裂项法（二）(含答案)-_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_09、小学奥林匹克辅导及答案36套_新课标小学数学奥林匹克辅导及练习(36套,含答案)

裂项法（二） 1 1 1 前一节我们已经讲过，利用等式   ，采用“裂项法”能很快求出 n n1 n(n1) 1 1 1 1 1    … 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式： 2 6 12 20 9900 1 1 t   ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。 n nt n(nt) 【典型例题】 1 1 1 1 1 例1.   …  13 35 57 19931995 19951997 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。 1 1 t 下面我们用   ，现在给 n 、t一些具体的值，看看有什么结果。 n nt n(nt) 2 1 1 当n1,t 2时，有   13 1 3 2 1 1 当n3,t 2时，有   35 3 5 2 1 1 当n5,t 2时，有   57 5 7 …… 2 1 1 当n1993,t 2时，有   19931995 1993 1995 2 1 1 当n1995,t 2时，有   19951997 1995 1997 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2 1 1 2 1 1 2 不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为 2，例如   ,   ， 13 2 13 35 2 35 ……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。 1 1 2 1 1 2 1 1 2 因为   ,   ，……，   ， 13 2 13 35 2 35 19931995 2 19931995 1 1 2   19951997 2 19951997 1 1 1 1 所以  …  13 35 19931995 19951997 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 1 1 1 1 1 1 1  (1   …    ) 2 3 3 5 1993 1995 1995 1997 1 1  (1 ) 2 1997 1 1996   2 1997 998  1997 1 1 1 例2.  …… 123 234 9899100 1 1 31 2 因为    12 23 123 123 1 1 1 1 所以  (  ) 123 2 12 23 1 1 1 1 同样可得  (  ) 234 2 23 34 1 1 1 1  (  ) 345 2 34 45 一般地，因为 1 1  n(n1) (n1)(n2) n2n  n(n1)(n2) 2  n(n1)(n2) 1 n(n1)(n2) 1 1 1  [  ] 2 n(n1) (n1)(n2) 这里n是任意一个自然数。 利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 1 1  … 123 234 9899100 1 1 1 1 1 1 1  [(  )(  )…(  )] 2 12 23 23 34 9899 99100 1 1 1 1 1 1 1  (    …  ) 2 12 23 23 34 9899 99100 1 1 1  (  ) 2 12 99100 1 49501   2 9900 1 4949   2 9900 4949  19800 1 1 1 1 1 例3. 计算：    … 2 23 234 2345 234…200 分析与解： 1 2 2   23 (23)2 25 1 2 2   234 (24)3 36 1 2 2   2345 (25)4 47 1 1 2   234…n 1 (n1)(n2) (n2)(n1) 2 2 1  2 (n1)(n2) (n1)(n2) 1 1 (n2)(n1) 3 而    n1 n2 (n1)(n2) (n1)(n2) 1 1 1 1 即  (  ) (n1)(n2) 3 n1 n2 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 1 1  … 2 23 234…200 1 2 2 2    … 2 25 36 199202 1 2 3 3 3   (  … ) 2 3 25 36 199202 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   (          …  ) 2 3 2 5 3 6 4 7 5 8 7 10 199 202 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1   [(    … )(   … )] 2 3 2 3 4 5 199 5 6 7 202 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  [(    … )(  …   )] 2 3 2 3 4 5 199 5 6 200 201 202 1 2 1 1 1 1 1 1   (      ) 2 3 2 3 4 200 201 202 1 2 99 66 99   (   ) 2 3 200 201 404 1 33 44 33     2 100 201 202 430933 1 2030100 【模拟试题】（答题时间：15分钟） 二. 尝试体验 1 1 1 1 1 1. 求和：    … 3 34 345 3456 345…20 1 1 1 1 1 1 2. 求和：1 3 5 7 9 11 10 40 88 154 238 340 1 1 1 3. 求和：  … 1234 2345 17181920 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com【试题答案】 1 1 1 1 1 1. 求和：    … 3 34 345 3456 345…20 687836 841225 1 1 1 1 1 1 2. 求和：1 3 5 7 9 11 10 40 88 154 238 340 3 36 20 1 1 1 3. 求和：  … 1234 2345 17181920 1139 20520 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com