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第 17 课 用树状图或表格求概率
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
2．为做好疫情防控工作，某学校门口设置了 ， 两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从 通
道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份，则
转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从
每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（ ）
A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同
C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球
5．从 ，0， ， ，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．张华想给他的王老师发短信拜年，可一时记不清王老师手机号码后三位数的顺序，只记得是1、6、9三
个数字，则张华一次发短信成功的可能性是（ ）
A． B． C． D．
7．为准备期末考试，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，数学试卷3张，英语
试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放
回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）A． B． C． D．
9．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分
成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一
镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在四张相同的卡片上标有1、2、3、4四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概率是
__________；②第一张为奇数第二张为偶数的概率是__________；③总是出现一奇一偶的概率是
__________．
12．掷--枚硬币两次，可能出现的结果有四种.我们可以利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果.
那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是________.
13．在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，然后放回，再
随机摸出一个小球，则第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率是___________．
14．经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经
过该十字路口时都直行的概率是___．
15．一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得
白色弹珠的概率是 ．如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是 ，则原来盒中有
白色弹珠___颗．
16．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡
片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须
连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”
或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方
案是________．（只填一种方案即可）
三、解答题
17．两人做“锤子、剪刀、布”的游戏．游戏规则是：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪
刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤
子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则认为此次游戏无效，重新开始游戏．(1)请用画树状图或列表法写出游戏中所有可能出现的有效结果．
(2)在这个游戏的有效结果中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的概率是多少？
18．某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为主题的活动来庆祝建党百年．活动分为两个阶段：第一阶
段是宣讲红色故事，有以党建党史、文化传承、人物传记为素材的3个宣讲项目（分别用A、B、C表
示）；第二阶段是主题文艺创作，有文学创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目（分别用D、E、
F、G表示）．要求参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．若小明参加该活动，请用画树状图或
列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中项目C和E的概率．
19．建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为 ， ， ， ，女生分别记为 ，
， ．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
(1)若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
(2)若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是 或 的概
率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达
到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接
种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中
心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
A 新冠病毒灭活疫苗
医院
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
C 新冠病毒灭活疫苗
社区卫生服务中心
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．
（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
(1)居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 ；
(2)请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，
则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程 中的常数a和b是-2，0，4中的任意两个数，则该一元二次方程有
解的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖
C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次出一只手，且至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶
数时小李获胜，则小李获胜的可能性较大
4．布袋中有红、白、绿三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回
布袋并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色．则摸出的两个球颜色为“一白一绿”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．小勇、小华用4张扑克牌（分别是黑桃6、黑桃7，黑桃8、梅花9）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背
面朝上放在桌面上．小勇先抽一张扑克牌，将抽到的牌的牌面数字记为m，再由小华猜小静抽到的牌的牌
面数字记为n．如果m，n满足 ，则称小勇、小华两人“心领神会”．小勇、小华两人“心领神
会”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味
道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、
“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的
顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四
个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同
就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某中学初三年级四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末考试时，学校安排统一监考，要求同
年级数学老师交换监考，那么安排初三年级数学考试时可选择的监考方案有（ ）种．
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
9．有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，
再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线y＝x+2上的概率为 _________．
10．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条
路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可 转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是
___________．
11．四张背面相同的扑克牌，分别为红桃1、2、3、4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为a，
不放回再另抽取一张点数记为b，则点（a， b）在直y＝x＋1上的概率为________．
12．某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片
段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位
同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
13．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则______（填“甲”或“乙”）一
定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______．
14．有三张正面分别标有数字 ，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片
正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组 的解集中有且只有2个非负整数的概率为
__________．
三、解答题
15．某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列四类：
A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康．
(1)若小丽参加“单人项目”，她从中抽取一个题目，那么恰好抽中“天文地理”类题目的概率为______．
(2)小刚和小涵参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取
一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？（用画树状图或列表的方法求解）
16．神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动
周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识
竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生
（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ________， ________；并补全条形统计图：
(2)根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
(3)在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培
训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
17．为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集
的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图
“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表
观看时
频数
长 频率
（人）
（分）
0＜x≤15 2 0.05
15＜
6 0.15
x≤3030＜
18 a
x≤45
45＜
0.25
x≤60
60＜
4 0.1
x≤75
(1)频数分布表中，a＝ ，请将频数分布直方图补充完整；
(2)九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟
的有 人；
(3)校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或
列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
18．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天
气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结
果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制
了如图所示的不完整的三种统计图表．
对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比A．非常了解 5％
B．比较了解 15％
C．基本了解 45％
D．不了解
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有______人， ______；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选
一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，
然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机
摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去，请用画树状图或列表说明这个
游戏规则是否公平．
19．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马
，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：
（注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约
定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王
三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上
马、中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案
例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并
求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不
是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·广东广州·中考真题）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名
负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）A． B． C． D．1
3．（2022·山东临沂·中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了 ， 两条体温快速检测通道，
该校同学王明和李强均从 通道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，
共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活
动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选
到的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖北宜昌·中考真题）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都
可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小
明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·山东济南·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出
行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一
个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·上海·中考真题）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．
8．（2022·黑龙江大庆·中考真题）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均
匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机
取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为____________．
9．（2021·黑龙江·中考真题）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完
全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球
上的数字之和是偶数的概率是___________．
10．（2021·湖北荆州·中考真题）有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三
把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，—次打开锁的概率是______．
11．（2021·浙江嘉兴·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为
10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．
马匹
下等马 中等马 上等马
姓名
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
12．（2021·四川成都·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点
出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形
的顺序旋转和或逆序旋转和如图1， 是该三角形的顺序旋转和， 是该三角形的逆序
旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数
作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
三、解答题
13．（2022·辽宁沈阳·中考真题）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲
题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗
匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
14．（2022·山东日照·中考真题）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会
实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理
（成绩得分用a表示），其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，
90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
(1)x=________，y=________，并将直方图补充完整；
(2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是
________，众数是________；
(3)若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；(4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团
史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
15．（2022·青海·中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传
教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年
级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8
分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
(1)填空： ______， ______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一
条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求
出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
16．（2007·江苏泰州·中考真题）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的
数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将
结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中
心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．
(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如
果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积
是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理
由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．
(3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28
分，请问小军至少几次进入迷宫中心？
