裂项法（一）(含答案)-_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_09、小学奥林匹克辅导及答案36套_新课标小学数学奥林匹克辅导及练习(36套,含答案)

裂项法（一） 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母 分数后再计算。 （一）阅读思考 1 1 1 例如   ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这 3 4 12 个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 1 1 n1 n    n n1 n(n1) n(n1) n1n 1   n(n1) n(n1) 1 1 1 即   n n1 n(n1) 1 1 1 或   n(n1) n n1 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。 【典型例题】 1 1 1 1 例1. 计算：   …… 19851986 19861987 19871988 19941995 1 1 1    19951996 19961997 1997 分析与解答： 1 1 1   19851986 1985 1986 1 1 1   19861987 1986 1987 1 1 1   19871988 1987 1988 …… 1 1 1   19941995 1994 1995 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 1 1   19951996 1995 1996 1 1 1   19961997 1996 1997 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这 一来问题解起来就十分方便了。 1 1 1 1 1   …  19851986 19861987 19871988 19951996 19961997 1  1997 1 1 1 1 1 1 1 1 1       ……   1985 1986 1986 1987 1987 1988 1995 1996 1996 1 1 1    1997 1997 1985 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分 数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 1 1 1 1 例2. 计算：   … 1 12 123 123…100 公式的变式 1 2  12…n n(n1) 当n分别取1，2，3，……，100时，就有 1 2  1 12 1 2  12 23 1 2  123 34 1 2  1234 45 1 2  12…100 100101 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 1 1 1   … 1 12 123 12…100 2 2 2 2 2    …  12 23 34 99100 100101 1 1 1 1 1  2(   …  ) 12 23 34 99100 100101 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2(1     …    ) 2 2 3 3 4 99 100 100 101 1  2(1 ) 101 100  2 101 200  101 99 1 101 1 1 1 例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式   中这两个符号所代表的 6 ( )   数的数的积是多少？ 1 1 1 1 1 1 分析与解：减法是加法的逆运算，   就变成   ，与前面提到的等式 6 ( )   6 ( )   1 1 1 1 1 1   相联系，便可找到一组解，即   n n1 n(n1) 6 7 42 另外一种方法 1 1 1 设n、x、y 都是自然数，且x y，当   时，利用上面的变加为减的想法，得算 n x y xn 1 式  。 nx y 1 这里 是个单位分数，所以xn一定大于零，假定xnt 0，则xnt，代入上式 y t 1 n2 得  ，即y  n。 n(nt) y t 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com又因为 y 是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有 n 个t就有 n 个 y ，这一来 1 1 1 n2 我们便得到一个比   更广泛的等式，即当xnt，y  n，t是n2的 n n1 n(n1) t 1 1 1 约数时，一定有   ，即 n x y 1 1 t   n nt n(nt) n2 1 1 1 上面指出当 xnt， y  n，t是 n2的约数时，一定有   ，这里 t n x y n6,n2 36，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。 当t 1时，x7，y 42 当t 2时，x 8，y 24 当t 3时，x 9，y 18 当t 4时，x 10，y 15 当t 6时，x 12，y 10 当t 9时，x 15，y 10 当t 12时，x 18，y 9 当t 18时，x 24，y 8 当t 36时，x 42，y 7 故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。 【模拟试题】（答题时间：20分钟） 二.尝试体验： 1. 计算： 1 1 1 1 1   …  12 23 34 9899 99100 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 计算：              3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 1 1 1 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当   时，求x y。 18 x y 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com【试题答案】 1. 计算： 1 1 1 1 1   …  12 23 34 9899 99100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     …    2 2 3 3 4 98 99 99 100 1 1 100 99  100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 计算：              3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2               6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2(         23 34 45 56 67 78 89 910 1011 1 1 1 1 1      ) 1112 1213 1314 1415 1516 1 1  2(  ) 2 16 1 1 8 7  8 1 1 1 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当   时，求x y。 18 x y x y的值为：75，81，96，121，147，200，361。 1 11 1 1 因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有    18 18(11) 36 36 1 12 1 1    18 18(12) 54 27 5427 81 1 13 1 1    18 18(13) 72 24 7224 96 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 16 1 1    18 18(16) 126 21 21126147 1 19 1 1    18 18(19) 180 20 20180 200 1 118 1 1    18 18(118) 19 342 19342  361 1 23 1 1    18 18(23) 45 30 304575 1 29 1 1    18 18(29) 99 22 2299121 还有别的解法。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com