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第 2 课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程
1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点)
2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)
一、情景导入
某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为：s＝10t＋3t2，那么
行驶200m需要多长时间？
二、合作探究
探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解方程：－x2＋x－＝0.
解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即
可．
解：方程两边同除以－，得x2－5x＋＝0.
移项，得x2－5x＝－.
配方，得x2－5x＋(－)2＝－＋(－)2，
即(x－)2＝.
两边开平方，得x－＝±.
即x－＝或x－＝－.
所以x＝，x＝.
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易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；
(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配
方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．
探究点二：配方法的应用
【类型一】 利用配方法求代数式的值
已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值．
解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，
得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．
解：原等式可以写成：(a－)2＋(b－)2＝0.
∴a－＝0，b－＝0，解得a＝，b＝.
第 1 页 共 3 页∴a－4＝－4×＝－.
方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两
个数的平方和等于0的形式是解题的关键．
【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与 0 的关系
请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．
解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．
解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋()2＋7－()2＝(x－)2＋，而(x－)2≥0，
∴(x－)2＋≥.
∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．
方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采
用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负
数，从而就可以求出原代数式的最值．
【类型三】 利用配方法解决一些简单的实际问题
如图，一块矩形土地，长是48m，宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周
铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．
解析：若设花砖路面宽为xm，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量
关系：矩形草地的面积＝×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．
解：设花砖路面的宽为xm.根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝×48×24.
整理，得x2－36x＝－128.
配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x＝32(不合题意，舍去)，x＝4.
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故花砖路面的宽为4m.
方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所
列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实
际问题的解舍去．
三、板书设计
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
(1)把原方程化为一般形式；
(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；
(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；
(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(5)用直接开平方法解方程．
第 2 页 共 3 页通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元
二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，
通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.
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