文档文本内容
顺义区 2024 届高三第二次质量监测
数学试卷
考生须知
1.本试卷共6页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z的共轭复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
3. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. 40 D. 80
4. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ， ， ，则 （
）
A. 511 B. 61 C. 41 D. 9
6. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，直线 与 相交于点 ，与 轴交于点 .若 为 的中点，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
7. 若函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，正方体 中，P是线段 上的动点，有下列四个说法：
①存在点P，使得 平面 ；
②对于任意点P，四棱锥 体积为定值；
③存在点P，使得 平面 ；
④对于任意点P， 都是锐角三角形.
其中，不正确的是（ ）
.
A ① B. ② C. ③ D. ④
9. 已知在平面内，圆 ，点P为圆外一点，满足 ，过点P作圆O的两条切线，切点
分别为A，B．若圆O上存在异于A，B的点M，使得 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
10. 设 ， ， ，…， 是1，2，3，…，7的一个排列.且满足 ，则的最大值是（ ）
A. 23 B. 21 C. 20 D. 18
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.
11. 函数 的定义域为_____________.
12. 在 中， ， ， ，则 的面积为______.
13. 若非零向量 满足 ，且 ，则能使得 成立的一组 可以是
______， ______
14. 已知双曲线 焦距为 ，若点 在双曲线 上，则
的
的离心率等于______.
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①当 时，对任意 ， 有1个极值点；
②当 时，存在 ，使得 存在极值点；
③当 时，对任意 ， 有一个零点；
④当 时，存在 ，使得 有3个零点.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数 ，其中 .（1）若 ，求 的值；
（2）已知 时， 单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，
使函数 存在，求m的最大值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的图像与直线 的一个交点的横坐标为 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 在直三棱柱 中， ，D，E分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： ；
（2）当 时.
（ⅰ）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ⅱ）若平面 与直线 交于点F，直接写出 的值.
在
18. 某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能 下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为 ，且每次投篮相互
独立.
（1）求甲得分不低于2分的概率；
（2）求乙得分的分布列及期望；
（3）甲，乙谁胜出的可能性更大？直接写出结论.
19. 已知椭圆 的右焦点为 ，长轴长为 .过F作斜率为 的直线交E
于A，B两点，过点F作斜率为 的直线交E于C，D两点，设 ， 的中点分别为M，N.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若 ，设点F到直线 的距离为d，求d的取值范围.
20. 设函数 ， .曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求a的值；
（2）求证：方程 仅有一个实根；
（3）对任意 ，有 ，求正数k 的取值范围.
21. 已知点集 满足 ， ， .对
于任意点集 ，若其非空子集A，B满足 ， ，则称集合对 为 的一个优
划分.对任意点集 及其优划分 ，记A中所有点的横坐标之和为 ，B中所有点的纵坐标之和
为 .
（1）写出 的一个优划分 ，使其满足 ；
（2）对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 ；（3）对于任意点集 ，求证：存在 的一个优划分 ，满足 且 .
