顺义区 2023 届高三第二次统数学试卷参考答案
一、选择题ADBCC BDBAA
二、填空题
（11） （12） （13） ，
（14） （答案不唯一）
（15）①②③（答对一个得2分，答对两个得3分，全部答对得5分，有错误不给分）
三、解答题
（16）(本小题13分)
解：（Ⅰ）因为 ，
在△ 中，由正弦定理 ，…………………………………………2
分
可得： , ………………………………………………………………………3
分
又因为 ，
所以 . ……………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）选择条件① 按公式酌情给分，最高4分；
选择条件②
设 边上的中线为 ，则 ， ，……………………………6分
在△ 中，由余弦定理得：
，…………………………9分
因为 ， ，所以 ，……………11分
所以△ 的面积为 .………………13分
选择条件③
方法1：
由题设，因为 ，所以 , ………………6
分
因为 ，所以
因为 ，所以 ，…………………………………………………7分
所以 , ………………………………………………………………………8分
由余弦定理 可得：…………………………………………9分
,
整理得 ，解得 （舍），………………………………10
分
因为 ， ，所以 ，………………11
分
所以△ 的面积为 . ………………13分
方法2：由题设，因为 ，所以 , ……………6分
因为 ，所以
在△ 中，因为 ，所以 ，即 ，所以 ，……7
分
所以 , ………………………………………………………………………8分
因为 ， ，所以 ，
所以 ， …………………………………………9分
所以 ， …………………………………………………10分
因为 ，
所以 ，
…………………………………………………………………………………………11分
所以△ 的面积为 .………………13分
方法3：因为 且 ,
所以 或 ， ………………………………………………………7分
因为 ，所以 ， ……………………………………………………8分
又因为 ，
所以 即 ， ………………………………………………………………9分
所以△ 为等腰三角形，设 边上的高为 ，则 ，
由勾股定理 ，……………………………………………11
分
所以△ 的面积为 . ……………………13分
（17）(本小题13分)
（Ⅰ）证明：方法 1：因为平面 平面
，
，
，
所以 .---------------------3分
连接 .
因为 , ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 , .------------------------------------------5分
因为 是 的中点,
所以点 为 的中点.----------------------------------------------6分
方法2：连接 .
因为 , ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 ,-----------------------------------------------------1分
因为 平面 ，
所以 平面 ，--------------------------------------------3分
因为 ， ，
所以 .------------------------------------------------------5分
所以 .
因为 是 的中点,
所以点 为 的中点.----------------------------------------------6分(Ⅱ)解：方法1：因为 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 .
则 , , , , .
则 , .
设平面 的法向量为 ，
则 , 即 ------------------------------------8
分
令 ，则 ，所以 .----------------------------10
分
设 ，则 ,
由 得 ， ，
------------------------------------------------------11分
点 到平面 的距离 .--------------------13分
方法2：连接 .
因为 ,
所以 .
因为 , ,
所以 ,
所以 .
在平面 内，由 ,可求出 .------8分
由勾股定理求出 ,
在△ 中由余弦定理得 ,
则 ，
. -----------------------------10分.
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，------------------------12分
解得 ------------------------------------------------------13分
（18）(本小题14分)
解：（Ⅰ）记“从以上所有排片场次中随机选取1场，该场的上座率大于70%”为
事件 .---------------------------------------------------------------------------------------------1分
影片A,B,C,D的上座率大于70%的场数共有5+4+3+3=15，-----------------------------2分
所以 .----------------------------------------------------4分
（Ⅱ）记“从影片A,B,C的以上排片场次中各随机抽取1场，每场的上座率大于70%”分别
为事件 .其中 , , ;----------------7分
这3场中至少有2场上座率大于70%的概率为
.---------------11分
-----------------------------------------------------------------------------------------------12分
（Ⅲ） . -----------------------------------------------------------------------------------------14分
19. (本小题15分)
解：（Ⅰ） ---------------------------------------------------------------------------------2
分
-----------------------------------------------------------------------------------------3
分在点 处的切线方程 y=1；---------------------------------------------------------------------4
分
（Ⅱ） 则 ------------------------5分
---------------------------------------------------------------------------------------------------6分
在 上单调递增----------------------------------------------------------------------7分
---------------------------------9分
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
（Ⅲ）要证明对任意的 ，有 ，
只需证明对任意的 ，有
-------------------------------------------------------------12分
.
-----------------------------------------------------------13分
.
.-----------------------------------------------------------------------------15分
20. (本小题15分)
解：（Ⅰ）由题意可知： -------------------------------------------------------------2
分
所以椭圆C的方程为 .----------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）直线 的方程为 ----------------------------------------------------------------------------5分
设 ， ，
直线 与椭圆方程 联立可得： ------------------------------------------6分消去 可得： ，
则 . ----------------------------------------------------------8分
直线MA的方程为： ，令 可得 ,------9分
直线NB的方程为： ，令 可得 .------10分
-----------------------------------------------------------------------------------------------------11分
----------------------------------------------------------------14分
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分
法二：-------------------------------------------13分
-------------------------------------------------------------------------------------------------14分
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------15分
法三：
-----------------------13分
----------------------------------------------------------------------------------------------------14分
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------15分
(21)(本小题15分)
解：（Ⅰ） ;--------------------------------3分（多写或少写一个元素扣 1
分）
（Ⅱ）首先， ；-------------------------------------------------------------------------------------------4分
其次 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. ---------------------------------------5分
记 ，不妨设 或者 -----------------------6分①当 时， ，
相乘可知 ，从而 ，
从而 ，所以 ；----------------------------------------------------8
分
②当 时，与上面类似的方法可以得到
进而 ，从而 -----------------------------------------10
分
所以 或者 .
（Ⅲ）估值+构造 需要分类讨论A中非负元素个数.
先证明 ．考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合 不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：A 中没有负数．
不妨设 ，则
上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是 的元素，这表明 ----------12
分
情况二： A 中至少有一个负数．
设 是A中的全部负元素， 是A中的全部非负元素.
不妨设
其中 为正整数， ．
于是有
以 上 是 中 的 个 非 正 数 元 素 ： 另 外 ， 注 意 到
它们是 中的5个正数．这表明
综上可知，总有 ---------------------------------------------------------------------------------14
分
另一方面，当 时， 中
恰 有 13 个 元 素 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------15分综上所述， 中元素个数的最小值为13.
