数字相加，即把每个数字都加了1次，所以每条直线上的数字之和等于
(0+1+⋯+8)÷3 = 12
．
7 【答案】20
⋯ 1+2+3+⋯+10 = 55 2×2
【解析】10个数是1，2，3， ，10， ．这个相等的和是 正方
形中4个数之和， 3 和 = A+B+55 ，则A 和B 的和可以是2、5、8 ⋯ ，要使得和最
小，则A 和B 分别填1、4或2、3．而这个相等的和是20．
8 【答案】24
⋯ 1+2+3+⋯+10 = 55 2×2
【解析】10个数是1，2，3， ，10， ．这个相等的和是 正方
形中4个数之和， 3 和 = A+B+55 ，则A 和B 的和可以是2、5、8 ⋯ ，要使得和最
大，则A 和B 分别填7、10或8、9．而这个相等的和是24．
9 【答案】25
⋯ 1+2+3+⋯+13 = 91 2×2
【解析】13个数是1，2，3， ，13， ．这个相等的和是 正方
形中4个数之和， 4 和 = A+B+C +91 ，则A、B、C 的和可以是1、5、9 ⋯ 要使得和
最小，则A、B、C 分别填1、2、6；1、3、5或者2、3、4．而这个相等的和是25．10 【答案】31
⋯ 1+2+3+…+13 = 91 2×2
【解析】13个数是1，2，3， ，13， ．这个相等的和是 正方
形中4个数之和， 4 和 = A+B+C +91 ，则A、B、C 的和可以是1、5、9 ⋯ 要使得和
最大，则A、B、C 分别填8、12、13；9、11、13；10、11、12．而这个相等的和是
31．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 2 讲 重重疑阵
课堂落实答案
1 【答案】10
2 【答案】24
3 【答案】4
4 【答案】12
5 【答案】3
思维创新 / 四年级 / 春季
第 3 讲 小高的秘籍
例题练习题答案
例1 【答案】（1）24；（2）5040；（3）270
A3 = 4×3×2 = 24
【解析】（1） 4 ；
A4 = 10×9×8×7 = 5040
（2） 10 ；
A4 −3×A2 = 6×5×4×3−3×6×=56×5×3×(4−1) = 270
（3） 6 6 加微信：531066775 ．练1 【答案】（1）210；（2）40
A3 = 7×6×5 = 210
【解析】（1） 7 ；
A3 −A2 = 5×4×3−5×4 = 40
（2） 5 5 ．
例2 【答案】24张
A3 = 4×3×2 = 24
【解析】从4个人中选3人出来排列，一共有 4 （张）照片．
练2 【答案】60
A3 = 5×4×3 = 60
【解析】排列问题： 5 ．
例3 【答案】（1）5；（2）30；（3）5，5；（4）120，120
C4 = 5×4×3×2÷(4×3×2×1) = 5
【解析】（1） 5 ；
C3 −2×C2
（2） 10 10
= 10×9×8÷(3×2×1)−2×10×9÷(2×1)
= 30
；
C4 = 5×4×3×2÷(4×3×2×1) = 5C1 = 5
（3） 5 ， 5 ；
C7 = 10×9×8×7×6×5×4÷(7×6×5×4×3×2×=11)20
（ 4 ） 10 ，
C3 = 10×9×8÷(3×2×1) = 120
10 ．
练3 【答案】（1）56；（2）60；（3）45
C3 = 8×7×6÷(3×2×1) = 56
【解析】（1） 8 ；
2×C3 −C2 = 2×7×6×5÷(3×2×1)−5×4÷(2×1) = 60
（2） 7 5 ；
C8 = C2 = 10×9÷(2×1) = 45
（3） 10 10 ．
例4 【答案】120种
C7 ×C3 = C3 ×C3 = 10×9×8÷(3×2×1)×1 = 120
【解析】 10 3 10 3 (种)分法．
练4 【答案】20种
C3 ×C3 = 6×5×4÷(3×2×1)×1 = 20
【解析】 6 3 (种)．
挑战极 【答案】120个；24个；48个
限1 【解析】（1） A4 5 = 5×4×3×2 = 120 ；（2） A3 4 = 4×3×2 = 24 ；
（3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有
2×A3 = 2×4×3×2 = 48
4 （个）．
挑战极 【答案】1680种
限2 【解析】
C2
8
×C3
6
×C3
3
×C1
3
= 8×7÷(2×1)×6×5×4÷(3×2×1)×1×3
= 1680
(种)．思维创新 / 四年级 / 春季
第 3 讲 小高的秘籍
自我巩固答案
1 【答案】60
A3 = 5×4×3 = 60
【解析】 5 ．
2 【答案】2478
A5 −A2 = 7×6×5×4×3−7×6 = 2478
【解析】 7 7 ．
3 【答案】54
3×C2 −2×C2 = 3×(8×7)÷(2×1)−2×(6×5)÷(2×1) = 54
【解析】 8 6 ．
4 【答案】120
A3 = 6×5×4 = 120
【解析】从6面不同颜色的旗帜中选3面排成一排，共有 6 （种）不同的信
号．
5 【答案】120
【解析】五 个 同 学 排 队 是 有 顺 序 的 ， 所 以 是 排 列 问 题 ， 即
A5 = 5×4×3×2×1 = 120
5 （种）．
6 【答案】10
【解析】从 5 名 学 生 中 选 取 两 名 ， 不 排 顺 序 ， 所 以 是 组 合 问 题 ， 即
C2 = 5×4÷(2×1) = 10
5 （种）．
7 【答案】56
C3 = (8×7×6)÷(3×2×1) = 56
【解析】从8人中选出3人，不需要排序，共有 8 （种）不同
的选法．
8 【答案】45
C2 = 10×9÷(2×1) = 45
【解析】10个点中选2个点连成线段，不排顺序．有 10 （条）线段．
9 【答案】60
A3 = 5×4×3 = 60
【解析】从5个不同的数字中选3个组成三位数，即排成一排，共有 5 （个）．
10 【答案】5040
【解析】10 个 同 学 中 有 四 名 抢 到 了 球 ， 球 是 不 同 的 ， 所 以 是 一 个 排 列 问 题 ， 即
A4 = 10×9×8×7 = 5040
10 （种）．思维创新 / 四年级 / 春季
第 3 讲 小高的秘籍
课堂落实答案
1 【答案】330
2 【答案】81
3 【答案】120
4 【答案】126
5 【答案】60
思维创新 / 四年级 / 春季
第 4 讲 巧辨A和C
例题练习题答案
例1 【答案】（1）36场，108分；（2）72场
【解析】区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排
C2 = 9×8÷(2×1) = 36
序，是组合问题，即 9 (场)比赛．如果是分出胜负的则一场比
赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该
36×3 = 108
是分出胜负的，即 (分)．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排
A2 = 9×8 = 72
序，分主客场的，是排列问题，即 9 (场)比赛．也可以根据第一问
36×2 = 72
(场)比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两
场，所以是2倍的关系．
练1 【答案】（1）28场；（2）56场
【解析】（1）单循环制是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即
C2 = 8×7÷(2×1) = 28
8 (场)比赛．
（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客场，是排列问题，即
A2 = 8×7 = 56
8 (场)比赛．
例2 【答案】（1）336种；（2）56种【解析】（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为
A3 = 8×7×6 = 336
不同种选法，是排列问题， 8 (种)选法．
（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序仍为一种选法，为组合问题，
C3 = 8×7×6÷(3×2×1) = 56
8 (种)选法．
练2 【答案】（1）21种；（2）42种
C2 = 7×6÷(2×1) = 21
【解析】（1） 7 (种)选法．
A2 = 7×6 = 42
（2） 7 (种)选法．
例3 【答案】（1）495种；（2）24种；（3）11880种
【解析】（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即
C4 = 12×11×10×9÷(4×3×2×1) = 495
12 种选法；（2）把4个球分给大家，
A4 = 4×3×2×1 = 24
这四个球会分给不同的人，所以需要排序，即 4 种分法；（3）
其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即
C4 ×A4 = 495 ×24 = 11880
12 4 种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个排列是
A4 = 12×11×10×9 = 11880
排列问题，即 12 种可能．
练3 【答案】720种
C3
【解析】两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即 10，接下来给这三个人排序，即
A3 C3 ×A3 = 720
3，这是一个分步的过程，所以共有 10 3 (种)不同的可能；第二种：从10个
A3 = 720
人中选出3个人，需要排序，即排列问题， 10 (种)不同的可能．
例4 【答案】（1）15504种；（2）5400种
【解析】（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，
C5 = 20×19×18×17×16÷(5×4×3×2×=1)15504
20 (种)选择方法；
（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过
程，所以一共有
C2 ×C3 = 10×9÷(2×1)×10×9×8÷(3×2×=1)5400
10 10 (种)选择方法．
练4 【答案】1820种；588种
【解析】（ 1 ） 随 意 选 择 ， 即 从 所 有 人 中 随 便 选 出 来 4 人 即 可 ，
C4 = 16×15×14×13÷(4×3×2×1) = 1820
16 (种)选择方法；
（2）首先从9名男生中选取3名男生，再从7名女生中选取1名女生，这是一个分步的过
C3 ×C1 = 588
程，所以一共有 9 7 (种)选择方法．
挑战极 【答案】504种
限1 【解析】圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列
问题，即
A5
7；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE、BCDEA、CDEAB、DEABC、EABCD这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有 A5 7 ÷5 = 504 (种)不
C5 = 21
同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有 7 (种)方法，再把选出的5个人排
A5 ÷5 = 24 21×24 = 504
在圆桌上，有 5 (种)方法，一共有 (种)方法．
挑战极 【答案】（1）20种；（2）10种
限2 【解析】（1）从6个人中选择3个人，即 C3 6 = 6×5×4÷(3×2×1) = 2 ( 0 种)选法，此时已经
将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；
（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是
C3 ÷2 = 10
6 (种)分队的方法．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 4 讲 巧辨A和C
自我巩固答案
1 【答案】45
C2 = (10×9)÷2 = 45
【解析】从10人中任选2人就会有一次握手，共有 10 (次)握手．
2 【答案】56
A2 = 56
【解析】每两个人之间都要打两次电话，是分顺序的，是排列问题，共要打 8 (次)电话．
3 【答案】42
【解析】小高从7个菜中选择2个菜分别做主菜和副菜，是分顺序的，是排列问题，共有
A2 = 42
7 (种)不同的选法．
4 【答案】210
A2 = 15×14 = 210
【解析】从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有 15 (种)方法．
5 【答案】20
C2 ×A2 = 10×2 = 20
【解析】 5 2 (种)方法．
6 【答案】60
C3 = (5×4×3)÷(3×2×1) = 10
【解析】从5件上衣中选3件，有 5 (种)方法；从4条裤子中选
C2 = (4×3)÷(2×1) = 6 10×6 = 60
2条，有 4 (种)方法；所以共有 (种)选法．
7 【答案】120
A5 = 5×4×3×2×1 = 120
【解析】先有1人坐定，剩下的5个人随便排： 5 (种)坐法．
8 【答案】15
C4 = 15
【解析】墨莫从6个菜中选择4个菜，是不分顺序的，是组合问题，共有 6 (种)不同的选法．9 【答案】56
【解析】小高从8件礼物中选择2个礼物送给爸爸、妈妈，是分顺序的，是排列问题，共有
A2 = 56
8 (种)不同的送法．
10 【答案】140
C2 C1 C2 ×C1 = 140
【解析】8名男生选2人，有 8种；5名女生选1人，有 5种；一共有 8 5 (种)．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 4 讲 巧辨A和C
课堂落实答案
1 【答案】21
2 【答案】132
3 【答案】336
4 【答案】200
5 【答案】30
思维创新 / 四年级 / 春季
第 5 讲 龟兔赛跑
例题练习题答案
例1 【答案】34分钟
24−7 = 17
【解析】骑车往返需要14分钟，说明单程只需要7分钟，步行单程就是 (分)，所以小高
17×2 = 34
往返都步行所需要的时间是 (分)．
练1 【答案】20分钟
15−5 = 10
【解析】骑车全程需要10分钟，说明半程只需要5分钟，步行半程就是 (分)，所以萱萱
10×2 = 20
全程都步行所需要的时间是 (分)．
例2 【答案】225米
【解析】先画出行程图，乙从出发到相遇行驶的时间是5分钟，行驶的路程是500米，所以速度是
500 ÷5 = 100
(米/分)；乙虚线所行驶的路程是400米，所以乙虚线行驶的时间是400 ÷100 = 4
(分)，甲用4分钟的时间行驶的路程是500米，所以甲的速度是125米/分，
甲实线所行驶的路程是 5×125 = 625 (米)，所以乙距离A地还有 625 −400 = 225 (米)．
练2 【答案】20千米
60÷50 = 1.2
【解析】画出行程图，快车50分钟行驶60千米，所以速度是 (千米/分)；快车虚线所
24÷30 = 0.8
行驶的路程是24千米，所以慢车30分钟路程是24千米，速度为 (千米/分)，
24+16 = 40
慢车20分钟的时间行驶的路程是16米，所以慢车的总路程是 (千米)，所以距
60−40 = 20
离甲地还有 (千米)．
例3 【答案】7点55分
4000÷20 = 200
【解析】方法一：表哥20分钟行驶了4000米，所以表哥的速度是 (米/分)，墨莫
200 ÷5 = 40 20×40 = 800
的速度就是 (米/分)．表哥到达墨莫家的时候两人相距 (米)，
800 ÷160 = 5
两人的速度差是160米/分，所以追及时间是 (分)．此时是7点55分；
方法二：表哥的速度是墨莫速度的5倍，所以相同时间内，表哥行驶的路程是墨莫的5倍，
设墨莫虚线行驶的路程是“1”，表哥虚线行驶的路程就是“5”，那么墨莫实线行驶的路
程就是“4”，墨莫“4”用了20分钟，所以“1”用5分钟，此时是7点55分．
练3 【答案】8点20分
【解析】阿瓜速度是阿呆的3倍，阿呆提前20分钟出发，所以阿瓜从出发到追上阿呆，两人走这段
路程所用时间也是3倍关系，设阿呆实线走的路程是“1”，则阿瓜实线行驶的路程就
是“3”，那么阿呆虚线走的路程就是“2”．阿呆“2”用了20分钟，则“1”用10分
钟，所以阿瓜第一次追上阿呆用了10分钟．之后可以再设阿呆走了‘1’，则阿瓜走
了‘3’，根据行程图可得阿瓜行驶‘1’是10分钟，则‘3’是30分钟，所以从第一次到
第二次追上阿呆，阿瓜用了30分钟，加上第一次追上的10分钟，阿瓜一共用了40分钟第
二次追上阿呆，阿瓜7:40出发，所以阿瓜在8:20第二次追上阿呆．例4 【答案】每分钟行进162米
【解析】在相同时间内，小小骑车行驶的路程是大大步行路程的3倍，所以小小骑车的速度是大大
54×3 = 162
步行速度的3倍，所以小小骑车每分钟行进 (米)．
练4 【答案】每分钟飞行465米
【解析】在相同时间内，小山羊飞行的路程是卡莉娅骑车路程的3倍，所以小山羊飞行的速度是卡
155 ×3 = 465
莉娅骑车速度的3倍，所以小山羊飞行每分钟行进 (米)．
挑战极 【答案】自行车队每分钟行0.5千米，摩托车每分钟行1.5千米
限1 【解析】自行车队第一次被通信员追上到第二次被追上，所行驶的路程是 18−9 = 9 （千米），其
9×3 = 27
中通信员所行驶的路程是 （千米）．在相同时间内所行驶的路程是3倍，所以
通信员的速度是自行车队速度的3倍．设自行车实线行驶“1”，通信员就行驶“3”．自
行车12分钟行驶了“2”是6千米，则自行车的速度是0.5千米／分．摩托车每分钟行驶
0.5×3 = 1.5
（千米）．
挑战极 【答案】（1）28小时；（2）8倍
限2 【解析】（1）甲虚线行驶的路程和乙实线行驶的路程一样，甲用4小时，乙用12小时，所以甲的速
16×3 = 48
度是乙速度的3倍．甲行驶全程需要16小时，所以乙需要 （时）．乙已经行
12+4+4 = 20 48−20 = 28
驶了 （时），所以还要行驶 （时）．
48−12−4 = 32
（2）乙点状线所行驶的时间是 （时），所以甲虚线和点状线行驶路程
一样，时倍=速倍，所以原来的速度是返回速度的8倍．思维创新 / 四年级 / 春季
第 5 讲 龟兔赛跑
自我巩固答案
1 【答案】19
16+3 = 19
【解析】卡莉娅步行单程16分钟，飞行单程3分钟，所以路上共用 (分)．
2 【答案】4
【解析】甲又走了8个小时才到达B 地，速度是5千米/时，所以甲又走了40千米．这一段路程是乙
在相遇前走的路程．乙又走了50千米到A 地，说明甲在相遇前走了50千米，速度是5千
米/时，所以相遇时间是10时．乙在10小时内所走的路程是40千米，所以乙的速度是4千
米/时．
3 【答案】1800
【解析】画出分段行程图．用虚线表示甲提前出发10分钟所行驶的路程；用实线表示从乙出发到两
人相遇所行驶的路程；用点状线表示甲相遇后又行驶12分钟到达B 地所行驶的路程．在分
段行程图中把每一段对应的时间和路程全部标出来（如图所示）．其中点状线对应的时间
是12分钟，甲的速度是60米/分，所以点状线所表示的路程是720米，这一段路程也是乙
从出发到相遇所行驶的路程，其速度是90米/分，所以乙从出发到相遇行驶了8分钟，所以
实线对应的时间就是8分钟．甲实线所行驶的路程就是480米，所以全程是 1800米．另外
一种方法是甲走完全程需要30分钟，速度是60米/分，所以全程是1800米．
4 【答案】C
【解析】爸爸提前出发了10分钟，爸爸的速度是150米/分，所以爸爸提前出发行驶的路程是1500
3500−1500 = 2000
米，此时小山羊才开始出发，两人相距 (米)，其中速度和是
150 +50 = 200 2000÷200 = 10
(米/分)，所以相遇时间是 (分)．即5点10分两个人相
遇．爸爸还要带着小山羊原路返回继续行 驶20分钟，所以两个人5点30分到家．5 【答案】600
【解析】甲车又行驶了9小时到达B 地，甲速度是40千米/时，所以甲车又行驶了360千米，这段路
程也是乙从出发到相遇所行驶的路程，乙的速度是60千米/时，所以相遇时间是
360 ÷60 = 6 100 ×6 = 600
(时)．所以两地相距 (千米)．
6 【答案】87
【解析】墨莫走了一个全程，而小高相当于走了两个全程，所以小高的行驶路程是墨莫的2倍，所
174 ÷2 = 87
以小高的速度是墨莫的2倍，墨莫的速度是 (米/分)．
7 【答案】2250
1500−500 = 1000
【解析】先画出分段行程图如下．小强虚线所走的路程是 （米）．大壮虚线所
1500+500 = 2000
走的路程是 （米）．相同时间内大壮所走的路程是小强的2倍，所以
大壮的速度是小强的2倍．大壮实线所走的路程是1500米，所以小强实线所走的路程是
1500÷2 = 750 750 +1500 = 2250
（米），因此从学校到家的总路程是 （米）．
8 【答案】2500
2000−1200 = 800
【解析】先画出分段行程图．小强虚线所走的路程是 （米）．大壮虚线所走的
2000+1200 = 3200
路程是 （米）．相同时间内大壮所走的路程是小强的4倍，所以大
壮的速度是小强的4倍．大壮实线所走的路程是2000米，所以小强实线所走的路程是
2000 ÷4 = 500 500 +2000 = 2500
（米），因此从学校到家的总路程是 （米）．
9 【答案】20
【解析】快羊羊再走10分钟就可以到达村西头，而这段路程是慢羊羊从出发到相遇所行驶的路程，
需要30分钟，所以快羊羊的速度是慢羊羊速度的3倍．快羊羊到达村西头的时候，慢羊羊
已经从村西头出发了30＋10=40(分)．慢羊羊从出发点到追及点需要的时间是“3”，而
快羊羊只需要“1”，所以多出来的“2”就是慢羊羊已经出发的40分钟，“1”即20分
钟，所以快羊羊要追20分钟．
10 【答案】50【解析】小马虎又走了10分钟到达学校，爸爸也刚刚到家，说明爸爸回到家所用的时间10分钟，爸
爸的速度是小马虎速度的4倍，小马虎这段路程所用的时间是40分钟，所以小马虎走完全
40+10 = 50
程需要 (分)．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 5 讲 龟兔赛跑
课堂落实答案
1 【答案】16
2 【答案】22
3 【答案】360
4 【答案】90
5 【答案】3750
思维创新 / 四年级 / 春季
第 6 讲 毕达哥拉斯的聚会
例题练习题答案
例1 【答案】3.2
【解析】正方形边长为4，面积为16；三角形ADE的面积是正方形的一半，为8．三角形面积等于
AE ×DF ÷2 ，所以DF的长为 8×2÷5=3.2 ．
练1 【答案】4
【解析】三角形AED面积为 6×10÷2 = 30 ，则长方形面积为60，长为15，所以宽AB为
60÷15 = 4
.
例2 【答案】32平方厘米
△ ADE+ △ BEF+ △ DEF △ CDF+ △ DEF
【解析】 的面积和是长方形的一半； 的面积和
是长方形的一半；比较可得，
△CDF面积恰好等于 △ADE与 △BEF的面积和，为
20+12 = 32
(平方厘米)．
练2 【答案】9△ AMF+ △ BNF +MENF
【解析】 的 面 积 和 是 平 行 四 边 形 面 积 的 一 半 ；
△ DME+ △ CNE +MENF
面积的和是平行四边形面积的一半；比较可得，
△ AMF+ △ BNF
的面积恰好等于
△ DME+ △ CNE
的面积，所以
△DME面积为
12+8−11 = 9
．
例3 【答案】（1）13厘米；（2）30厘米
【解析】（1） 52 +122 = AC2 ，AC=13；（2） AB2 +402 = 502 ，AB=30．
练3 【答案】25
【解析】 122 +162 = AB2 ，AB=20； 202 +152 = AD2 ，AD=25．
例4 【答案】60平方厘米
【解析】画如图虚线，原图中的直角三角形直角边分别是6、8，所以斜边是10，即梯形上底为
6×8÷10 = 4.8
10；梯形的高即为直角三角形的高，如图虚线，高为 (厘米)；梯形面积
(10+15)×4.8÷2 = 60
为 (平方厘米)．
练4 【答案】2.4
3×4÷5 = 2.4
【解析】直角三角形直角边分别是3、4，所以斜边是5，高为 ．
挑战极 【答案】64
限1 【解析】如图，连接DE．首先，三角形ADE与DFG的面积和为正方形AEFG的一半，等于50；其中
DFG面积为18，所以ADE面积为32；而三角形ADE面积为长方形ABCD的一半，所以长方
形面积为64．
挑战极 【答案】96
限2 【解析】如图，连接BD．△ABD中，BD为10．△BCD中，三边分别为10、24、26，有
102 +242 = 262 ，所以△BCD为直角三角形．三角形BCD面积为 10×24÷2 = 120 ，
三角形ABD面积为 6×8÷2 = 24 ，所以ABCD面积为 120 −24 = 96 ．
思维创新 / 四年级 / 春季第 6 讲 毕达哥拉斯的聚会
自我巩固答案
1 【答案】24
【解析】四个阴影三角形面积分别等于各自所在的长方形面积的一半，所以阴影部分总面积即为大
长方形ABCD 面积的一半，为 6×8÷2 = 24 （平方厘米）．
2 【答案】60
【解析】长方形和平行四边形面积都等于直角三角形面积的两倍，所以他们面积相等．
3 【答案】13
【解析】甲往西走了5米，乙往南走了12米，两个人的方向垂直，所以此时两人的距离即为两条直
角边长分别为5和12的直角三角形的斜边长度，等于13．
4 【答案】4
【解析】AC=12，BC=5，所以斜边AB=13；AM=AC=12，所以BM=1；而BN=BC=5，所以
MN=BN-BM=5-1=4．
5 【答案】360
【解析】直角三角形两条直角边分别是15、20，根据勾股定理可得斜边（即梯形上底）为25，因
20×15÷25 = 12
此 斜 边 上 的 高 （ 即 梯 形 的 高 ） 为 ． 而 梯 形 面 积 为
(25+35)×12÷2 = 360
．
6 【答案】8
【解析】如图，把大正方形分割成16块一模一样的等腰直角三角形，其中七巧板中的小正方形占2
块，所以大正方形面积是小正方形的8倍．
7 【答案】2
【解析】内外两个相邻的正方形面积成两倍关系，最大正方形面积为64，所以里面三个正方形面积
分别为32、16、8平方厘米．最小正方形面积恰好是阴影三角形的4倍，所以阴影部分面
积为2平方厘米．
8 【答案】10【解析】甲往东走了6米，乙往南走了8米，两个人的方向垂直，所以此时两人的距离即为两条直角
边长分别为6和8的直角三角形的斜边长度，等于10．
9 【答案】55
【解析】原图中，“
ΔPDF+ ΔQFC+阴影”面积大小为长方形ABCD
面积的一半，而“
ΔADP+
ΔPDF+ ΔQFC+ ΔBCQ ”面积大小也是长方形ABCD 面积的一半，所以阴影部分面积就
等于三角形ADP 与BCQ 面积之和，为55平方厘米．
10 【答案】44
【解析】如图所示，以腰为斜边20厘米的直角三角形中，一条直角边高为16厘米，所以可得另一条
直角边为12厘米，因此梯形下底为12+20+12=44（厘米）．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 6 讲 毕达哥拉斯的聚会
课堂落实答案
1 【答案】40
2 【答案】50
3 【答案】5
4 【答案】4
5 【答案】1440
思维创新 / 四年级 / 春季
第 7 讲 期中复习（2课时）
期中试卷答案
1 【答案】49
2 【答案】93 【答案】底边中间是7，中间填6和9，底边上是3、7、5
4 【答案】24；6
5 【答案】24
6 【答案】13
7 【答案】10
8 【答案】50
9 【答案】21
10 【答案】58
11 【答案】116
12 【答案】中间数填2，剩下的就是1、5、7填一边，3、4、6填另一边
13 【答案】30
14 【答案】7
15 【答案】9
C1 ×C1 = 9
【解析】 3 3 （种）．
16 【答案】72
17 【答案】60
C1 ×C2 = 60
【解析】 6 5 （种）．
18 【答案】56
19 【答案】450
20 【答案】72
思维创新 / 四年级 / 春季
第 8 讲 怎么总是遇见你
例题练习题答案
例1 【答案】（1）2小时，4小时；（2）14小时，54千米
60÷(21+9) = 2
【解析】（1）第一次迎面相遇两人的路程和是1个全长，时间是 (时)．从第一
2×2 = 4
次相遇到第二次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，时间应该是 (时)．
1+2+2+2 = 7
（2）从出发到第四次迎面相遇，两人的路程和是 (个)全长，时间是
7×2 = 14 ( 时 ) ． 其 中 墨 莫 从 B 地 出 发 走 了 14×9 = 126 ( 千 米 ) ，
126 ÷60 = 2( 个 )⋯⋯6( 千米 ) ，所以相遇地点离A地 60−6 = 54 (千米)．练1 【答案】（1）6小时；（2）12小时
90÷(21+24)=2
【解析】（1）两人行完一个全长需要用时 (时)。从出发到第二次迎面相遇，路
3×2 = 6
程和是3个全长，所以时间为 (时)；
(5-2)×2=6
（2）从第二次相遇到第五次迎面相遇，路程和是 (个)全长，所以时间为
6×2 = 12
(时)．
例2 【答案】（1）5小时，20小时；（2）45小时，15千米
60÷(21−9) = 5
【解析】（1）第一次追上，两人的路程差是1个全长，时间是 (时)，从第一次
2+2 = 4 4×5 = 20
追上到第三次追上，两人的路程差是 (个)全长，时间是 (时)．
2×5−1 = 9
（2）从出发到第五次追上，两人的路程差是 (个)全长，时间是
9×5 = 45 ( 时 ) ． 其 中 墨 莫 从 B 地 出 发 走 的 路 程 是 45×9 = 405 ( 千 米 ) ，
405 ÷60 = 6⋯⋯45 (千米)，所以追及地点距离A点 60−45 = 15 (千米)．
练2 【答案】（1）4小时，16小时；（2）80千米．
【解析】（1）从出发到第一次追上，路程差是1个全长，即80千米，所以时间为
80÷(32−12) = 4 2+2 = 4
(时)；从第一次追上到第三次追上，路程差是 (个)全长，所
4×4 = 16
以时间为 (时)．
1+2+2 = 5 5×4 = 20
（2）从出发到第3次追及路程差是 （个）全长，时间是 （小
时），此时阿瓜走了 20×12 = 240 （千米）， 240 ÷160 = 1⋯⋯80 ，刚好在A地，
那么距离A地就是80千米．
例3 【答案】（1）4小时，36千米；（2）20小时，60千米
【解析】（ 1 ） 第 一 次 迎 面 相 遇 ， 两 人 的 路 程 和 是 2 个 全 长 ， 相 遇 时 间 是
60×2÷(21+9) = 4 (时)，其中墨莫从A出发走了 4×9 = 36 (千米)，相遇地点距A地
36千米；
（2）相邻两次相遇的路程和都是2个全长，从出发到第五次相遇两人相遇时间是
4×5 = 20 (时)．墨莫从A出发走了 20×9 = 180 (千米)， 180 ÷60 = 3 ，所以相遇地点
距A地60千米．
练3 【答案】（1）8小时；（2）20小时
4×90 = 360
【解析】（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是4个全长，即 （千米），所以时
360 ÷(21+24) = 8
间为 （时）；
10×90 = 900
（2）从出发到第五次迎面相遇，路程和是10个全长，即 （千米），所以
900 ÷(21+24) = 20
时间为 （时）．
例4 【答案】（1）10小时，30千米；（2）50小时，30千米60×2÷(21−9) = 10
【解析】（1）第一次追上，两人的路程差是2个全长，时间是 (时)．此时
9×10 = 90 90÷60 = 1⋯⋯30
墨莫从A出发走了 (千米)， ，追上地点距离A地
60−30 = 30
(千米)．
（2）相邻两次追及的路程差是2个全长，追上1次需要10小时，追上5次需要
5×10 = 50 50×9 = 450 450 ÷60 = 7⋯⋯30
(时)，此时墨莫走了 (千米)， ，追上地
60−30 = 30
点距离A地 (千米)．
练4 【答案】（1）36小时；（2）108小时
【解析】（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全长，所以时间为2×90÷(30−25)=36(时)；
（2）从出发到第三次追上，路程差是6个全长，所以时间为6×90÷(30−25)=108(时)．
挑战极 【答案】（1）16次；（2）3次
限1 【解析】（ 1 ） 从 同 一 地 点 出 发 ， 相 邻 两 次 相 遇 的 路 程 和 为 2 个 全 长 ， 需 要
150 ×2÷(20+30) = 6 100 ÷6 = 16⋯⋯4
(分)； (分)，所以一共有16次迎面相遇．
（ 2 ） 从 同 一 地 点 出 发 ， 相 邻 两 次 追 及 的 路 程 差 为 2 个 全 长 ， 需 要
150 ×2÷(30−20) = 30 100 ÷30 = 3⋯⋯10
(分)， (分)，所以一共追上3次．
挑战极 【答案】120千米；距甲地10千米处
限2 【解析】如图所示，第一次迎面相遇，A、B两车合走了1个全长，其中A走了50千米．从第一次相
遇到第二次迎面相遇，两车合走了2个全长，按倍数关系，A车应该走100千米，图中粗线
100 −30 = 70 50+70 = 120
表示的距离是 (千米)．所以甲、乙两站相距 (千米)．
从第二次到第三次相遇，A要走100千米，所以在距甲10千米处第三次相遇．（或者是从
出 发 到 第 三 次 相 遇 ， 两 车 合 走 5 个 全 长 ， A 车 共 走 5×50 = 250 ( 千 米 ) ，
250 ÷120 = 2⋯⋯10
(千米)，距甲地10千米第三次相遇．）
思维创新 / 四年级 / 春季
第 8 讲 怎么总是遇见你
自我巩固答案1 【答案】6
【解析】从 出 发 到 两 人 第 二 次 相 遇 ， 两 人 的 路 程 和 是 3 个 全 长 ， 所 以 一 共 用 时
70×3÷(15+20) = 6
(时)．
2 【答案】1200
【解析】秀 秀 第 三 次 从 后 面 追 上 畅 畅 时 ， 两 人 路 程 差 是 6 个 全 长 ， 时 间 是
200 ×6÷(5−4) = 1200
(秒)．
3 【答案】960
6×1200÷(4+3.5) = 960
【解析】第三次迎面相遇，两人的路程和是6个全长．时间是 (秒)．
4 【答案】3
9×5 = 45
【解析】第 三 次 追 及 时 ， 两 人 的 路 程 差 为 ( 千 米 )； 追 及 时 间 为
45÷(25−10) = 3
(时)．
5 【答案】3
1100÷(70+40)=10
【解析】第一次相遇时间 （分），相邻两次相遇的路程和为2个全长，需要
10×2 = 20 (60−10)÷20 = 2⋯⋯10 2+1=3
（分）. （分）， （次）, 所以一共有3
次迎面相遇．
6 【答案】6
6×6÷(30−24) = 6
【解析】从出发到第三次追及，两人的路程差等于6个全长，用时 (时)．
7 【答案】20
【解析】从 出 发 到 第 五 次 相 遇 ， 两 人 的 路 程 和 为 10 个 全 长 ， 一 共 用 时
70×10÷(15+20) = 20
(时)．
8 【答案】3
【解析】从 同 一 地 点 出 发 ， 第 一 次 迎 面 相 遇 两 人 的 路 程 和 是 2 个 全 长 ， 时 间 是
500 ×2÷(40+60) = 10
(分)．相邻两次迎面相遇的时间都是10分钟，半小时内会有3
次迎面相遇．
9 【答案】110
【解析】第一次相遇两人的路程和是1个全长，第二次相遇两人的路程和是3个全长．第一次相遇A
走了40公里，那么从第一次相遇到第二次相遇，A要走80公里，此时甲、乙两地之间的距
40+80−10 = 110
离是 (公里)．
10 【答案】224
【解析】第二次相遇用了7小时．路程和是 (44+52)×7 = 672 (千米)，相当于3个全长，A、B两
地相距224千米．思维创新 / 四年级 / 春季
第 8 讲 怎么总是遇见你
课堂落实答案
1 【答案】18
2 【答案】50
3 【答案】960
4 【答案】16
5 【答案】30
思维创新 / 四年级 / 春季
第 9 讲 鱼丸与粗面
例题练习题答案
例1 【答案】（1）52种；（2）196种
5×2+2×6+5×6 = 52
【解析】（1） （种）；
（2）分类讨论，先选出两种不同类型的饮料，有1、2和2、1两种情况，也需要分类讨
论．即
5×C2 +C2 ×2+2×C2 +C2 ×6+5×C2 +C2 ×=65+20+30+6+75+
2 5 6 2 6 5
练1 【答案】27种
【解析】分类讨论，可以是红、黄球各1个，可以是红、绿球各1个，也可以是黄、绿球各1个，即
3×3+3×3+3×3 = 27
种．
例2 【答案】96种
【解析】方法一：可分类讨论，符合题意的有
C2 ×C1 = 36
2 台 等 离 子 +1 台 液 晶 ： 4 6 ( 种 ) 选 法 ；1 台 等 离 子 +2 台 液 晶 ：
C1 ×C2 = 60 36+60 = 96
4 6 (种)选法．最后把不同类的结果相加： (种)取法．
C3 = 120
方法二：可以想一下从这些电视中随便取3台，有 10 (种)取法；其中与“等离子电
视与液晶电视至少要各有1台”不符合要求的取法是怎样的呢．即全是等离子或全是液晶电视时，这两种情况是不符合的，我们只要从120种取法中排除掉这两种类型．共有
C3 −C3 −C3 = 120 −4−20 = 96
10 4 6 (种)取法．
练2 【答案】200种
【解析】可分类讨论，符合题意的有
C2 ×C3 = 100
2男3女： 5 5 (种)选法；
C3 ×C2 = 100
3男2女： 5 5 (种)选法．
100 +100 = 200
最后把不同类的结果相加： (种)取法．
例3 【答案】195种
【解析】方法一：可计算等离子有1台、2台、3台、4台这4种类型分别有多少种取法．
方法二：可在一共10台电视中任选4台，把一些不符合要求的类型排除掉．不符合的类型
C4 −C4 = 210 −15 = 195
有4台全是液晶电视．所以共有 10 6 (种)取法．
练3 【答案】251种
【解析】可在一共10名学生中任选5名，把一些不符合要求的情况排除掉．不符合的情况即全是女
C5 −C5 = 252 −1 = 251
生．所以共有 10 5 种取法
例4 【答案】55个
【解析】从8个点中任选3个点就可以构成一个三角形，但观察图形，同在直径上的这3个点构不成
C3 −C3 = 56−1 = 55
三角形，所以要排除掉．共有 8 3 (个)三角形．
练4 【答案】48个
C3 −C3 −C3 = 48
【解析】 8 4 4 (个)三角形．
挑战极 【答案】120种；24种；48种；12种；36种
限1 【解析】（1） A5 5 = 5×4×3×2×1 = 12 种 0 站法；
A4 = 4×3×2×1 = 24
（2）小高只有一种站法，其他四个人排列即可， 4 种站法；
（3）先从小高和大头中选择一个人站在中间的位置，然后剩下四个人排列，即：
C1 ×A4 = 2×4×3×2×1 = 48
2 4 种站法；
（4）小高和大头在两边的位置上排列，剩下的3个人在另外三个位置上排列，即：
A2 ×A3 = 2×1×3×2×1 = 12
2 3 种站法；
（5）小高和大头都没有站在边上，先从其余的3个人中选出2个人站在边上，剩下的1个人
A2 ×A3 = 3×2×3×2×1 = 36
再与小高和大头排列，即 3 3 种站法.
挑战极 【答案】261个；98个；163个
限2 【解析】（1）一位数有 C 5 1 = 5 个；两位数有 C 4 1 ×C 4 1 = 16 个；三位数有 C 4 1 ×A2 4 = 48 个；四
C1 ×A3 = 96 C1 ×A4 = 96
位 数 有 4 4 个 ； 五 位 数 有 4 4 个 ； 一 共 有
5+16+48+96+96 = 261
个．C1 = 2 C1 ×C1 = 6
（ 2 ） 一 位 奇 数 有 2 个 ； 两 位 奇 数 有 2 3 个 ； 三 位 奇 数 有
C1 ×C1 ×C1 = 18 C1 ×C1 ×A2 = 36
2 3 3 个 ； 四 位 奇 数 有 2 3 3 个 ； 五 位 奇 数 有
C1 ×C1 ×A3 = 36 2+6+18+36+36 = 98
2 3 3 个；一共有 个．
C1 = 3
（3）一位偶数有 3 个；两位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即
C1 +C1 ×C1 = 10
4 2 3 个 ； 三 位 偶 数 按 照 末 位 是 0 和 不 是 0 分 为 两 类 ， 即
A2 +C1 ×C1 ×C1 = 30
4 2 3 3 个；四位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即
A3 +C1 ×C1 ×A2 = 60
4 2 3 3 个；五位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即
A4 +C1 ×C1 ×A3 = 60 3+10+30+60+60 = 163
4 2 3 3 个；一共有 个．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 9 讲 鱼丸与粗面
自我巩固答案
1 【答案】108
C2 = 3
【解析】从3类书中挑出2本类型不同的书，那么选择的类型有 3 (种)情况；如在科幻和科普两
C1 ×C1 = 36 3×36 = 108
种类型中借书，有 6 6 (种)．3种情况都是类似的，共有 (种)不同
的借法．
2 【答案】625
【解析】如果要求4本书的类型互不相同，则需要从每个类型中选取一本，所以一共有
C1 ×C1 ×C1 ×C1 = 5×5×5×5 = 625
5 5 5 5 (种)不同的借法．
3 【答案】75
C2 ×C3 = 15
【解析】如果取出的是2个红球和3个黄球，那么有 6 3 (种)选法；如果取出的是3个红球
C3 ×C2 = 60
和2个黄球，那么有 6 3 (种)选法，所以共有75种选法．
4 【答案】246
C5 = 252 C5 = 6
【解析】如果随意取，那么共有 10 (种)取法；如果全取红球，那么共有 6 (种)取法；
252 −6 = 246
所以至少有1个黄球的取法共有 (种)．
5 【答案】260
C4 −C4 = 260
【解析】使用排除法，所有的选法去掉没有女生的选法，一共有 11 8 (种)选法．
6 【答案】2400
【解析】首先从中间5个位置中选2个位置安排孙、李，剩下5个位置随意安排5个人．一共有
A2 ×A5 = 2400
5 5 (种)．7 【答案】4
【解析】萱萱的位置是确定，阿呆和阿瓜分别站两边，有2种排法，剩下两个位置给小高和墨莫，
2×2 = 4
也是2种排法，共 （种）排法．
8 【答案】70
C1 ×C2 = 40
【解析】方法一：分类，TCL有1台，Haier有2台，即 4 5 (种)取法；TCL有2台，Haier
C2 ×C1 = 30 40+30 = 70
有1台，即 4 5 (种)取法．一共有 (种)取法．方法二：使用排除
C3 C3 C3 = 84−4−10 = 70
法，所有的取法去掉只有TCL和Haier的取法，即 9－ 4－ 5 (种)
取法．
9 【答案】20
10 【答案】230
思维创新 / 四年级 / 春季
第 9 讲 鱼丸与粗面
课堂落实答案
1 【答案】48
2 【答案】294
3 【答案】65
4 【答案】18
5 【答案】19
思维创新 / 四年级 / 春季
第 10 讲 好朋友与坏朋友
例题练习题答案
例1 【答案】4320种
【解析】要求三位老师必须站在一起，那么可以把三个老师捆绑成一个人，这时候一共是5个人加
A6
这个“大胖人”共6个，6个人站成一排共有 6种站法，又因为3位老师站成一排绑在一起
A3 A6 ×A3 = 4320
时有 3种站法．最后一共有 6 3 (种)站法．
练1 【答案】36种A3 ×A3 = 36
【解析】 3 3 (种)．
例2 【答案】72种
A3
【解析】把小说捆绑成1本书，漫画捆成1本书，现在一共是3本书摆在一起有 3种摆法，然后要再
A2 A3
去看看那些绑在一起的书内部又有多少种摆法，其中小说有 2种摆法，漫画有 3种摆
A3 ×A2 ×A3 = 72
法．一共有 3 2 3 种摆法．
练2 【答案】96种
A2 ×A2 ×A4 = 96
【解析】 2 2 4 (种)．
例3 【答案】144种；1440种
A3
【解析】（1）当男生不能相互挨着时，这时我们可以安排3名女生先站好，有 3种站法．接下来
A4
可把男生安排到这3个女生的空隙中，4个空隙正好可以放4男生，有 4种站法．一共有
A3 ×A4 = 144
3 4 种站法．
A4
（2）要求女生不相互挨着，那么要先安排男生站好，有 4种站法．然后安排3名女生站
A3 A4 ×A3 = 1440
在男生的5个间隙中去，有 5种站法．最后有 4 5 种站法．
练3 【答案】14400种
A5 ×A3 = 14400
【解析】 5 6 (种)．
例4 【答案】（1）6个；（2）90个；（3）3个
C2
【解析】（1）从4个位置选2个位置放两个1（或2），有 4种选法，剩下2个位置放两个2（或
C2 ×1 = 6
1），只有1种方法，所以有 4 (个)四位数．
C2
（2）首先从6个位置中选2个位置放1，有 6种选法；再从剩下4个位置选2个位置放2，
C2 C2 ×C2 ×1 = 90
4种选法；最后剩下的2个位置放3，有1种选法．最后有 6 4 (个)六位
数．
（3）因为0的特殊性，可让0先去选位置，从除首位的3个位置中选2个位置出来放0，有
C2 C2 ×1 = 3
3种选法，剩下的2个位置放两个2，有1种方法，所以有 3 (个)四位数．
练4 【答案】60个
C1 C2
【解析】首先从6个位置中选1个位置放1， 6种选法；再从剩下5个位置选2个位置放2， 5种选
C1 ×C2 ×1 = 60
法；最后剩下的3个位置放3，1种选法．最后有 6 5 (个)六位数．
挑战极 【答案】2880种
限1 【解析】演唱节目彼此不能挨着，需要插空，而舞蹈节目必须连续，需要捆绑．先捆绑，再让其与
A2 ×A4 ×A3 = 2880
3个小品排列，最后让3个演唱节目插空，所以一共有 2 4 5 (种)不同的
编排顺序．
挑战极 【答案】4900种
限2C4
【解析】先选择1名老师做裁判，再从8名学生中选择4名学生，有 8种，最后从6名老师中选择3名
C3
老师，有 6，注意两队是没有区别的，即不需要考虑两队的顺序，再除以重复次数，所以
C1 ×C4 ×C3 ÷2 = 4900
一共有 7 8 6 (种)不同的分法．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 10 讲 好朋友与坏朋友
自我巩固答案
1 【答案】240
A5
【解析】先把小张和小李捆绑成一个人进行排列，有 5种排法．最后要安排一下小张和小李的顺
A5 ×A2 = 240
序，一共有 5 2 (种)排法．
2 【答案】96
A4
【解析】分别把小张和小李、小王和小许捆绑成两个人进行排列，有 4种排法．最后要安排一下捆
A4 ×A2 ×A2 = 96
绑的人的排序，一共有 4 2 2 (种)排法．
3 【答案】480
A4
【解析】男生与男生不相邻，那么要先安排女生，有 4种排法，然后再把男生安排在女生的5个空
A2 A4 ×A2 = 480
隙里去，有 5种排法．一共有 4 5 (种)排法．
4 【答案】72
A3 ×A2 = 3×2×4×3 = 72
【解析】先排女生，让男生插空，一共有 3 4 （种）站法．
5 【答案】720
【解析】先 把 女 生 排 列 ， 再 捆 绑 在 一 起 和 男 生 排 列 ， 一 共 有
A3 ×A5 = 3×2×5×4×3×2 = 720
3 5 (种)站法．
6 【答案】3
C2 ÷2 = 3
【解析】从4个人中选择2个人，此时两队是有区别的，除以重复数即可，一共有 4 (种)分
队方法．
7 【答案】120960
【解析】4个舞蹈节目要排在一起，将4个舞蹈节目排列后捆绑，变成一个节目，算上6个演唱节
目，一共有7个节目，将7个节目排列即可，一共有
A4 ×A7 = 4×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1 = 120960
4 7 (种)不同的安排顺
序．
8 【答案】12【解析】方法一：从四个位置选出来1个位置给1，再从剩下的三个位置选出来1个位置给2，剩下的
C1 ×C1 = 12
两个位置就是3的，一共有 4 3 (个)这样的四位数；
A4 ÷A2 = 12
方法二：首先将4个数字自由排列，除以重复数，一共有 4 2 个这样的四位
数．
9 【答案】210
【解析】从7个位置中选2个位置放3，再从剩下的5个位置中选2个位置放4，最后3个位置放5．七
C2 ×C2 ×C3 = 210
位数有 7 5 3 (个)．
10 【答案】6
【解析】首位不能是0，从除首位之外的另4个位置中选2个位置放0，剩下的3个位置放1就可以
C2 ×C3 = 6
了，五位数有 4 3 (个)．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 10 讲 好朋友与坏朋友
课堂落实答案
1 【答案】48
2 【答案】480
3 【答案】1440
4 【答案】560
5 【答案】10
思维创新 / 四年级 / 春季
第 11 讲 牛顿问题
例题练习题答案
例1 【答案】（1）5；（2）180；（3）36；（4）15；（5）17
【解析】（1）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以需要放
养5头牛；
（2）方法一：6头牛每天吃6份，而草每天长5份，实际相当于每天消耗1份草，一共能吃
180 ÷1 = 180 (天)；方法二：6头牛派 5 加头微牛信去：吃5每3天10新66生77长5的草，而1头牛吃原草，仍然是180天；
180 ÷(10−5) = 36
（3）方法同第二问， (天)；
180 +5×18 = 270
（4）方法一：18天，原草与新草一共是 (份)，吃了18天，所以每天
270 ÷18 = 15
要吃 (份)，所以需要15头牛；方法二：原草180份，吃18天，需要10头
牛，但是还要有5头牛吃每天新长的草，一共要15头牛；
180 ÷15+5 = 17
（5）方法同第四问， (头)．
练1 【答案】（1）2；（2）20；（3）12；（4）8；（5）6
【解析】（1）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以最多放
养2头牛；
（2）方法一：5头牛每天吃5份，而草每天长2份，实际相当于每天消耗3份草，一共能吃
60÷3 = 20
(天)；方法二：5头牛派2头牛去吃每天新生长的草，而3头牛吃原草，仍然是
20天；
60÷(7−2) = 12
（3）方法同第二问， (天)；
60+2×10 = 80
（4）方法一：10天，原草与新草一共是 (份)，吃了10天，所以每天要
80÷10 = 8
吃 (份)，所以需要8头牛；方法二：原草60份，吃10天，需要6头牛，但是还
要有2头牛吃每天新长的草，一共要8头牛；
60÷15+2 = 6
（5）方法同第四问， (头)．
例2 【答案】（1）14头；（2）5天
【解析】（1）设每头牛每天吃1份草，18头牛10天吃180份，24头牛7天吃168份．相差了
180 −168 = 12 10−7 = 3
(份)，是因为多长了 (天)的草，所以草每天的生长量是
12÷3 = 4
( 份 ) ． 10 天 共 有 180 份 ， 10 天 长 了 40 份 新 草 ， 所 以 原 草 量 是
180 −40 = 140
(份)．140份草要14天吃完，需要10头牛，其中还需要4头牛吃每天的新
10+4 = 14
草，一共需要 (头)牛；
（2）32头牛中有4头牛吃新草，剩下28头牛吃原有的140份草，所以需要吃
140 ÷28 = 5
(天)．
练2 【答案】（1）18头；（2）12头
【解析】（1）设每头牛每天吃1份草，24头牛6天吃144份，21头牛8天吃168份．相差了
168 −144 = 24 8−6 = 2
(份)，是因为多长了 (天)的草，所以草每天的生长量是
24÷2 = 12
( 份 ) ． 6 天 后 是 144 份 ， 6 天 长 了 72 份 新 草 ， 所 以 原 草 量 是
144 −72 = 72
(份)．72份草要12天吃完，需要6头牛，其中还需要12头牛吃每天的新
6+12 = 18
草，一共需要 (头)牛；（2）要使得草永远吃不完，放养的牛数又要最多，就一定是长多少吃多少，所以需要放
养12头牛．
例3 【答案】90只；40天
【解析】（1）设每只羊每天吃1份草，38只羊25天吃950份，30只羊30天吃900份．相差了
950 −900 = 50 30−25 = 5
(份)，是因为多枯萎了 (天)的草，所以草每天的枯萎量是
50÷5 = 10 30×10 = 300
(份)．30天后是900份，30天枯萎了 (份)草，所以原草量是
900 +300 = 1200
(份)．1200份草要12天吃完，即每天减少100份，其中每天枯萎10份
草，所以每天羊吃90份草，所以放养90只羊；
（2）每天枯萎10份，放养20只羊，则每天一共减少30份，把1200份草吃光，需要
1200÷30 = 40
(天)．
练3 【答案】（1）67头；（2）35天
【解析】（1）设每头牛每天吃1份草，32头牛24天吃768份，27头牛28天吃756份．相差了
768 −756 = 12 28−24 = 4
(份)，是因为多枯萎了 (天)的草，所以草每天的枯萎量是
12÷4 = 3 24×3 = 72
(份)．24天后是768份，24天枯萎了 (份)草，所以原草量是
768 +72 = 840
(份)．840份草要12天吃完，即每天减少70份，其中每天枯萎3份草，所
以每天牛吃67份草，所以放养67头牛；
（2）每天枯萎3份，放养21头牛，则每天一共减少24份，把840份草吃光，需要
840 ÷24 = 35
(天)．
例4 【答案】10天
【解析】设 每 只 羊 每 天 吃 1 份 草 ． 14 头 牛 可 换 为 56 只 羊 ， 所 以 56 只 羊 30 天 吃
56×30 = 1680 70×16 = 1120
(份)；70只羊16天吃 (份)．草每天的生长量是
(1680−1120)÷(30−16) = 40 1680−30×40 = 480
(份)，原草量是 (份)．17头牛
和20只羊相当于88只羊，其中有40只羊吃新草，剩下48只羊吃480份原草，需要10天．
练4 【答案】30天
【解析】设 每 只 羊 每 天 吃 1 份 草 ． 20 头 牛 可 换 为 60 只 羊 ， 所 以 84 只 羊 18 天 吃
84×18 = 1512 99×15 = 1485
(份)；15头牛可换为45只羊，所以99只羊15天吃 (份)．
(1512−1485)÷(18−15) = 9
每 天 的 生 长 量 是 ( 份 ) ， 原 草 量 是
1512−9×18 = 1350
(份)．12头牛和18只羊相当于54只羊，其中有9只羊吃新草，剩
下45只羊吃1350份原草，需要30天．
挑战极 【答案】6天
限1 【解析】设每头牛每天吃1份草，15头牛8天吃120份；15头牛7天，2头牛5天吃
15×7+2×5 = 115 (120 −115)÷(8−7) = 5
(份)．每天草的生长量是 (份)．原草量120 −5×8 = 80
是 (份)．如果15头牛吃了2天，有5头牛吃新草，相当于还有10头牛在
80−10×2 = 60
吃原草，原草还剩下 (份)．20头牛中5头牛吃每天新长的草，剩下的15
60÷15 = 4 2+4 = 6
头牛吃原草，需要 (天)．一共用了 (天)．
挑战极 【答案】6根
限2 【解析】设每根水管每小时排1份水，8根3小时排24份水，5根6小时排30份水，雨水每小时注入
(30−24)÷(6−3) = 2 24−2×3 = 18
(份)水，池内原有 (份)水．2根排水管用来排新
18÷4.5 = 4
注入的雨水，原水需要 (根)排水管，一共需要同时打开6根水管．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 11 讲 牛顿问题
自我巩固答案
1 【答案】24
48×6 = 288 42×8 = 336
【解析】设每头牛每天吃草1份， (份)， (份)，所以草每天生长量为
(336 −288)÷(8−6) = 24
(份)．要想草永远吃不完，牛每天吃掉的草不能超过草每天
长的量，最多可放养24头牛，原草量不变．
2 【答案】32
【解析】设 1 头 牛 1 天 吃 1 份 草 ， 那 么 这 片 牧 场 每 天 草 生 长
(20×16−24×12)÷(16−12) = 8 20×16−16×8 = 192
(份)，原有草 (份)．8天
192 ÷8+8 = 32
吃完，则有 (头)牛．
3 【答案】1
3×40 = 120 5×20 = 100
【解析】设每只羊每天吃草1份，把牛转换为羊， (份)， (份)，草每天
(120 −100)÷(40−20) = 1
长 (份)，可供1只羊吃一天．
4 【答案】4
8×8 = 64 10×6 = 60
【解析】设1头牛1天吃1份草， （份）， （份），草每天生长量为
(64−60)÷(8−6) = 2 60−6×2 = 48
（份），原草量是 （份）．放养14头牛，那么
48÷(14−2) = 4
经过 (天)草就吃完了．
5 【答案】30
20×5 = 100 16×6 = 96
【解析】设1头牛1天吃1份草， (份)， (份)，比较发现草每天枯萎
(100 −96)÷(6−5) = 4 4×5 = 20
(份)．所以5天草共枯萎 (份)， 原 草 量 是
100 +20 = 120 120 ÷4 = 30
(份)，没有牛的话，一共需要 (天)草全部枯萎．6 【答案】16
【解析】设 1 头 牛 1 天 吃 1 份 草 ， 那 么 这 片 牧 场 每 天 草 减 少
(20×6−25×4)÷(25−20) = 4 (6+4)×20 = 200
(份)，原有草 (份)．10天吃完，
200 ÷10−4 = 16
则有 (头)牛．
7 【答案】50
8×30 = 240 10×25 = 250
【解析】设1头牛1天吃1份草， (份)， (份)，比较得草每天枯萎
(250 −240)÷(30−25) = 2 240 +30×2 = 300
(份)，原草量是 (份)．有4头牛时，每
4+2 = 6 300 ÷6 = 50
天草的减少量是 (份)，所以经过 (天)草吃完了．
8 【答案】8
【解析】设1头牛1天吃1份草，5天吃了100份，6天吃了96份．每天减少的草量：
(5×20−6×16)÷(6−5) = 4 20×5+4×5 = 120
(份)，总共原有草量： (份)，所
120 ÷(11+4) = 8
以11头牛可以吃 (天)．
9 【答案】25
【解析】设 1 头 牛 1 天 吃 1 份 草 ， 那 么 这 片 牧 场 每 天 生 长
(10×20−15×10)÷(20−10) = 5 (10−5)×20 = 100
(份)，原有草 (份)．如果要5
100 ÷5+5 = 25
天吃完，则需要放养 (头)牛．
10 【答案】16
【解析】只需按照1头牛相当于3只羊将牛羊统一即可．设1只羊1天吃1份草，那么这片牧场每天草
(54×40−72×25)÷(40−25) = 24
生 长 ( 份 ) ， 原 有 草
(54−24)×40 = 1200
( 份 ) ． 17 头 牛 与 48 只 羊 ， 相 当 于 99 只 羊 ， 可 以 吃
1200÷(99−24) = 16
(天)．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 11 讲 牛顿问题
课堂落实答案
1 【答案】8
2 【答案】3
3 【答案】10
4 【答案】10
5 【答案】12思维创新 / 四年级 / 春季
第 12 讲 首尾相连
例题练习题答案
例1 【答案】2660
1×2 = (1×2×3−0×1×2)÷3
【解析】 ；
2×3 = (2×3×4−1×2×3)÷3
；
3×4 = (3×4×5−2×3×4)÷3
；
……
19×20 = (19×20×21−18×19×20)÷3
；
= (19×20×21−0×1×2)÷3=2660
原式 ．
练1 【答案】41650
1×2 = (1×2×3−0×1×2)÷3
【解析】 ；
2×3 = (2×3×4−1×2×3)÷3
；
3×4 = (3×4×5−2×3×4)÷3
；
……
49×50 = (49×50×51−48×49×50)÷3
；
= (49×50×51−0×1×2)÷3=41650
原式 ．
例2 【答案】332860
11×12 = (11×12×13−10×11×12)÷3
【解析】 ；
12×13 = (12×13×14−11×12×13)÷3
；
13×14 = (13×14×15−12×13×14)÷3
；
……
99×100 = (99×100 ×101 −98×99×100)÷3
；
= (99×100 ×101 −10×11×12)÷3=332860
原式 ．
练2 【答案】41538
7×8 = (7×8×9−6×7×8)÷3
【解析】 ；
8×9 = (8×9×10−7×8×9)÷3
；
9×10 = (9×10×11−8×9×10)÷3
；
……49×50 = (49×50×51−48×49×50)÷3
；
= (49×50×51−6×7×8)÷3=41538
原式 ．
例3 【答案】（1）4480；（2）4046．
(1)2×4 = (2×4×6−0×2×4)÷6
【解析】 ；
4×6 = (4×6×8−2×4×6)÷6
；
6×8 = (6×8×10−4×6×8)÷6
；
……
28×30 = (28×30×32−26×28×30)÷6
；
= (28×30×32−0×2×4)÷6=4480
．
(2)1×3 = 1×3
；
3×5 = (3×5×7−1×3×5)÷6
；
5×7 = (5×7×9−3×5×7)÷6
；
7×9 = (7×9×11−5×7×9)÷6
；
……
27×29 = (27×29×31−25×27×29)÷6
；
= (27×29×31−1×3×5)÷6+1×3=4046
．
练3 【答案】（1）2288；（2）215．
(1)2×4 = (2×4×6−0×2×4)÷6
【解析】 ；
4×6 = (4×6×8−2×4×6)÷6
；
6×8 = (6×8×10−4×6×8)÷6
；
……
22×24 = (22×24×26−20×22×24)÷6
；
= (22×24×26−0×2×4)÷6=2288
．
(2)1×3 = 1×3
；
3×5 = (3×5×7−1×3×5)÷6
；
5×7 = (5×7×9−3×5×7)÷6
；
7×9 = (7×9×11−5×7×9)÷6
；
9×11 = (9×11×13−7×9×11)÷6
；
= (9×11×13−1×3×5)÷6+1×3=215
．
例4 【答案】（1）8788；（2）16490．
(1)4×7 = (4×7×10−1×4×7)÷9
【解析】 ；
7×10 = (7×10×13−4×7×10)÷9
；10×13 = (10×13×16−7×10×13)÷9
；
……
40×43 = (40×43×46−37×40×43)÷9
；
= (40×43×46−1×4×7)÷9=8788
．
(2)2×5 = 2×5
；
5×8 = (5×8×11−2×5×8)÷9
；
8×11 = (8×11×14−5×8×11)÷9
；
11×14 = (11×14×17−8×11×14)÷9
；
……
50×53 = (50×53×56−47×50×53)÷9
；
= (50×53×56−2×5×8)÷9+2×5=16490
．
练4 【答案】（1）11000；（2）10410．
5×10 = (5×10×15−0×5×10)÷15
【解析】（1） ；
10×15 = (10×15×20−5×10×15)÷15
；
… …
50×55 = (50×55×60−45×50×55)÷15
；
= (50×55×60−0×5×10)÷15 = 11000
．
4×9 = 4×9
（2） ；
9×14 = (9×14×19−4×9×14)÷15
；
14×19 = (14×19×24−9×14×19)÷15
；
… …
49×54 = (49×54×59−44×49×54)÷15
；
= (49×54×59−4×9×14)÷15+4×9 = 10410
．
挑战极 【答案】（1）35910；（2）87360．
限1 【解析】 (1)1×2×3 = (1×2×3×4−0×1×2×3)÷ ； 4
2×3×4 = (2×3×4×5−1×2×3×4)÷4
；
3×4×5 = (3×4×5×6−2×3×4×5)÷4
；
……
18×19×20 = (18×19×20×21−17×18×19×20)÷4
；
=(18×19×20×21−0×1×2×3)÷4=35910
原式 ．
(2)2×4×6 = (2×4×6×8−0×2×4×6)÷8
；
4×6×8 = (4×6×8×10−2×4×6×8)÷8
；6×8×10 = (6×8×10×12−4×6×8×10)÷8
；
……
26×28×30 = (26×28×30×32−24×26×28×30)÷8
；
=(26×28×30×32−0×2×4×6)÷8=87360
原式 ．
挑战极 【答案】6764
限2 【解析】 a 1 = a 3 −a 2；
a = a −a
2 4 3；
a = a −a
3 5 4；
……
a = a −a
17 19 18；
a = a −a
18 20 19；
=a −a = 6765−1 = 6764
原式 20 2 ．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 12 讲 首尾相连
自我巩固答案
1 【答案】440
1×2 = (1×2×3−0×1×2)÷3
【解析】 ；
2×3 = (2×3×4−1×2×3)÷3
；
⋯⋯
10×11 = (10×11×12−9×10×11)÷3
；
= (10×11×12−0×1×2)÷3 = 10×11×12÷3 = 440
原式
2 【答案】2658
2×3 = (2×3×4−1×2×3)÷3
【解析】 ；
3×4 = (3×4×5−2×3×4)÷3
；
⋯⋯
19×20 = (19×20×21−18×19×20)÷3
；
= (19×20×21−1×2×3)÷3 = 2658
原式
3 【答案】1760
2×4 = (2×4×6−0×2×4)÷6
【解析】 ；4×6 = (4×6×8−2×4×6)÷6
；
⋯⋯
20×22 = (20×22×24−18×20×22)÷6
；
= (20×22×24−0×2×4)÷6=1760
原式 ．
4 【答案】358
1×3 = 1×3
【解析】 ；
3×5 = (3×5×7−1×3×5)÷6
；
5×7 = (5×7×9−3×5×7)÷6
；
⋯⋯
11×13 = (11×13×15−9×11×13)÷6
；
= (11×13×15−1×3×5)÷6+1×3=358
原式 ．
5 【答案】1527
3×5 = (3×5×7−1×3×5)÷6
【解析】 ；
5×7 = (5×7×9−3×5×7)÷6
；
⋯⋯
19×21 = (19×21×23−17×19×21)÷6
；
= (19×21×23−1×3×5)÷6 = 1527
原式 ．
6 【答案】1708
4×7 = (4×7×10−1×4×7)÷9
【解析】 ；
7×10 = (7×10×13−4×7×10)÷9
；
⋯⋯
22×25 = (22×25×28−19×22×25)÷9
；
= (22×25×28−1×4×7)÷9=1708
原式 ．
7 【答案】4290
1×2×3 = (1×2×3×4−0×1×2×3)÷4
【解析】 ；
2×3×4 = (2×3×4×5−1×2×3×4)÷4
；
⋯⋯
10×11×12 = (10×11×12×13−9×10×11×12)÷4
；
= (10×11×12×13−0×1×2×3)÷4=4290
原式 ．
8 【答案】4560
1×3×5 = 1×3×5
【解析】 ；
3×5×7 = (3×5×7×9−1×3×5×7)÷8
；5×7×9 = (5×7×9×11−3×5×7×9)÷8
；
⋯⋯
11×13×15 = (11×13×15×17−9×11×13×15)÷8
；
= (11×13×15×17−1×3×5×7)÷8+1×3×5=4560
原式 ．
9 【答案】6580
3×10 = 3×10
【解析】 ；
10×17 = (10×17×24−3×10×17)÷21
；
17×24 = (17×24×31−10×17×24)÷21
；
⋯⋯
45×52 = (45×52×59−38×45×52)÷21
；
= (45×52×59−3×10×17)÷21+3×10 = 6580
原式 ．
10 【答案】6006
1×2×3 = (1×2×3×4−0×1×2×3)÷4
【解析】 ；
2×3×4 = (2×3×4×5−1×2×3×4)÷4
；
⋯⋯
11×12×13 = (11×12×13×14−10×11×12×13)÷4
；
= (11×12×13×14−0×1×2×3)÷4 = 6006
原式 ．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 12 讲 首尾相连
课堂落实答案
1 【答案】728
2 【答案】960
3 【答案】808
4 【答案】2408
5 【答案】33000
思维创新 / 四年级 / 春季第 13 讲 集合
例题练习题答案
例1 【答案】6人；11景；17人
【解析】画出两个对象的文氏图，找到相应的数表示的区域．
36+20−50 = 6
（1） (人)．
18−12 = 6
（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个人去过的景有 (景)，墨莫共去
6+5 = 11
过 (景)．
（ 3 ） 这 里 要 把 重 复 的 区 域 去 掉 两 次 才 是 只 看 过 一 部 的 ， 共 有
12+21−8×2 = 17
(人)．
练1 【答案】83人
42+56−15 = 83
【解析】画出两个对象的文氏图，找到相应的数表示的区域． (人)．
例2 【答案】55人
【解析】画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部
分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．
150 +90 = 240
如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有 (人)，参加游泳比赛的人有
120 +70 = 190
( 人 ) ． 总 人 数 是 305 人 ， 那 么 游 泳 和 长 跑 都 参 加 的 人 有
240 +190 −305 = 125
(人)，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有
125 −110 = 15 70−15 = 55
(人)．那么只参加游泳的女生有 (人)．
120 +150 −110 = 160
此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有 (人)，那么女生有
305 −160 = 145 145 −90 = 55
(人)．只参加游泳的人有 (人)．
练2 【答案】70人
120 +80 = 200
【解析】如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有 （人），参加语文竞赛的人有
80+120 = 200
（ 人 ） ． 总 人 数 是 260 人 ， 那 么 数 学 和 语 文 都 参 加 的 人 有
200 +200 −260 = 140
（人），其中男生有75人，那么两样都参加的女生有
140 −75 = 65
（ 人 ） ． 那 么 只 参 加 一 科 竞 赛 的 女 生 有
(80−65)+(120 −65) = 70
（人）．例3 【答案】96支
【解析】首先画出文氏图，找到相应的数所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加
66+40+23 = 129 (支)，其中129支股票中G、E、F算了两次，H算了三次．去掉这些
重复计算的区域（G、E、F去掉一次，H去掉两次）， 129 −17−13−9 = 90 (支)，发
现G、E、F去掉了一次，但H去掉了三次，最后还要把H加上一次． 90+6 = 96 (支)．
练3 【答案】89平方分米．
40+36+27−5−7−4+2 = 89
【解析】三个对象容斥原理： (平方分米)．
例4 【答案】（1）33名；（2）9人
【解析】（1）难点是至少答对两道题的学生指的是哪个区域．至少答对两道题的区域是指这些重
10+6+4+8+5 = 33
叠的区域A、B、C、D，那么王老师班上有 （人）．
D = 1 A = 3 B+D+C = 8−3 = 5 5+4 = 9
（2） ， ， ，答对第3道题的有 （人）．
练4 【答案】150人
【解析】如图，只订阅一种报刊的是E、F、G三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A、B、C三
部分，共200人，三种报刊都订阅的是D部分，有50人，所以订报刊的人一共有
600 +200 +50 = 850
( 人 ) ， 学 校 一 共 有 1000 人 ， 所 以 没 有 订 报 的 人 有
1000−850 = 150
(人)．挑战极 【答案】24人
限1 【解析】遇到倍数关系时，一般情况下设最小的为“1”，有倍数关系的就好办了．这里面设3项活
动都参加的人数为“1”，那么文艺小组人数为“8”，既参加数学也参加文艺的人数
为“2”，既参加文艺又参加语文小组人数为“3”．
方 法 一 ： 根 据 文 氏 图 可 求 出 总 人 数 为
24+20+′′ 8′′ −′′ 2′′ −′′ 3′′ −10+′′ 1′′ = 34+′′ 4′′ = 46 ′′1′′ = 3
(人)，那么 (人)，文
′′8′′ = 24
艺小组有 (人)．
方法二：数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参
24+20−10 = 34
加语文和数学至少一门的人有 (人)，那么只参加文艺的人有
46−34 = 12 ′′4′′ = 12 ′′1′′ = 3
( 人 ) ， 这 部 分 人 有 ( 人 ) ， ( 人 ) ， 文 艺 小 组 有
′′8′′ = 24
(人)．
挑战极 【答案】4人
限2 【解析】要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图
如下，最后可得至少有4名学生三项都会．思维创新 / 四年级 / 春季
第 13 讲 集合
自我巩固答案
1 【答案】21
32+39−50 = 21
【解析】利用容斥原理， (人)．
2 【答案】9
45−29 = 16
【解析】至少有一科得满分的有 ( 人)， 利 用 容 斥 原 理 ， 语 文 满 分 的 有
16+3−10 = 9
(人)．
3 【答案】19
46−(14+17−4) = 19
【解析】先求出至少会一样的人数，再求两样都不会的人数． (人)．
4 【答案】68
100 −10 = 90
【解析】至 少 答 对 一 道 题 的 有 ( 人) ， 利 用 容 斥 原 理 ， 两 题 都 对 的 有
75+83−90 = 68
(人)．
5 【答案】17
15+10+6−(8+5+3)+2 = 17
【解析】利用三个对象之间的容斥原理，共 (种)糕点．
6 【答案】9
110 −(92+51+58−80−20) = 9
【解析】根据容斥原理，共有 (人)．7 【答案】12
【解析】画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有
92+51+30−35 = 138 150 −138 = 12
(人)．一个小组都没参加的有 (人)．
8 【答案】4
【解析】通过画图，为使3个人都做过的题目尽量少，就要使每道题尽量被两人做过．最少有
78+68+58−100 ×2 = 4
(道)．
9 【答案】40
【解析】设三种棋都会下的人数为“1”，那么只会下一种棋的人数为“10”，根据文氏图，
“10”+20+15+10−“2” = 77
(人)，“1”等于4．那么只会下一种棋的人有40人．
10 【答案】62
【解析】利 用 三 个 对 象 之 间 的 容 斥 原 理 ， 三 人 共 吃 过
20+21+22−9−10−11+5 = 38 100 −38 = 62
（道）菜，有 （道）三人都没吃
过．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 13 讲 集合
课堂落实答案
1 【答案】24
2 【答案】15
3 【答案】22
4 【答案】2
5 【答案】50
思维创新 / 四年级 / 春季第 14 讲 狄利克雷的苹果
例题练习题答案
例1 【答案】（1）5；（2）13．
【解析】（1）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的球中，每种颜色都有且仅有1个，再
4+1 = 5
任意取一个就可以满足要求．所以至少要取 (个)才能保证一定有两个颜色相同．
（2）利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有球中，每种颜色都有3个，再任意取一
4×3+1 = 13
个就可以满足要求.所以至少要取 （个）才能保证其中一定有四个颜色相
同.
练1 【答案】25个．
【解析】利用最不利原则，最倒霉的情况是：取的所有的积木中，每种形状都有且仅有2个，再任
12×2+1 = 25
取一个就可以满足要求．所以至少要取 (个)才能保证一定有三个形状相
同．
例2 【答案】21次
【解析】摸出两个球，颜色共有10种可能（枚举可得），即10个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的
情况是，摸出的所有球中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要
10×2+1 = 21
求．所以至少要取 (次)才能保证一定有三次摸出球的颜色情况是相同的．
练2 【答案】11次．
【解析】摸出4枚棋子，颜色共有5种可能（枚举可得），即5个抽屉．利用最不利原则，最倒霉的
情况是，摸出的所有棋子中，每一种颜色情况都出现了2次，再任意取一次就可以满足要
5×2+1 = 11
求．所以至少要取 (次)才能保证一定有三次摸出棋子的颜色情况是相同
的．
例3 【答案】每一列三个方格染色情况共有 A3 3 = 3×2×1 = 6 （种）可能．一共有7列，
7÷6 = 1⋯⋯1
，所以一定至少有两列染色方式是一样的．
练3 【答案】每一列两个方格染色情况共有 2×2 = 4 （种）可能．共5列， 5÷4 = 1⋯⋯1 ，所以
一定至少有两列染色方式是一样的．
例4 【答案】16个；16个
⋯⋯
【解析】（1）把1~30这30个数分为如下15组——（1，30）、（2，29）、（3，28）、
、（15，16），每一组的两个数之和都是31，而且不是同组的两个数之和一定不等于
31．利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意
15+1 = 16
取一个即可满足要求，所以至少要取出 (个)数，才能保证一定有两个数的和
等于31．
（2）把1~30这30个数进行如下分组：（1，4，7，10，13，16，19，22，25，28）
（2，5，8，11，14，17，20，23，26，29）
（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30）
共3组，每组有10个数，连续两个数的差都是3，不连续的3个数的差都不为3，而且不同
组的两个数之差一定不是3．
利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取5个，那么再任意取一个即可满足要求，所
5×3+1 = 16
以至少要取出 (个)才能保证一定有两个数的差为3．
练4 【答案】11个；11个．
【解析】（1）把1~20这20个数分为如下10组——（1，20）、（2，19）、（3，18）、……、
（10，11），每一组的两个数之和都是21，而且不是同组的两个数之和一定不等于21．
利用最不利原则，最倒霉的情况是，所取的所有数恰好是每组中各一个，那么再任意取一
10+1 = 11
个即可满足要求，所以至少要取出 （个）数，才能保证一定有两个数的和等
于21．
（2）把1~20这20个数进行如下分组：
（1，6，11，16）
（2，7，12，17）
（3，8，13，18）
（4，9，14，19）
（5，10，15，20）
共5组，每组有4个数，连续两个数的差都是5，不连续的2个数的差都不为5，而且不同组
的两个数之差一定不是5．利用最不利原则，每组都先隔一个取，即各取2个，那么再任意
2×5+1 = 11
取一个即可满足要求，所以至少要取出 (个)才能保证一定有两个数的差为
5．
挑战极 【答案】 2；将正方形等分成4个小正方形，9个点至少有3个点落入同一个小正方形，然后利用
限1 （1）的结论
【解析】（1）在边长为2的正方形中放入3个点，我们比较容易想到取正方形的三个顶点，三个顶
2×2÷2 = 2
点构成的三角形面积为 ．
2
我们现在说明任何三个点构成的三角形面积不会超过 ．如图，如果放入的三个点是A，B，C，过A，B，C作3条平行于正方形的边的直线，与正方
形的另外一条边相交于F，G，D，E，M，N，其中过A的线段FG与BC相交于H．
由于三角形ACH的面积最大为长方形DEFG的一半，三角形ABH的面积最大为长方形
FGMN的一半，因此三角形ABC的面积最大为长方形DENM的一半．而长方形DENM面积
最大为4，所以三角形ABC的面积最大为 2 ．
（2）由（1）的结论可知，正方形内3个点构成的三角形面积不超过正方形面积的一半．
2
现在要说明有3个点构成的三角形面积不超过 ，那么我们考虑找出3个点，使得它们在一
4
个面积为 的正方形内．
4
如图，将边长为4的正方形分成4个相等的小正方形，则每个小正方形的面积为 ．
9÷4 = 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅1
由于一共有9个点，一共4个小正方形， ，根据抽屉原理，必有3个
4÷2 = 2
点在同一个小正方形中，这3个点构成的三角形面积不超过 ．
挑战极 【答案】用实线相连表示认识，虚线相连表示不认识，如图，A和其他5个人，要么认识，要么不认
限2 识，所以一定有三条线是相同的，假设有3条是实线：接下来连接B、C、D三个人，每两
个人至少有两种连接方法，要么实线、要么虚线．如果有实线，则这两个人与A三人互相
认识；如果全是虚线相连，则B、C、D三人互相不认识．即证．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 14 讲 狄利克雷的苹果
自我巩固答案
1 【答案】21【解析】应用最不利原则，要保证一定有5个颜色相同，则首先每种颜色都取4个，再任取1个即
5×4+1 = 21
可．所以至少要取 (个)．
2 【答案】9
【解析】从盒子里左右手各摸出1枚围棋棋子，共有黑黑、黑白、白黑、白白四种可能．要保证有
三次摸出棋子颜色情况相同，应用最不利原则，当每种情况都出现了两次时，再随意摸出
2×4+1 = 9
一次，就一定有三次的颜色情况是相同的，即至少要摸出 (次)．
3 【答案】26
【解析】要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至50中，共有25
25+1 = 26
个奇数、25个偶数，所以至少要取出 (个)数，才能保证一定有两个数奇偶性
不同．
4 【答案】4
【解析】这4道题最后的得分情况共有0分、10分、20分、30分、40分这5种情况．共17个同学参
17÷5 = 3⋯⋯2
加，应用抽屉原理， ，至少有4个同学的总分是一样的．
5 【答案】15
⋯⋯
【解析】1至29，根据“和为30”进行如下分组：（1，29）、（2，28）、（3，27）、
、（14，16）、（15）共15组，其中第15组比较特殊，只有15一个数．要想让任意两个
数的和都不等于30，则不能在同一组中取数，所以最多只能在每组中取一个数，即最多可
以取出15个数．
6 【答案】52
【解析】1至100，根据“和为100”进行如下分组：（1，99）、（2，98）、（3，97）、
⋯⋯
、（49，51）、（50）、（100）共51组，其中最后两组比较特殊，分别只有
50、100一个数．要保证必有2个数之和为100，即要保证所取出的数中必有2个数是属于
同一组的．应用最不利原则，首先，每组中取一个数，接下来再任取一个即可，所以至少
要选出51+1=52(个)数．
7 【答案】B
【解析】6×6的方格表，行和、列和、对角线和共有14个．当把0、1、2填进去时，6个数的和最
2×6 = 12
小为0，最大为 ，共有13种可能，所以行和、列和、对角线和这14个数不可能
互不相同．
8 【答案】A
【解析】连接三条边的三个中点，把边长为2的正三角形分成4个边长为1的小正三角形，即构造出4
个抽屉，此时，把5个点放进去，则必定有一个小正三角形中至少放了2个点，那么这2个
点的距离一定不会大于这个小三角形的边长，即不大于1．9 【答案】13
【解析】应用最不利原则，要保证一定有4个颜色相同，则首先每种颜色都取3个，再任取1个即
4×3+1 = 13
可．所以至少要取 (个)．
10 【答案】51
【解析】要保证一定有两个数的和是奇数，即要保证一定有两个数奇偶性不同，1至100中，共有
50+1 = 51
50个奇数、50个偶数，所以至少要取出 (个)数，才能保证一定有两个数奇偶
性不同．
思维创新 / 四年级 / 春季
第 14 讲 狄利克雷的苹果
课堂落实答案
1 【答案】31
2 【答案】10
3 【答案】16
4 【答案】B
5 【答案】42
思维创新 / 四年级 / 春季
第 15 讲 期末复习（2课时）
期末试卷答案
1 【答案】240
2 【答案】5
3 【答案】2
4 【答案】24
5 【答案】减少
6 【答案】9
7 【答案】12
8 【答案】②9 【答案】8
10 【答案】18
11 【答案】8250
12 【答案】12
13 【答案】4
14 【答案】 7
15 【答案】 96
16 【答案】115
17 【答案】 18
18 【答案】400
19 【答案】2
20 【答案】（1）40 （2）120
