裂项法（一）(含答案)-_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_09、小学奥林匹克辅导及答案36套_新课标小学数学奥林匹克辅导及练习(36套,含答案)

裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母
分数后再计算。
（一）阅读思考
1 1 1
例如   ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这
3 4 12
个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
1 1 n1 n
  
n n1 n(n1) n(n1)
n1n 1
 
n(n1) n(n1)
1 1 1
即  
n n1 n(n1)
1 1 1
或  
n(n1) n n1
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
1 1 1 1
例1. 计算：   ……
19851986 19861987 19871988 19941995
1 1 1
  
19951996 19961997 1997
分析与解答：
1 1 1
 
19851986 1985 1986
1 1 1
 
19861987 1986 1987
1 1 1
 
19871988 1987 1988
……
1 1 1
 
19941995 1994 1995
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 
19951996 1995 1996
1 1 1
 
19961997 1996 1997
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这
一来问题解起来就十分方便了。
1 1 1 1 1
  … 
19851986 19861987 19871988 19951996 19961997
1

1997
1 1 1 1 1 1 1 1 1
      ……  
1985 1986 1986 1987 1987 1988 1995 1996 1996
1 1 1
  
1997 1997 1985
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分
数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
1 1 1 1
例2. 计算：   …
1 12 123 123…100
公式的变式
1 2

12…n n(n1)
当n分别取1，2，3，……，100时，就有
1 2

1 12
1 2

12 23
1 2

123 34
1 2

1234 45
1 2

12…100 100101
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  …
1 12 123 12…100
2 2 2 2 2
   … 
12 23 34 99100 100101
1 1 1 1 1
 2(   …  )
12 23 34 99100 100101
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 2(1     …    )
2 2 3 3 4 99 100 100 101
1
 2(1 )
101
100
 2
101
200

101
99
1
101
1 1 1
例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式   中这两个符号所代表的
6 ( )  
数的数的积是多少？
1 1 1 1 1 1
分析与解：减法是加法的逆运算，   就变成   ，与前面提到的等式
6 ( )   6 ( )  
1 1 1 1 1 1
  相联系，便可找到一组解，即  
n n1 n(n1) 6 7 42
另外一种方法
1 1 1
设n、x、y 都是自然数，且x y，当   时，利用上面的变加为减的想法，得算
n x y
xn 1
式  。
nx y
1
这里 是个单位分数，所以xn一定大于零，假定xnt 0，则xnt，代入上式
y
t 1 n2
得  ，即y  n。
n(nt) y t
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com又因为 y 是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有 n 个t就有 n 个 y ，这一来
1 1 1 n2
我们便得到一个比   更广泛的等式，即当xnt，y  n，t是n2的
n n1 n(n1) t
1 1 1
约数时，一定有   ，即
n x y
1 1 t
 
n nt n(nt)
n2 1 1 1
上面指出当 xnt， y  n，t是 n2的约数时，一定有   ，这里
t n x y
n6,n2 36，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当t 1时，x7，y 42
当t 2时，x 8，y 24
当t 3时，x 9，y 18
当t 4时，x 10，y 15
当t 6时，x 12，y 10
当t 9时，x 15，y 10
当t 12时，x 18，y 9
当t 18时，x 24，y 8
当t 36时，x 42，y 7
故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
二.尝试体验：
1. 计算：
1 1 1 1 1
  … 
12 23 34 9899 99100
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2. 计算：             
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
1 1 1
3. 已知x、y是互不相等的自然数，当   时，求x y。
18 x y
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com【试题答案】
1. 计算：
1 1 1 1 1
  … 
12 23 34 9899 99100
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1     …   
2 2 3 3 4 98 99 99 100
1
1
100
99

100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. 计算：             
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
             
6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 2(        
23 34 45 56 67 78 89 910 1011
1 1 1 1 1
     )
1112 1213 1314 1415 1516
1 1
 2(  )
2 16
1
1
8
7

8
1 1 1
3. 已知x、y是互不相等的自然数，当   时，求x y。
18 x y
x y的值为：75，81，96，121，147，200，361。
1 11 1 1
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有   
18 18(11) 36 36
1 12 1 1
  
18 18(12) 54 27
5427 81
1 13 1 1
  
18 18(13) 72 24
7224 96
易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com1 16 1 1
  
18 18(16) 126 21
21126147
1 19 1 1
  
18 18(19) 180 20
20180 200
1 118 1 1
  
18 18(118) 19 342
19342  361
1 23 1 1
  
18 18(23) 45 30
304575
1 29 1 1
  
18 18(29) 99 22
2299121
还有别的解法。
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