裂项法（二）(含答案)-_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_09、小学奥林匹克辅导及答案36套_新课标小学数学奥林匹克辅导及练习(36套,含答案)

裂项法（二）
1 1 1
前一节我们已经讲过，利用等式   ，采用“裂项法”能很快求出
n n1 n(n1)
1 1 1 1 1
   … 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：
2 6 12 20 9900
1 1 t
  ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
n nt n(nt)
【典型例题】
1 1 1 1 1
例1.   … 
13 35 57 19931995 19951997
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
1 1 t
下面我们用   ，现在给 n 、t一些具体的值，看看有什么结果。
n nt n(nt)
2 1 1
当n1,t 2时，有  
13 1 3
2 1 1
当n3,t 2时，有  
35 3 5
2 1 1
当n5,t 2时，有  
57 5 7
……
2 1 1
当n1993,t 2时，有  
19931995 1993 1995
2 1 1
当n1995,t 2时，有  
19951997 1995 1997
上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2
1 1 2 1 1 2
不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为 2，例如   ,   ，
13 2 13 35 2 35
……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
1 1 2 1 1 2 1 1 2
因为   ,   ，……，   ，
13 2 13 35 2 35 19931995 2 19931995
1 1 2
 
19951997 2 19951997
1 1 1 1
所以  … 
13 35 19931995 19951997
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 (1   …    )
2 3 3 5 1993 1995 1995 1997
1 1
 (1 )
2 1997
1 1996
 
2 1997
998

1997
1 1 1
例2.  ……
123 234 9899100
1 1 31 2
因为   
12 23 123 123
1 1 1 1
所以  (  )
123 2 12 23
1 1 1 1
同样可得  (  )
234 2 23 34
1 1 1 1
 (  )
345 2 34 45
一般地，因为
1 1

n(n1) (n1)(n2)
n2n

n(n1)(n2)
2

n(n1)(n2)
1
n(n1)(n2)
1 1 1
 [  ]
2 n(n1) (n1)(n2)
这里n是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
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 …
123 234 9899100
1 1 1 1 1 1 1
 [(  )(  )…(  )]
2 12 23 23 34 9899 99100
1 1 1 1 1 1 1
 (    …  )
2 12 23 23 34 9899 99100
1 1 1
 (  )
2 12 99100
1 49501
 
2 9900
1 4949
 
2 9900
4949

19800
1 1 1 1 1
例3. 计算：    …
2 23 234 2345 234…200
分析与解：
1 2 2
 
23 (23)2 25
1 2 2
 
234 (24)3 36
1 2 2
 
2345 (25)4 47
1 1 2
 
234…n 1 (n1)(n2)
(n2)(n1)
2
2 1
 2
(n1)(n2) (n1)(n2)
1 1 (n2)(n1) 3
而   
n1 n2 (n1)(n2) (n1)(n2)
1 1 1 1
即  (  )
(n1)(n2) 3 n1 n2
连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
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 …
2 23 234…200
1 2 2 2
   …
2 25 36 199202
1 2 3 3 3
  (  … )
2 3 25 36 199202
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  (          …  )
2 3 2 5 3 6 4 7 5 8 7 10 199 202
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
  [(    … )(   … )]
2 3 2 3 4 5 199 5 6 7 202
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 [(    … )(  …   )]
2 3 2 3 4 5 199 5 6 200 201 202
1 2 1 1 1 1 1 1
  (      )
2 3 2 3 4 200 201 202
1 2 99 66 99
  (   )
2 3 200 201 404
1 33 44 33
   
2 100 201 202
430933
1
2030100
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
1 1 1 1 1
1. 求和：    …
3 34 345 3456 345…20
1 1 1 1 1 1
2. 求和：1 3 5 7 9 11
10 40 88 154 238 340
1 1 1
3. 求和：  …
1234 2345 17181920
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1 1 1 1 1
1. 求和：    …
3 34 345 3456 345…20
687836
841225
1 1 1 1 1 1
2. 求和：1 3 5 7 9 11
10 40 88 154 238 340
3
36
20
1 1 1
3. 求和：  …
1234 2345 17181920
1139
20520
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