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相似三角形基本模型综合培优训练（三）
1．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°
到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（ ）
A．8 B．7 C．9 D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴∠D＝∠EPF＝90°，∴∠AED＋∠DAE＝90°，
由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°，∴∠AED＋∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠DAE，
在△PEF与△DAE中，
∴△PEF≌△DAE（AAS），
∴PF＝DE，PE＝AD，∴PE＝CD，∴PE−CE＝CD−CE，∴PC＝DE，∵FP⊥ CD，∴∠PCF＝45°，∴点F在∠BCP的平分线上，
如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AC、BM，连接AM交直线CF于点F，此时，AF＋BF最小，
∵点B关于直线CF的对称点M，
∴△BFC≌△MFC（ASA），∴CM＝BC＝AB＝8，
∵AB CD，∴四边形ABMC为平行四边形，
∴BG＝CG＝ BC＝4，
设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，∴PM＝CM−PC＝8−x，
∵∠BCM＝∠FPM＝90°，∴PF BC，∴△MPF∽△MCG，
∴ ，即 ，解得：x＝ ，
∴CE＝CD−DE＝8− ，
∴ ，
故选：D．
2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，连接BG．若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=DC，
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EC=DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图：延长DE交AB的延长线于H，
， ，
，，
∴BH=AB, 点B是AH的中点，
∵ ，
，
∴GB=HB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．如图，等边 的边长是 ，点 是线段 上一动点，连接 ，点 是 的中点，将线段 绕
点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，当 是直角三角形时，则线段 的长度为______ ．
【答案】 或
【详解】解： 当 时，
当点 在 上时，
是等边三角形且边长为 ，
， ，，
旋转 得到线段 ，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
即 时， ，
；
，如图，
延长 到 使 ，
连接 、 ，
过 作 交 延长线于 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
是 中点，
，
由旋转性质可知 ，
，
，
， ，
∽ ，
，
，
，
，
，
，
；当 时，
，
，
不成立，
综上， 或 ；
故答案为： 或 ．
4．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E
是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是_____．
【答案】2
【详解】解：如图，
∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4
∴
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE=90°，
∴∠DBE=90°，
∵F是DE的中点，
，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，
∴ ，
，
∵△ABC∽△ADE，
，
，
∴ ，
∴BF=2，
∴BF的最小值是2．
故答案为:2．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点
O，已知BD=4，OC=2 ，则OE=_________．
【答案】
【详解】在CA上截取CF=CE，
∵CD平分∠BCA，∠AC B =90°，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°，
在△COE和△COF中，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵EF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=15°，
∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．
∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO
=180°- (∠BAC+∠ACA)
=180°- (180°-60°)
=120°，
∴∠AOF=120°-60°=60°，
∴∠AOD=∠AOF，
在△AOD和△AOF中
，
∴△AOD≌△AOF（ASA），
∴OF=OD，
∴OE=OE．
作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，
∴∠CMO=∠CND=90°，
∵∠OCM=∠DCN，
∴△OCM∽△DCN，
∴ ．∵sinB= ， BD=4，
∴DN=2 ，
∵OC=2 ，∠OCM=45°，
∴CM=OM=2，
∴ ，
∴OE=OD= ．
故答案为： ．
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与BC边上的点 重合，折痕为BE，再沿过点E的直线折叠，
使点B与AD边上的点 重合，折痕为EF，连接 ， ，若 ，则 的值为
__________．
【答案】【详解】解：设AB=a，
∵矩形纸片ABCD折叠，使点A与BC边上的点 重合，折痕为BE，
∴ ，
∴
∴AE=AB=a，
∴BE= ，
∵矩形沿过点E的直线折叠，使点B与AD边上的点 重合，
∴EB= ，FB= ，∠BEF= ，
∵ ，
∴ =∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴EB= =FB= ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为∶ ．
7．如图，等边 边长为 ，点 ， 分别是 ， 边上的动点，且 ，作平行四边形
PQCR，则用含 的代数式表示平行四边形PQCR 的面积为_____；当PC AR时， ______．【答案】 ##
【详解】解：如图，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHB=90°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，BC=AB=4，
∵AP=BQ=x，∴PB=QC=4-x，
在Rt△BPH中，∵∠B=60°，
∴PH= ，
∴平行四边形PQCR的面积=QC•PH= ；
当PC AR时，如图，连接PC，AR，AC、PR交于点O，∴△AOR∽△COP，∴ ，
∵PR BC，∴△APO是等边三角形，∴AO=AP=PO=x，∴OR=PR-PO=4-x-x=4-2x，CO=4-x，
∴ ，解得x= ，∴当PC AR时，x= ，
故答案为： ； ．
8．如图，菱形 中， ，对角线相交于点 ，点 、 分别是边 、 上的点，且
，连接 、 分别交对角线 于点 、 ，若 ， ，则 的面积为
__．
【答案】
【详解】解： 四边形 为菱形， ， ，
， ， ， ， ，
是等边三角形， ， ， ， ，
， ，， ，
， ， ，
， ，
在 和 中，
，
， ，
， ， ， ，
，
， ，
，故答案为： ．
9．在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一动点，点F是BC所在
直线上△的动点．
(1)如图①，若∠EDF＝90°，请判断线段AE、BF、AC之间的数量关系，并说明理由；
(2)如②，若∠EDF＝45°，判断（1）中的结论是否发生变化，若不变，请说明理由若改变，请提出新的结论并说明理由；
(3)在（2）的条件下，过点D作DG⊥ED，交AC的延长线于点G，若AC＝4 ，AE：EC＝1：3，请直接
写出 的值为 ．
【答案】(1)AC＝BF+AE，理由见解析
(2)2AE•BF＝AC2，理由见解析
(3)
【解析】（1）
结论：AC＝BF+AE．
理由：连接CD，如图①所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，
∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，∠ACD＝∠DCF＝45°，CD＝ AB＝AD＝BD，
∴∠A＝∠DCF，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
在 ADE和 CDF中，
△ △
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF；，
∴BF+AE＝BF+CF＝BC＝AC，
即AC＝BF+AE；（2）
（1）中的结论不成立．结论： ．
理由：连接CD，如图②所示：
∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠F，∠EDF＝∠B＝45°，
∴∠ADE＝∠F，
又∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BFD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）
∵AC＝4 ，AE：EC＝1：3，
∴AE＝ AC＝ ，AD＝CD＝4，
由①得： ，
∴BF＝8 ，
∵BC＝AC＝4 ，∴CF＝BF﹣BC＝4 ，
∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
由①得：∠ADE＝∠F，
∴∠F＝∠CDG，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCG，
∴∠DCF＝∠GCD，
∴△DCF∽△GCD，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
10．如图1在 中， ， ， 是 中点， 为 上一点，连接 ，过 作
于 交 于 ．
(1)求证： ；
(2)探究 与 的数量关系，并证明；
(3)如图2，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【解析】（1）
∵ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）
如图，∵ ， ，
将 绕 点逆时针旋转 ，得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
（3）
如图，将 绕 点逆时针旋转 ，得到 ，设 ，
∵ ，
∴ ，
根据（2）可得 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
11．在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是射线BA上一点，且满足DA＝DE，点F在线段CE
上，联结DF，使∠EFD＝∠DAB．
(1)如图，当点E在边BA上时，
①求证：DF•CE＝AB•AD；
②若BE＝2，求线段CF的长．
(2)若 DCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长．
△
【答案】(1)①见解析；② ；
(2)6或
【解析】（1）
①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB CD，
∴∠AED=∠CDE，
∵DA=DE，
∴∠DAB=∠DEA，
∵∠EFD=∠DAB，
∴∠DFE=∠DAB=∠DEA=∠EDC，
又∵∠CED=∠DEF，∴△DEF∽△CED，
∴ ，
∴DF•CE=AB•AD；
②解：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，
∵BE=2，AB=6，
∴AE=4，
∵AD=DE，DH⊥AB，
∴AH=EH=2，
∴ ，
∵AB CD，DH⊥AB，EN⊥CD，
∴∠DHE=∠END=∠HDC=90°，
∴四边形DHEN是矩形，
∴EH=DN=2，EN=HD= ，
∴CN=4，
∴ ，
∵△DEF∽△CED，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当CF=CD时，CF=CD=6，
当CF=FD时，如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EN⊥CD于N，
∵CF=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∴∠EFD=2∠FCD，
∵∠EFD=∠DAB=∠BCD，
∴∠BCD=2∠FCD，
∴∠BCE=∠FCD，
∵AB CD，
∴∠BEC=∠FCD=∠BCE，
∴BC=BE=3，
∵AB=6，
∴AE=3，
∵AD=DE，DH⊥AB，
∴AH=EH= ，
∴ ，
∵AB∥CD，DH⊥AB，EN⊥CD，
∴∠DHE=∠END=∠HDC=90°，
∴四边形DHEN是矩形，
∴EH=DN= ，EN=HD= ，
∴CN= ，∴ ，
综上所述：CE的值为6或 ．
12．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至A ，记旋转角为α，连接B ，过点D作DE垂直于直
线B ，垂足为点E，连接D ，CE．
(1)如图1，当α＝ 时，△DE 的形状为______，连接BD，B 与CE的数量关系是______．
(2)当 且a≠ 时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点E，C，D， 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与 E的数量关系．
【答案】(1)等腰直角三角形，B ＝ CE
(2)①两结论仍然成立，证明见解析；②BE＝3 E或BE＝ E
【解析】（1）
解：∵AB＝A ，α＝ ，
∴△AB 是等边三角形，
∴∠A B＝ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝ ，
∴∠DA ＝ ，AD＝A ，
∴∠D E＝ ，
∴∠D E＝ ，
∵DE⊥ E，
∴△DE 是等腰直角三角形，
连接BD，则△BCD是等腰直角三角形，∴ ，∠BDC＝∠ DE＝ ，
∴∠BD ＝∠CDE，
∴△BD ∽△CDE，
∴ ，
∴B ＝ CE；
（2）
解：①两结论仍然成立，连接BD，
设∠BA ＝x，则∠AB ＝ ﹣ x，∠ AD＝x﹣ ，
∵AD＝A ，
∴∠A D＝ [ ﹣（x﹣ ）]＝ ﹣ x，
∴∠B D＝∠A D﹣∠A B＝（ ﹣ x）﹣（ ﹣ x）＝ ，
∵DE⊥ E，
∴△DE 是等腰直角三角形，
∴ ，∠BDC＝∠ DE＝45°，
∴∠BD ＝∠CDE，∴△BD ∽△CDE，
∴ ，
∴B ＝ CE；
②BE＝3 E或BE＝ E，
若CD为平行四边形的对角线，
点 在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点，连接BO交⊙A于点B'，
过点D作DE⊥B 交B 的延长线于点E，
由（1）可知△ ED是等腰直角三角形，
∴ D＝ E，
由（2）①可知△BD ∽△CDE，且B ＝ CE，
∴ ＝ ＝ ，
若CD为平行四边形的一边，如图，此时点E与点A重合，
∴BE＝ E，
综上所述，BE＝3 E或BE＝ E，
13．在△ABC中∠B＝45°，∠BAC＝90°，E为BC边上一点，D为BA延长线上一动点，连接DE，且
∠BDE＝∠ACD．
(1)如图1，求证：DE＝DC．
(2)如图2，过点B作BF⊥CD于点F，交AC于点G，交DE于点H，求证： ．
(3)如图3，若点M是AC的中点，AC＝ ，点N是BC边上点E左侧的一点，且NE＝1，当点D在运动
过程中，当四边形ANEM周长最短时，直接写出DC的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】（1）
证明：如图1中，
∵∠B=45°，∠ABC＝90°，∴AB=AC，∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∠DCE＝∠ACB+∠ACD，∠BDE＝∠ACD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（2）
证明：如图2中，连接DG并延长交BC于点H．
∵BF⊥CD，
∴∠BAG＝∠CFG＝90°，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠ABG＝∠ACD，
∵∠BAG＝∠CAD＝90°，AB＝AC，
∴△BAG≌△CAD（ASA），
∴AG＝AD，
∴∠AGD＝∠ADG＝∠CGH＝45°，
∵∠GCH＝45°，
∴∠GHC＝90°，
∴DH⊥EC，
∵DE＝EC，
∴EH＝CH，
∴CH＝ CG，
∴EC＝ CG；
（3）解：如图3﹣1中，作AP EN，且AP＝EN，
作点P关于BC的对称点T，连接MT交BC于点E，连接EP，
此时四边形ANEM的周长最小．
过点A作AQ⊥BC于点Q，过点M作ML⊥BC于点L，设PT交BC于点J．则四边形APJQ是矩形，
∴AP＝QE＝1，
∵AB＝AC＝4 ，∠BAC＝90°，
∴BC＝ AB＝8，
∵AQ⊥BC，
∴BQ＝CQ＝4，
∴AQ＝BQ＝CA＝PJ＝JT＝4，
∵AM＝CM＝2 ，ML⊥CB，
∴CL＝ML＝2，
∴JL＝CQ﹣QJ﹣CL＝1，
∵ML JT，
∴ ＝ ＝ ，
∴LE＝ JL＝ ，∴CE＝EL+CL＝ ，
如图3﹣2中，过点D作DH⊥EC于点H．
∵DE＝DC，DH⊥EC，
∴EH＝CH＝ ，
∵∠B＝45°，∠DHB＝90°，
∴BH＝DH＝8﹣ ＝ ，
∴CD＝ ＝ ＝ ．
14．矩形ABCD满足BC＝2AB，E、F分别为AD、BC边上的动点，连接EF，沿EF将四边形DEFC翻折
至四边形GEFH．
(1)①如图1，若点G落在矩形ABCD内，当∠BFE＝57°时，直接写出∠AEG＝ ．
②如图2，若点G落在AB边上，当G为AB中点时，直接写出sin∠BFH＝ ．(2)如图3，若点G落在AB边上，且满足AB＝nAG，
①求 的值（用含n的代数式表示）；
②在E、F运动的过程中，直接写出 的值（用含n的代数式表示）
【答案】(1)①66°②
(2)① ＝ ② ＝
【解析】（1）
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠DEF＝∠BFE＝57°，
∵沿EF将四边形DEFC翻折至四边形GEFH，
∴∠DEF＝∠FEG＝57°，
∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠FEG＝66°．
故答案为：66°
②如图2所示，
∵沿EF将四边形DEFC翻折至四边形GEFH，
∴EG＝DE，∠D＝∠EGH＝90°，∠C＝∠H＝90°，
∵∠BFH＋∠HMF＝∠BMG＋∠BGM＝90°，∠HMF＝∠BMG，∴∠BFH＝∠BGM,
∵∠AGE＋∠BGM＝∠AEG＋∠AGE＝90°，
∴∠BGM＝∠AEG，
∴∠BFH＝∠AEG，
设AB＝a，则BC＝AD＝2a，
∵G为AB的中点，
∴AG＝BG＝ ，
设AE＝x，则EG＝DE＝AD－AE＝2a－x，
由勾股定理得， ，
∴ ，
解得x＝ ，
∴EG＝2a－x＝ ，
∴sin∠AEG＝ ，
∴sin∠BFH＝sin∠AEG＝ ．
故答案为：
（2）
解：①如图3所示，连GF，令GH交BC于点M，
由对称可得：DF＝GF，
∵∠GBM＝∠FHM＝90°，∠BMG＝∠HMF，
∴△BGM∽△HFM，
∴ ，∴ ，
∴△BMH∽△GMF，
又∵∠BMH＝∠GMF，
∴ ＝sin∠BGH＝sin∠AEG，
令AG＝m，则AB＝nm，AD＝BC＝2nm，
设GE＝x，则DE＝GE＝x，AE＝AD －DE＝2mn－x，
在Rt△AEG中，由勾股可得： ，
，
解得：x＝ ，
∴sin∠AEG＝ ，
∴ ＝ ；
②令CF＝y，则BF＝2nm－y，BG＝mn－m，
∵GF＝DF，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得：y＝ ，
∴DE＋CF＝x＋y＝ ＋ ＝ ，
∴ ＝ ．15．如图，在矩形ABCD中， ，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，
使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若 ， ，求线段BE和CP的长．
【答案】(1)
(2) ， ，理由见解析
(3) ，
【解析】（1）
∵ ，BC＝8，E是BC中点，
∴AB=12，BE=4，
设BF=x，则AF=12-x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF=AF=12-x，
在Rt△BEF中， ，
可得 ，解得 ，
∴BF= ；
（2）
， ，
理由如下：∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于点M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴ ，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD，
∴ ；
（3）
过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：由 ，设BE=3k，则BF=4k，
EF=AF=5k，AB=9k，
∵ ， ，
∴AE= ，
∴ ，
∴k=1或-1（舍），
∴BE=3，AB=9，
∵BC:AB=2:3，
∴BC=6，
∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，
∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，
∴∠FEB+∠PEN=90°，∠PEN+∠EPN=90°，
∴∠FEB=∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴CN=EN-EC= ，∴ ，
∴BE=3，CP= ．
