培优01位置的确定与平面直角坐标系（6大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练

培优 01 位置的确定与平面直角坐标系（6 大题型） 题型1 用有序数对表示位置和路线 行列定位法：先定参照点，用（列数，行数）表示位置；路线分解为逐步移动指令（如"右3上2"→坐标 + (3,2)(3,2) )，注意方向正负． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小明在介绍郑州的时候，最准确的表述是（ ） A．北京的西南方向 B．北纬 C．东经 D．北纬 ，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标和方向，确定位置，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据坐标和方向、确定位 置的标准判定即可． 【详解】解：小明在介绍郑州的时候，准确的表述是郑州在北纬 ，东经 ， 故选：D 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）A．万达影城1号厅2排 B．东经 ，北纬 C．马尾一中南偏东 D．马尾沿山路 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标的运用，掌握运用坐标表示地理位置的方法是解题的关键． 根据坐标表示地理位置的方法即可解答． 【详解】解：A．仅给出影厅、排数，缺少座位号，无法确定具体位置，不符合题意； B．东经 和北纬 是地理坐标的两个参数，可唯一确定地球上的一个点，符合题意； C．仅给出方向（南偏东 ），缺少距离，无法确定具体位置，不符合题意； D．仅给出路名，未说明具体位置（如门牌号），无法准确定位，不符合题意． 故选B． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（ ） A．东经 ，北纬 B．东经 ，北纬 C．东经 ，北纬 D．东经 ，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了写出图中点的位置，根据图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，A地的位置是东经 ，北纬 ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《哪吒之魔童闹海》，如 果嘉嘉的座位10排7号可以用 表示，则 表示淇淇的座位为 ． 【答案】 排 号 【分析】本题考查了用有序实数对表示方位，第二个数表示第几排，第一个数表示在该排的第几号，据此 解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵ 排 号可以用 表示， ∴ 表示淇淇的座位为 排 号， 故答案为： 排 号．5．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，线段 、 、 的长度分别是 、3、 ，且 平分 ．若将A点表示为 ，B点表示为 ，则C点可表示为 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的表示方法，根据角平分线的定义，可得 的度数，根据角的和差，可得 的方向角，根据已知点的坐标的表示方法表示即可． 【详解】解：由题意得 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 的长度是 ， ∴C点可表示为 ． 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·广东广州·期末）在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对 列号，行号 确定．例如，字母“ ”对应有序数对 ．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别 对应以下有序数对： 、 、 ．请根据坐标写出该英文单词： ． 【答案】 【分析】本题考查有序数对表示位置，根据题意和图形，可以写出对应的字母，然后即可写出这个英语单词． 【详解】解： 对应的字母为 ， 对应的字母为 ， 对应的字母为 ， 这个英文单词为： ， 故答案为： 7．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【数对】象棋在中国有着三千多年的历史，趣味性强并成为广 泛流行的益智游戏，如图，棋子“车”的位置用数对 表示，那么棋子“炮”的位置用数对 表 示． 【答案】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据“车”的位置，可知有序数对第一个数表示列（从左 边数），第二个数字表示排（从下面数），进而可得“炮”的位置的数对． 【详解】解：根据题意可知棋子“炮”的位置用数对 表示， 故答案为： ． 8．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，在一个正方形网格的电焊网上挂着一朵花，这朵花的位置为 ，一只小蚂蚁的位置为 ，它只能沿着网格线爬行到达花的位置．比如： → → → 表示这只小蚂蚁爬到花朵上的一条路径．(1)请写出转弯最少的两条路径． (2)求（1）中两条路径围成的图形的面积． 【答案】(1)路径① → → ，路径② → → (2) 【分析】本题考查了坐标与图形， （1）根据转弯最少的要求，转弯一次即可到达； （2）两条路径围成的图形是正方形，由此即可得出答案. 【详解】（1）解：如图： 路径① → → ，路径② → → （2）图形的面积为 9．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上， 每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如： ．(1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数 和 分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线： ． 【答案】(1)马 ，炮 (2) 表示象， 表示卒 (3) 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是： （1）观察棋盘结合“马”“炮”所在的位置即可求解； （2）观察棋盘判断即可； （3）根据车的行走规则，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得马所在的位置用 表示，炮所在的位置用 表示； （2）解：根据题意，得 表示象的位置， 表示卒的位置； （3）解：根据题意，得 可以用 表示． 10．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在 的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬 行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为： ，从B到A的爬行路线为： ，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表 示上下爬行信息．(1)图中 （________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为 ，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为 ， ， ， ，最终到达点P，请在图中 标出点P的位置． 【答案】(1) ， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为 ， 故答案为： ， ， （2）解： ， ， 甲虫爬行的路程为 ； （3）解：点P如图所示． 题型2 方位角的应用以正北为基准，顺时针旋转角度即方位角（如东偏北45°=方位角45°）；解三角形问题需转直角坐标， 利用勾股定理和两点距离公式求距离增量． 11．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（ ） A．学校在小明家南偏东 的方向上，距学校 ； B．学校在小明家北偏东 的方向上，距学校 ； C．小明家在学校南偏西 的方向上，距学校 ； D．小明家在学校北偏东 的方向上，距学校 ． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角与距离表示位置，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角 叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：小明家与学校的相对位置描述正确的是：学校在小明家南偏东 的方向上，距学校 ； 或小明家在学校北偏西 的方向上，距学校 ． ∴B，C，D不符合题意，A符合题意 故选：A 12．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，某轿车行驶在该位置时，前方有四个路口分别为：开拓路、 复兴路、振兴路、建设路，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向（ ） A．开拓路 B．建设路 C．复兴路 D．振兴路 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角问题，根据导航提示“向右前方行驶”结合图象直接写出结论． 【详解】解：由图知，若导航提示“向右前方行驶”，此时司机应驶向振兴路， 故选：D．13．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的 是（ ） A．向南偏西 行走600米 B．向南偏东 行走400米 C．向北偏东 行走600米 D．向北偏西 行走400米 【答案】A 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置．依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西 右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答． 【详解】解：以学校为观测点，根据图形中的角度标识，小明从学校出发去少年宫的方向是南偏西 ， 由图可知，比例尺为1个单位长度代表200米，从学校到少年宫有3个单位长度， 所以距离为 米， 综上，小明从学校出发去少年宫的行走路线是向南偏西 行走600米． 故选A． 14．（24-25七年级下·山东临沂·期中）春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利 用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表 ，每个小正方形的对角 线长为 ），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是 和 ．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是 （ ） 李明：景点C的坐标是 ； 张华：景点C在景点D的北偏东 方向，相距 处．A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据景点A 和景点 的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定李明的说法；根据方位角的知识判定张华的说法． 【详解】解：根据景点A和景点 的坐标分别是 和 ，可知平面直角坐标系的原点在 景点 处，故李明的说法正确； 根据所规定的正东、正北方向，可知景点 在景点D的南偏西 方向，相距 处，故张华的说法 不对； 综上分析可知：只有李明说得对． 故选：A． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标 的 位置为 ，目标 的位置为 ，现有一个目标 的位置为 ，且与目标 的距离为5，则为 ． 【答案】120或300【分析】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 设中心点为点O， ，由勾股定理逆定理可知 ，且C有两个方向，即可确 定C的位置，即可得到答案． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在 中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为： 或 ． 故答案为：120或300 16．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，在一次测绘活动中，某同学站在点 处观测停放于 、 两 处的小船，测得船B在点A北偏东 方向80米处，船C在点A南偏东 方向60米处，则船B与船C之 间的距离为 米． 【答案】100 【分析】本题主要考查了方位角，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握方位角定义，证明 为直角三角形，由题意可知 ， ，从而得到 ，然后利用勾股定理即可求出 ． 【详解】解：由题意可知 ， ， ∴ ， ∵ 米， 米， ∴ 米． 故答案为100． 17．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）小青同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探 测得到的结果如图，每相邻两个圆之间的距离是 （小圆半径是 ），小艇C在游船的正南方 处， 则小艇A在游船的北偏东 ，距游船 处． 【答案】 30 3 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据小艇A到圆心的距离和方向角表示即可． 【详解】∵小艇C在游船的正南方 处，每相邻两个圆之间的距离是 ∴小艇A在游船的北偏东 ，距游船 处． 故答案为：30，3． 18．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5 个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题．(1)中山站在昆仑站（ ）方向，距离是（ ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北 方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南 方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西 ；500 (2)①②见详解 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向 的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海 新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解： （千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西 （或西偏北 ）方向，距离500千米． （2）解：① （厘米） 图如下： ② （厘米） 图如下：19．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶 米到游乐园，再向（ ）方向行驶（ ）米到图书 馆，最后向（ ）方向行驶（ ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶 回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行 米，他会迟到吗？ 【答案】(1)东偏北 （北偏东 ）、 、西偏北 （北偏西 ）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答 关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行 米所走的 路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶 米到游乐园，再向东偏北 （北偏东 ）方向行驶 米到图书馆，最后向西偏北 （北偏西 ）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北 （北偏东 ）、 、西偏北 （北偏西 ）、 ． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 20．（23-24六年级上·北京房山·期中）如果下面每个小正方形的对角线长 ，请按要求填一填，画一 画．(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是 ，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北 方向 处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 【答案】(1) ，图见解析； (2)图见解析； (3)东，南（或南，东）， ． 【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用． （1）从图上即可得出学校的位置； （2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可； （3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置． 【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是 ，公园的位置是 如图： （2）解：∵小桥在学校东偏北 方向 处， ∴用数对表示小桥的位置为： ，如图：（3）解：如图可知， 则公园位于小桥的东偏南或南偏东 方向上，距离是 ． 题型3 求点的坐标及坐标中的字母参数 几何特征转方程：点在轴上则一坐标为0；对称点用中点公式；平行轴则邻坐标相等。含参时分类讨论象 限位置列等式． 21．（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为 4，到y轴的距离为3，则点M的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查象限及点的坐标的有关性质，解题关键在于第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于 零． 利用点到坐标轴的距离和象限内点的特征进行求解即可． 【详解】解：∵点 位于第二象限， ∴横坐标为负数，纵坐标为正数， 由点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3得， 该点横坐标为 ，纵坐标为 ，∴点M的坐标是 ， 故选：C． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若点P在某直角坐标系的第四象限，且到x轴的距离为2，到y 轴的距离为3，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标； 根据第四象限中横坐标为正，纵坐标为负，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝 对值，可表示出点P的坐标． 【详解】解：∵点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标为3，纵坐标为 ，即 ， 故选：A． 23．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若点 在x轴上，则m的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次方程，根据点的坐标特征可得 ，再解方程即可． 【详解】解：点 在x轴上， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 24．（24-25八年级下·河北唐山·期末）若点 在第三象限，则x的值可以是（ ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征：第 三象限内的点的横坐标和纵坐标均为负数，判断即可．【分析】解：∵点 在第三象限， ∴其横坐标 和纵坐标均为负数，即 ， 只有B选项 为负数，满足题意， 故选B． 25．（24-25七年级下·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，点 位于 轴上，则 的值是 ． 【答案】 【分析】根据 轴上的点横坐标为 可得： ，然后进行计算即可解答． 本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： 点 位于 轴上， ， 解得： ， 故答案为： ． 26．（24-25七年级下·湖北随州·期末）长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点． 如图，是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为 ，表示湘江战役的点的坐标为 ，则表示会宁会师的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．由已知点建立平面直角坐标系， 得出原点位置，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：表示会宁会师的点的坐标为 ； 故答案为： 27．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中： (1)若点 在x轴上，求点P的坐标； (2)已知点 在第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查了点在坐标轴上和点在象限内的坐标特征，解一元一方程，解一元一次不等式组，正确 求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则 是解答此题的关键． （1）根据 轴上点的纵坐标为0列方程求解即可； （2）根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负进行列不等式组求解即可． 【详解】解：（1） 点 在x轴上， ， 解得 ， 点P的坐标为 ； （2） 点 在第四象限， ，解得 28．（24-25七年级下·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，已知点 (1)若点P的横坐标为2，求点P的坐标； (2)若 ，试判断点P所在的象限． 【答案】(1) (2)第三象限 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是： 第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ． （1）根据点P的横坐标为2可得 ，据此可得a的值，进而得出点P的坐标； （2）根据 ，可得 ， ，据此可得点P所在的象限． 【详解】（1）解：若点P的横坐标为2，则 ， 解得 ， ， 点P的坐标为 ； （2）若 ，则得 ， ， 点P所在的象限是第三象限． 29．（24-25七年级下·云南丽江·期中）已知点 ． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点 在第一象限， 轴，且 ，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离．熟练掌握平面直角坐标系中点坐 标的特征，两点之间的距离是解题的关键． （1）由点P在x轴上，可得 ，可求得 ，则 ，进而可得点P的坐标； （2）由 轴，可得 ，可求 ，则 ，得到点P的坐标为 ，由 ，由 点Q在第一象限，由此即可得答案．【详解】（1）因为点P在x轴上， 所以 ， 解得 ， 则 ， 所以点 的坐标为 ； （2）因为点Q坐标为 ，且 轴， 所以 ， 解得 ，则 ， 所以点 的坐标为 ． 因为 ，且点Q在第一象限， 所以 ， 解得 ． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点 ，分别根据下列条件求出点 的坐标． (1)点 在 轴上； (2)点 在 轴上； (3)点 的坐标为 ，直线 轴． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行直角坐标系上点的坐标特征，解一元一次方程，求代数式的值．熟练掌握以上知 识点是解题的关键． （1）根据在 轴上的点的纵坐标为 ，先求出 的值，即可求得点 的坐标； （2）根据在 轴上的点的横坐标为 ，先求出 的值，即可求得点 的坐标； （3）根据与 轴平行的直线上点的横坐标相同，先求出 的值，即可求得点 的坐标．【详解】（1）解：∵点 在 轴上， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 故点 的坐标为 ； （2）解：∵点 在 轴上， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ； （3）解：∵点 ，点 的坐标为 ，直线 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ． 31．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ． (1)若点P在过点 且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距 离为7，求m的值． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）因为点P在过点 且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐 标为 ，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中， 即可得到答案．本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加， 下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标 特征． 【详解】（1）解：∵P点在过点 且与y轴平行的直线上， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴点P的坐标为 ； （2）由题意知，点M的坐标为 ，即 ， ∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7， ∴ ， 解得 ． 32．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ． (1)若点 在 轴上，且线段 的长度为4，则点 的坐标为___________． (2)在平面直角坐标系中画出 ，则 的面积是___________． (3)已知 为坐标轴上一点，若 的面积为6，则点 的坐标是___________． 【答案】(1) (2)见解析；7(3) 或 或 或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，网格三角形的面积计算： （1）根据在x轴上的点纵坐标为0和线段 的长度为4，即可得到答案； （2）根据描点连线即可画出 ，再用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解； （3）分两种情况： 为x轴上一点时， 为y轴上一点时，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，点 在x轴上，且线段 的长度为4， 点 的坐标为 ， 故答案为： ； （2）解： 即为所求作三角形，如图所示， 的面积为： ； （3）解： 为x轴上一点时，设M点的坐标为 ， 的面积为6， ， ， ， 解得 或 ， 此时点M的坐标为 或 ； 为y轴上一点时，设M点的坐标为 ， 的面积为6， ， ，， 解得 或 ， 此时点M的坐标为 或 ； 综上分析可知：点M的坐标为 或 或 或 ． 题型4 在坐标系中描点及应用 横纵坐标对应轴刻度；多边形问题先标顶点再连线；图形面积问题经常使用用割补法或鞋带公式计算． 33．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，数轴上 四个点表示的数为 其中 的某一个． (1)直接写出点 表示的数分别为___________，___________，___________，___________； (2)将该数轴作为横轴，在平面内再画一条与该数轴垂直且公共原点的数轴建立平面直角坐标系，并在坐标 系中画出点 ． 【答案】(1) ； (2)见详解 【分析】该题考查了实数与数轴，平面直角坐标系，理解题意是解题的关键． （1）先求出 的范围，再根据数轴即可解答． （2）根据题意画出坐标系，再在坐标系中画出点 即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴点 表示的数分别为 ． （2）解：如图，即为所求．34．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 、 B(4,1)、 ． (1)在平面直角坐标系中，画出 ； (2)求 的面积． (3)画出 关于 轴对称的 (4)在 轴上画出点 ，使 的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了轴对称变换，三角形的面积，轴对称的性质求线段和最小值问题； （1）根据 的三个顶点坐标分别为 、B(4,1)、 ，描点连线，即可求解； （2）根据长方形的面积减去3个三角形的面积，即可求解； （3）根据轴对称的性质，找到 的对应点 ，顺次连接，即可求解；（4）作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 即为所求； 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解： 的面积为： ； （3）解：如图所示， 即为所求； （4）解：如图，点 即为所求 35．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知： ， ， ．(1)在坐标系中描出各点，画出 ； (2)求四边形 的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且 与四边形 面积相等，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) ， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，割补法求不规则图形面积等； （1）根据坐标描出各点，连线，即可求解； （2）由 即可求解； （3）由三角形面积得 ，可得 ，即可求解； 能熟练作图，并利用割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图，， 故四边形 的面积为 ； （3）解：由题意得 ， ， 解得： ， ， ， 解得： 或 ， 点P的坐标 ， ； 故答案为： ， ． 36．（24-25七年级下·北京·期末）已知， 在平面直角坐标系 中， 点 ， ， ．(1)若点A在x轴上，在坐标系中画出 并直接写出m的值； (2)将线段 先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段 ，其中点A，B的对 应点分别是点 ， ． ①若点 在y轴上， 求n的值和 的面积； ②若 ， 且 的面积为9， 求m的值． 【答案】(1) ，作图见解析 (2)① ， ② 或 【分析】本题考查点的坐标，平移的性质，三角形的面积； （1）根据x轴上点的特征得到 ，求出 值，然后描点作三角形即可； （2）①根据平移得到点 和 的坐标，然后根据y轴上点的特征求出n的值，然后利用三角形的面积公 式计算解答； ②根据三角形的面积求出n的值，然后根据角的度数得到点 的横纵坐标相等或互为相反数，求出m值即 可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ， ； 如图所示；（2）①解：点A平移后的点 坐标为 ，点B平移后的点 坐标为 ， ∵点 在y轴上， ∴ ， 解得 ， ∴ ； 解：∵ ， ∴点 在点C的右侧 ∵ ， 解得： ， ∴点 坐标为 ， ∵ ， ∴点 坐标为 或 ， 即 或 ， 解得 或 ． 37．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及 变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直 角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动．(1)请在图①中画出程序生成的三角形 及经过变换后的三角形 ； (2)小明想用此方法生成一个三角形 ，其顶点坐标分别是 ， ， ，请写出需要输入 的点A，B，C的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2) ， ， 【分析】本题考查的是根据点的坐标描点画图，新定义的含义； （1）根据 ， ， 先描点，再连接得到 ，根据程序可得 ， ， ，再描点画图即可； （2）根据程序特点可得答案. 【详解】（1）解：如图， ， 即为所求； （2）解：小明用此方法生成一个三角形 ，其顶点坐标分别是 ， ， ， ∴ ， ， . 38．（24-25七年级下·山西忻州·期末）已知点 ， 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)点 在第 象限，点 的坐标为 ． (2)点 的坐标为 ，请在平面直角坐标系中描出点 ． (3)点 的坐标为 ，则点 到 轴的距离为 ．若点 ， ，则 轴（填“平行”或 “垂直”）． 【答案】(1)一； (2)见解析 (3)1；平行 【分析】本题考查了各象限的点的坐标特征，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握平面直角坐标系中的 点的坐标特点是解题的关键． （1）根据象限的坐标特点求解即可； （2）根据坐标描点即可； （3）根据点到坐标轴的距离和即可得到点 到 轴的距离，由点 和 的纵坐标相等即可得到 平行 轴． 【详解】（1）由图可得，点 在第一象限，点 的坐标为 ； （2）如图所示，（3）∵点 的坐标为 ， ∴点 到 轴的距离为 ； ∵点 和 的纵坐标相等 ∴ 平行 轴． 39．（24-25七年级下·西藏·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，且 满足 ． (1)求点 两点的坐标，并直接写出 的面积； (2)若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标； (3)若点 是第四象限的一点， 点到 轴、 轴和直线 的距离分别记为 ，且满足 ； 直接写出点 的坐标． 【答案】(1) ， (2)(3) 的坐标 或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后求出点A、B的坐标，再求出三角形面积即可； （2）根据中点坐标公式，求出点P的坐标即可； （3）设点P的坐标为 ，则 ，分两种情况：当点P在 的内部时，当点P 在 外部时，分别画出图形，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， 解得： ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴根据中点坐标公式可知： ，即点 ； （3）解：∵ 点到 轴、 轴和直线 的距离分别记为 ，且满足 ， ∴设点P的坐标为 ，则 ， ， 当点P在 的内部时，连接 、 、 ，如图所示： ∵ ，∴ ， 解得： ， ∴点P的坐标为 ； 当点P在 外部时，连接 、 、 ，如图所示： ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴此时点P的坐标为 ， 综上分析可知：点P的坐标为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，两点间距离公式，算术平方根的非负性，中点坐标公式，解题的关 键是熟练掌握非负数的性质，求出点A、B的坐标． 题型5 两点距离公式的应用 直接套用公式： ；验证等腰/直角三角形时计算三边距离，勾股定理逆定理判 直角． 40．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴上运动，当 以点 、 ， 为顶点的三角形为等腰三角形时，点 的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分 三种情况讨论： 分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形 即可． 【详解】解：①当 时： 的长度为 ． 设 ，则 的长度为 ． 由 ，解得 或 ． 当 时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当 时，P 有效． ② ： 的长度为 ，由 ，解得 或 ． 对应的点 和 均不共线，有效． ③ ： 由 ，平方后解得 ． 点 与O、A不共线，有效． 综上，符合条件的点P共有4个： 、 、 、 ． 故选D． 41．（24-25八年级下·广西崇左·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：利用勾股定理可以得出两点 间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点 ， ，那么 ，即两点间的距离 ． 例如：若点 ， ，则 ．(1)若点 ， ，则 ___________； (2)在（1）的条件下，已知点 ，判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握两点间的距离公式是解 此题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为： ； （2）解： 是直角三角形，理由如下： ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点 ， ，其两点间的距离 ，同时，当两点所 在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ． (1)已知 、 ，则 ；(2)已知 轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为 ，则 ． (3)已知一个三角形各顶点坐标为 、 、 ，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)13 (2)6 (3)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，读懂题意，运用两点间距离 公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时的两点间距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出三角形的三边长，即可判定三角形的形状． 【详解】（1）解：∵ 、 ， ∴ ． 故答案为：13 （2）解：∵ 轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为 ， ∴ ． 故答案为：6 （3）解： 是等腰直角三角形，理由如下： ∵ 、 、 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形． 43．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点， ，其两点间的距离 ．同时，当两点所在的直线在坐标轴 或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 或 ． (1)已知 ， ，试求 、 两点间的距离； (2)求代数式 的最小值． (3)已知 ，在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形，若存在请直接写出点 的坐标；若不 存在说明理由． 【答案】(1) ； (2) (3) 或 或 或 ． 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，运用分类思想是解题 的关键． （1）利用公式代入即可； （2）由题意可得 相当于点 到点 和点 到点 的距离 之和，当且仅当三点共线且点 位于点 和点 之间时，距离之和最小，即可求出答案； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： 相当于点 到点 和点 到点 的距离之和， 当且仅当三点共线且点 位于点 和点 之间时，距离之和最小，即 取得最小值，即 的最小值为 （3）解：存在， ， ， 设 ， ∴ ， ， 当 时， ，则 ，解得 ，此时 或 ； 当 时， ，则 ，解得 或 （此时为P原点，舍去），此时 ； 当 时， ，则 ，解得 ，此时 ； 综上， 或 或 或 ． 44．（24-25八年级下·广东汕头·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点 ， ，我们把 叫做 ， 两点间的距离，记作 ．如 ， ，则 ． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若 ， ，直接写出 的值； (2)当 ， 的距离 时，求出 的值； (3)若在平面内有一点 ，使式子 有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1) ；(2) 或 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解 表示动点 到定点 的距离与动点 到定点 的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 由材料中两点之间的距离公式可知 ； （2）解： ， ， ，即 ， ，解得 ，即 或 ； （3）解：由材料中两点之间的距离公式可知 表示动点 到定点 的距离与动点 到定点 的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子 有最小值，则三点共线，且 在 两个定点之间， 则这个最小值为 ． 45．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点 、 ，其两点间的距离 ，同时，当两点 所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为 或 ．(1)已知 ，试求A、B两点间的距离______； (2)已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为 ，试求M、N两点的距离为 ______； (3)已知一个三角形各顶点坐标为 ，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使 的长度最短，求 的最短 长度． 【答案】(1)13 (2)5 (3) 为等腰直角三角形，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．关键是学会用两点间的 距离求两点的距离． （1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同，所以M、N间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值； （3）先利用两点间的距离公式计算出 ，然后即可判断 的形状； （4）如图，作F关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于P，则此时， 的长度最短，根据两点间 距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 故答案为：13； （2）解：因为M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为 ， 所以， ， 故答案为：5； （3）解： 为等腰直角三角形．理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形； （4）解：如图，作F关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于P， ∴ ， ∴ ， 根据两点之间线段最短知 的最小值为 的长， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ 的最短长度为 ． 题型6 中点坐标公式的应用 中点即平均数：坐标 ；求对称中心、平行四边形顶点或线段比例点均可用此公式转化． 46．（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点 ，轴，点 的纵坐标为 ．则以下说法正确的是（ ） A．当 时点P是线段 的中点 B．无论 取何值，线段 的长度恒为3 C．存在唯一一个 的值，使得 D．存在唯一一个 的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据 的坐标分别求 得 ，求出m的值，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点 ， 当 ，则 ， ， ， ∵ ，即点P不是线段 的中点，故A选项错误； ∵点 ， ∴ ， ∴ 不是定值，故B选项错误； ∵ 轴，点 的纵坐标为 ， ， ∴ ， ∵ ， ， 当 时， 则 或 ， 解得： 或 ， 即有2个m的值，故C选项错误；当 时，则 或 （无解）， 解得： ， 即有1个m的值，故D选项正确． 故选：D． 47．（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形 的四个顶点坐标分别是 ， ， ， ， 为 的中点， 是 轴正半轴上一个动点，若 为等腰三角形，则点 的坐标为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐 标，设 ，分三种情况讨论∶ ； ； ，根据两点间距离公式构建关 于m的方程求解即可． 【详解】解∶∵ ， ， 为 的中点， ∴ ，即 ， ∵ 是 轴正半轴上一个动点， ∴设 ， 当 时， ， ∴点 的坐标为 ； 当 时，， 解得 ， ∴点 的坐标为 ； 当 时， ， 解得 或 ∴点 的坐标为 ； 综上， 点 的坐标为 或 或 ， 故答案为∶ 或 或 ． 48．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 ， ，将线段 向右平移4个单位长度后得到线段 ，再将线段 向下平移4个单位长度后得到 线段 ． (1)请画出平移后的线段 和 ； (2)连接 ， ， ，分别写出三条线段的中点坐标；(3)若点 和 ，直接写出线段 的中点坐标． 【答案】(1)见详解 (2) ； ； (3) 【分析】（1）根据平移的方向及距离即可作图； （2）观察图像即可得解． （3）设线段 的中点坐标为 ，根据 ， 求出 ， 即可得线段 的中点坐标． 【详解】（1）解：如图，线段 和 即为所求； （2）解：观察图像可得： 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ． （3）解：若点 和 ，设线段 的中点坐标为 ， 设 ， ，则 ， 解得 ， ， 解得 ， ∴线段 的中点坐标为 ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和求线段中点坐标，熟练掌握平移的口诀：上加下减， 左加右减是解题的关键． 49．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点 为端点的线段 的中点坐标为 ．例如：点 ，则线段 的中点坐标为 ． 请利用以上结论解决问题： (1)若点 ， ，则以点 和点 为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点 ，若 为线段 的中点，求点 的坐标． (3)已知点 和点 的坐标分别为 ，线段 与 轴平行，且 ．若线段 的中点与线 段 的中点在第一象限重合，直接写出点 的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点 的坐标为 ，根据中点坐标公式分别建立关于 的方程求解即可；（3）先求出点H的坐标，再求出线段 的中点坐标为 ，进而得到线段 的中点坐标为 ，同 理（2）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴以点 和点 为端点的线段的中点坐标为 ，即 ， 故答案为： ； （2）解：设点 的坐标为 ， 由题意得 ， 解得 ， 点 的坐标为 ； （3）解： 点 ，线段 与 轴平行，且 的中点在第一象限， ∴点 在第一象限，且纵坐标为 ， ∵ ， 点 的坐标为 ， 线段 的中点坐标为 ， 线段 的中点坐标为 ， 点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ． 50．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点 ，点 ，且a，b满足关系式(1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形 的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线 第一象限上的点，连接 ，当三角形 的面积为12时，求点D的坐标． 【答案】(1) ， (2) 或 (3) 【分析】本题考查三角形的面积、绝对值和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质，掌握绝对值和算术 平方根的非负性质、三角形面积计算公式、中点坐标公式是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性质计算即可求得点A和点B的坐标； （2）根据三角形面积公式求出 ，再分别计算当点C在点B的左边、右边时对应的坐标即可； （3）根据三角形面积公式求出三角形 的面积为24，三角形 的面积正好是三角形 的面积的 一半，从而证明点D是 的中点，再由中点坐标公式求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 点A的坐标为 ，点B的坐标为 故答案为： ， ； （2）解： ， ，即 ， ， 则 ， ，点C的坐标为 或 （3）解： ， ， ， ， ， 点D是 的中点， ， ， 点D的坐标为 51．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知点 ， ， ， ，在如图所示 的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段 和 的中点 ， ，则点 的坐标为_____， 点 的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为 ， ，则这条线段的中点坐标为 _____； ②若点 ， ，用上述结论直接写出线段 的中点坐标． 【答案】（1）见解析， ， ；（2）① ；② 【分析】本题考查了在坐标系内描点、中点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）①根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； ②利用①中的规律进行分类讨论即可答题． 【详解】解：（1）如图所示： ， ， （2）① ②线段 的中点坐标为 ，即 ． 培优综合练 52．（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对 表示第 排，从左到右第 个数，如 表示9，则表示2024的有序数对是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然 后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有： 个数， ∵当 时， ， 当 时， ， ∴2024在第64排， ∵ ， ∴表示2024的有序数对是 ． 故选：C． 53．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为 ， ， ．若在第二象限内有一点 ，且四边形 的面积是 的面积的 ，则点P 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出 和的面积，再结合四边形 的面积是 的面积的 得出 的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵ 的顶点坐标分别为 ， ， ， ∴ ， ． 又∵四边形 的面积是 的面积的 ， ∴四边形 的面积为 ， ∴ ， 则 ， 解得 ， 所以点P的坐标为 ． 故答案为： ． 54．（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 到 轴、 轴的距离的较大 值称为点 的“长距”，点 到 轴、 轴的距离相等时，称点 为“角平分线点”． (1)点 的“长距”为______； (2)若点 的长距为4，且点 在第二象限内，点 的坐标为 ，请判断点 是否为 “角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)点 是“角平分线点”．见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）先根据“长距”的定义求解得到 ，再据“角平分线点”的定义解答即可； 【详解】（1）解：由题意得：点 到 轴、 轴的距离的较大值称为点 的“长距”， ∵ ，∴点 的“长距”为5， 故答案为：5； （2）解：∵点 的长距为4，且点 在第二象限内， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ， ∴点 到 轴、 轴的距离都是5， ∴点 是“角平分线点”． 55．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， 且满足 ，点 、点 同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位长度的速 度匀速移动， 点从 点出发沿 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1) 和 位置关系是_______； (2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ． ①请分别用含t的式子表示 和 的面积； ②若 ，求出点P的坐标； (3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系． 【答案】(1)平行；(2)① ；② ； (3) 或 【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握 非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键； （1）根据非负数的性质分别求出 、 ，得到点 、 、 的坐标，根据坐标与图形性质判断 和 位置关系； （2）①过 点作 于 ，设时间经过 秒， ，则 ， ， ， ， ，根据 ， ，代入即可求解；②根据 ， 由①得 ，求解得 ，即可求得 、 值，从而得出点 坐标； （3）分点 在点 的上方、点 在点 的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ； （2）解：①过 点作 于 ， 设时间经过 秒， ，则 ， ， ， ， ，， ， ② ， 解得， ， ， ， 点 的坐标为 ； （3）解： 或 ． 理由如下： ①当点 在点 的上方时，过 点作 ，如图2所示， ， ， ， ， ， ，即 ； ②当点 在点 的下方时；过 点作 如图3所示，， ， ， ， ， ， ， 即 ， 综上所述， 或 ． 56．（24-25七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ， ， 其中， 点A在第一象限， 且满足 ， ． (1)请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为 A ， B ， C ． (2)动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线 的方向运动，连接 ，设点P的运动时间为 t秒，三角形 的面积为 ，请用含t的式子表示S (写出相应的t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线 的方向运动．分别过点O，Q作直线 的垂线，垂足分别为点 G，H．当 时，求t的值．【答案】(1)图见解析， (2) (3) 或 【分析】本题考查坐标与图形，两点间得距离，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解 题的关键： （1）由题意，易得： 轴，进而标出点B 和点C的大致位置，得到 ，根据 ， ，求出 的 值，进而写出三个点的坐标即可； （2）分 和 两种情况进行讨论求解即可． （3）分 和 两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵ ， ， ，点A在第一象限， ∴ 轴，标出点B 和点C的大致位置如图： ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ∵动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线 的方向运动，∴当点 运动到点 时， ， ∴当 时， ， ； 当 时， ， ∴ ； 综上： （3）①当 时，则： ，由（1）知： ， ∴ ， 由（2）知： ， ∵ ， ， ， 轴， ∴ 相当于把 扩大 倍得到的， ∴ ， ∴ ，解得： ； 当 时，同理： ，解得： ； 综上： 或 ． 57．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中， 的三个顶点为 ，且满足 ，线段 交 轴于点 ，点 为 轴上一动 点（点 不与点 重合）． (1)求点 、 、 的坐标． (2)如图2，当点 在 轴负半轴上运动时，过点 作 ，分别作 的平分线交于点 ， 试问在点 的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出 的 值． (3)在 轴上是否存在这样的 点， ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)不变，值为 ； (3)存在， 或 ． 【分析】（1）根据 和平方的非负性、二次根式的非负性、绝对值的非负性，求出： 、 、 的值，从而可得点 、 、 的坐标； （2）过点 作 ，根据两直线平行，内错角相等，可得： ， ， ，从而可得： ，根据角平分线的定义可知 ， ，从而可求 ； （3）当点 在 轴上方时，过点 作 轴于 ，根据 可得： ，又因为 ，可得关于 的一元一次方程 ，解方程求出 的坐标即可得到 点 的坐标；当点 在 轴下方时，过点 作 轴于 ，根据 ，可得： ，因为 ，可得关于 的一元一次方程 ，解方程求出 的值，即可得到 点 的坐标． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， 解得： ， ， ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ； （2）解： ， 如下图所示，过点 作 ， ， ，， ， ， ， ， 、 分别为 、 的平分线， ， ， ； （3）解：设 ， 如下图所示，当点 在 轴上方时，过点 作 轴于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点 在 轴下方时，过点 作 轴于 ， 同理可得 ，， ， ， ； 综上所述，点 的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形与坐标、平行线的性质、解一元一次方程、角平分线的定 义，解决本题的关键是根据角平分线的定义和平行线的性质找角之间的关系． 58．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，且 与 是一个正 实数的两个不同平方根， 轴，且 ，点C在x轴的正半轴， 的平分线 交 于点 D，过点A作 ，交 于点E，点F是线段 上一点，且 ． (1)求点B的坐标． (2)若 ，求 的度数． (3)点P在线段 上， ，直线 交 于点Q，求 的值． 【答案】(1)(2) (3) 【分析】（1）由平方根的定义计算得出 ，从而得出 ，再结合 轴即可得解； （2）先求出 ，再由平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义可得 ，由平行线的性质得出 ，结合题意计算即可得解； （3）设 ， ，则 ， ，由平行线的性质可 得 ，由角平分线的定义可得 ，再由平行线的性质得出 ， 表示出 ， ，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵ 与 是一个正实数的两个不同平方根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ；（3）解：设 ， ，则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平方根的定义、坐标与图形、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点 并灵活运用是解此题的关键． 59．（24-25七年级下·广东潮州·期中）综合与实践 （ ）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点 ， ， ， ，连接 ， ， ， ， ，并依次取 ， ， ， ， 的中点 ， ， ， ， .观察图形， 直接写出 ， ， ， ， 各点的坐标； （ ）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段 两端点坐标分别为 ， ，线段 的中点是 ，请用等式表示你所观 察的规律为 __________， __________，并用 ， 的坐标验证规律是否正确； （ ）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点 ， ，则线段 的中点 的坐标为__________； 已知点N是线段 的中点，且点 ， ，求点 的坐标. 【答案】（ ） ， ， ， ， ； （ ） ， ，验证见解析； （ ） ； ． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点 坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点 ， ， ， ， 的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段 的中点是 的横坐标、 y y 纵坐标分别是 ，y  1 2 ；因为点 ， 分别为 ， 的中点，根据（1）中的规律验证 0 2 G I CD BD 即可； （3） ① 根据点 M 1 9,5 ， M 2 11,17 ，点 M 是线段 M 1 M 2的中点，利用 1 中的规律求出点 M 的坐标即 可； m12 n15 ② 设点N 的坐标为m,n，根据规律可得： 2 1， 2 2，解方程即可求出点N 的坐标即可． 2 2  5  7 【详解】（1）解：由图可知：点E，F ，G，H，I 的坐标分别为： E5,1 ， F  2, 2  ， G  5, 2  ， H2,5 I1,1 ， ； （2）解：由（1）中的规律可知：x,y  Q x ,y  点P的坐标是 1 1 ，点 的坐标是 2 2 ， x x y y x  1 2 ，y  1 2 ；  0 2 0 2 A6,3 B4,5 C8,0 D2,7 G I CD BD 点 ， 分别为 ， 的中点，点 ， ， ， ， 82 07 7 点 的横坐标为： 5，纵坐标为：  ，  G 2 2 2 -4+2 57 点 的横坐标为： =-1，纵坐标为： 1， I 2 2 通过点G，I 的坐标的验证规律是正确的， x x y y 1 2 1 2 故答案为： ， ； 2 2 （3）① 解：点 M 1 9,5 ， M 2 11,17 ，点 M 是线段 M 1 M 2的中点， 1 1 点 的横坐标为： 9111，纵坐标为： 51711，  M 2 2 1,11  M 点 的坐标为是 ， 1,11 故答案为： ； ② N m,n 解：设点 2的坐标为 ， N N N 12,15 N1,2 点N是线段 1 2的中点，且点 1 ， ， m12 n15  1， 2， 2 2 解得：m=14，n19， N 14,19  点 2的坐标为 ． Ax,0 60．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知 x 轴上两点 1 、 Bx ,0 AB x x Ax,y  Bx ,y  2 的距离记作 1 2 ，如果 1 1 、 2 2 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三 角形来求 AB 间的距离．如图，过 A 、 B 分别向 x 轴、 y 轴作垂线 AM 1、 AN 1和 BM 2、 BN 2，垂足分别是 AB2  AQ2BQ2  x x 2 y y 2 x x 2y y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 M N M N AN BM Q Rt ABQ AQ x x BQ y y 1 1 2 2 1 2  1 2 1 2M N M N AN BM Q Rt ABQ AQ x x BQ y y 1、 1、 2、 2，直线 1交 2于点 ，在  中， 1 2 ， 1 2 ， AB2  AQ2BQ2  x x 2 y y 2 x x 2y y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点 Ax,y  Bx ,y  1 1 、 2 2 间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： A1,3 B2,1 (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点 ， 之间的距离． Mm,5 N1,2 MN 5 m (2)已知点 ， 且 ，求 的值； A0,3 B4,1 (3)在平面直角坐标系中的两点 ， ，P为 x 轴上任一点，求 PAPB 的最小值； x2y22  x32 y12 (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值． 【答案】(1)5 (2)5或3 4 2 (3) 10 (4) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离 问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；（2）直接利用两点之间距离公式建立关于m的方程，求解即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PAPB的最小值； x,y (0,2) (3,1) x,y (0,2) (3,1) （4）根据原式表示的几何意义是点 到 和 的距离之和，点 在以 和 为端点的线 段上时其距离之和最小，进而求出即可． Ax,y  Bx ,y  【详解】（1）解：平面直角坐标系内任意两点 1 1 、 2 2 有： AB2  AQ2BQ2  x x 2  y y 2 x x 2 y y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ， AB x x 2 y y 2 1 2 1 2 点A1,3 ，B2,1 之间的距离为： 122 312  916 5 ， 故答案为：5； Mm,5 N1,2 MN 5 （2）解： ， 且 ， m12 522 5 即 ， m12 925 m12 16  ， ， m 5 m 3 解得： 1 ， 2 ， m的值为5或3； （3）解：如图， 作点B关于x轴对称的点B，连接AB， 直线AB与x轴的交点即为所求的点P，PAPB的最小值就是线段AB的长度，B4,1  ， B4,1  ， A0,3  ， AB (04)2(31)2 4 2 PAPB的最小值 ， PAPB 4 2 即为 的最小值为 ； （4）解： x2y22  x32 y12 表示点 x,y 到(0,2)和(3,1)的距离之和， x,y (0,2) (3,1) (0,2) (3,1) 由两点之间线段最短，点 在以 和 为端点的线段上时，原式值最小，即为 到 的距离，  x2y22  x32 y12 最小值为 (03)2(21)2  10．