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专题26 交流电的产生及描述
[题型导航]
题型一 交变电流的产生及变化规律...................................................................................................1
题型二 交流电有效值的求解...............................................................................................................5
题型三 交变电流“四值”的比较.....................................................................................................10
[考点分析]
题型一 交变电流的产生及变化规律
1．交变电流的产生
(1)线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．
(2)两个特殊位置的特点：
①线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ 最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
②线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变．
(3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因
此电流的方向改变两次．
(4)交变电动势的最大值Em＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关．
2．交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
物理量
函数表达式
图象
磁通量
Φ＝Φmcos ωt＝BScos ωt
电动势
e＝Emsin ωt＝nBSωsin ωt
电压
u＝Umsin ωt＝sin ωt
1
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电流
i＝Imsin ωt＝sin ωt
[例题1]
如图所示，一正方形线圈abcd 在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速
转动，沿着OO′方向观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁感应强度为B，线圈
匝数为n，边长为l，电阻为R，转动的角速度为ω。则当线圈转至图示位置时，下列说法不正
确的是（ ）
A．线圈中感应电流的方向为abcda
B．线圈中的感应电流为nBl
2ω
R
C．穿过线圈的磁通量为0
D．穿过某匝线圈磁通量的变化率为Bl2ω
【解答】解：A、图示时刻，ad 速度方向向里，bc 速度方向向外，根据右手定则判断出ad 中感
应电流方向为a→d，bc 中电流方向为c→b，线圈中感应电流的方向为adcba，故A 错误；
B、线圈中的感应电动势为E＝nBSω＝nBl2ω，线圈中的感应电流为I = nBl
2ω
R
，故B 正确；
CD、图示时刻线圈与磁场平行，穿过线圈的磁通量为0。由法拉第电磁感应定律得：E＝n ΔΦ
Δt
，则磁通量的变化率为ΔΦ
Δt =Bl2ω，故CD 正确。
本题选错误的，
故选：A。
[例题2]
如图（a）→（b）→（c）→（d）→（e）过程是交流发电机发电的示意图。线
圈的ab 边连在金属滑环K 上，cd 边连在金属滑环L 上，用导体制成的两个电刷分别压在两个
滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接。下列说法正确的是（ ）
2
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A．图（a）中，线圈平面与磁感线垂直，磁通量变化率最大
B．从图（b）开始计时，线圈中电流i 随时间t 变化的关系是i＝Imsinωt
C．当线圈转到图（c）位置时，感应电流最小，且感应电流方向改变
D．当线圈转到图（d）位置时，感应电动势最大，ab 边感应电流方向为a→b
【解答】解：A、图（a）中，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率为
0，故A 错误；
B、图（b）中线圈与磁场平行，此时感应电流最大，则线圈中电流i 随时间t 变化的关系是i＝
Imcosωt，故B 错误；
C、当线圈转到图（c）位置时，线圈在中性面位置，故穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电
流最小，为零，电流方向将改变，故C 正确；
D、当线圈转到图（d）位置时，磁通量最小，磁通量的变化率最大，故感应电动势最大，ab 边
感应电流方向为b→a，故D 错误。
故选：C。
[例题3]
（多选）如图1 所示，一个面积为S 的矩形线圈在匀强磁场中做匀速转动，穿过
线圈的磁通量随时间变化如图2 所示，下列说法正确的是（ ）
A．t1时刻线圈平面垂直于中性面
B．t2时刻ad 边的速度方向跟磁感线垂直
C．t3时刻线圈平面与中性面重合
D．在如图1 所示位置时，电流方向改变一次
【解答】解：A、t1时刻磁通量最大，线圈平面垂直于磁感线，处于中性面，故A 错误；
3
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B、t2时刻磁通量为零，线圈平面垂直于中性面，感应电动势最大，故ad 边的速度方向跟磁感线
垂直，故B 正确；
C、t3时刻磁通量最大，线圈平面垂直于磁感线，线圈平面与中性面重合，故C 正确；
D、每次经过中性面位置时，电流方向发生改变，图1 所示位置垂直中性面，电流方向不改变，
故D 错误；
故选：BC。
[例题4]
图1 是一手摇发电机，其原理可简化为矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向
的中心轴OO′匀速转动，产生随时间变化的感应电动势。
已知矩形线圈abcd 的匝数为N，边长ab＝cd＝L1，bc＝ad＝L2．线圈所在处磁感应强度为B．
线圈的角速度为ω．当线圈转动到图2 所示位置时，其平面与磁场方向平行。
（1）求线圈转动到图2 位置时ab 边切割磁感线产生的感应电动势大小并判断ab 两端电势的高
低；
（2）从线圈处于图2 位置开始计时，t 时刻线圈转至截面图中虚线所示位置，推导t 时刻线圈产
生的感应电动势大小为e＝NBL1L2ωcosωt；
（3）如图3 所示，线圈的ab、cd 边分别通过电流与两个滑环e、f 相连，滑环e、f 与二极管
D、外电阻相连，组成闭合回路。二极管具有单向导电性，即加正向电压时其电阻可忽略不计，
加反向电压时电阻可视为无穷大。已知线圈电阻为r，外电阻为R，电路其余部分电阻不计。计
算经过一段较长时间t（远大于线圈转动周期）的过程中，外电阻R 上产生的热量。
【解答】解：（1）ab 边切割磁感线产生的电动势为：E＝NBL1V，其中V＝ω L2
2
可得：E= 1
2
NBL1L2ω，b 端电势高。
（2）线圈匀速转动过程中，ab、cd 边都切割磁感线产生感应电动势，总电动势为两边产生的电
动势之和。
即：e＝2eab
如图，经过时间t，ab 边绕OO′转过的角度θ＝ωt，此时ab 边的速度方向如图中所示，
4
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v 与磁场方向的垂直分量：v1＝vcosθ＝vcosωt
根据电磁感应定律，在ab 边上产生的感应电动势大小为：eab＝NBL1vcosωt
又：v＝ω L2
2
由此可得：e＝NBL1L2ωcosωt
（3）设线圈中感应电动势最大值为Em，有效值为E 有，线圈的转动周期为T
则有：Em＝NBL1L2ω，( Em
√2 )
2
R
⋅T
2 = E有
2
R ⋅T
得：E 有= 1
2NBL1L2ω
时间t 内产生的总热量：Q 总= E有
2
R+r t
而R 上产生的热量为：QR=
R
R+r
Q
得：QR= ( NB L1 L2ω)
2 Rt
4( R+r )
2
答：（1）线圈转动到图2 位置时ab 边切割磁感线产生的感应电动势大小为1
2
NBL1L2ω；b 端电
势的高。
（2）根据电磁感应定律，在ab 边上产生的感应电动势大小为NBL1vcosωt，又：v＝ω L2
2
，由此
可得：e＝NBL1L2ωcosωt。
（3）外电阻R 上产生的热量为( NB L1 L2ω)
2 Rt
4( R+r )
2
。
5
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题型二 交流电有效值的求解
1．正弦式交流电的有效值：
I＝，U＝，E＝
2．非正弦式交流电有效值的求解需根据电流的热效应进行计算．
[例题5]
发电机的示意图如甲所示，边长为L 的正方形金属框，在磁感应强度为B 的匀强
磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R 的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，
图乙中的Um为已知量。在金属框转动一周的过程中（ ）
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值为1
2
Um
C．流过电阻的电荷量为4 B L
2
R
D．电阻产生的焦耳热为π U mB L
2
2 R
【解答】解：A、当线框转动时，框内电流方向每经过中性面一次都要变化一次，故A 错误；
B、由图乙可知，电动势的最大值为Um，该电流等效为正弦式交流电，故电动势的有效值为U
= U m
√2
，故B 错误；
C、金属框转过半周流过电阻的电荷量为：q= I•Δt=
ΔΦ
Δt
R = 2B L
2
R
，由于有换向器，电流方向一
直为正方向，所以金属框转过一周流过电阻的电荷量为：q′＝2q= 4 B L
2
R
，故C 正确；
6
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D、因为Um＝BωL2，则ω= U m
B L
2
，根据焦耳定律，可知金属框转过一周电阻产生的焦耳热为：
Q= U
2
R ⋅2π
ω = π U m B L
2
R
，故D 错误。
故选：C。
[例题6]
如图甲所示为一台小型旋转电枢式交流发电机的构造示意图，内阻r＝1Ω，外电
路电阻R2＝R2＝18Ω，电路中其余电阻不计，发电机的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度
ω 绕垂直于磁场方向的固定轴转动，线圈匝数n＝10，转动过程中穿过每匝线圈的磁通量Φ 随
时间t 按正弦规律变化，如图乙所示，取π＝3.14，则（ ）
A．t＝1.57×10﹣2s 时，该小型发电机的电动势为零
B．t＝3.14×10﹣2s 时，矩形线圈转到中性面位置
C．串联在外电路中的交流电流表的示数为2A
D．感应电动势的最大值为20V
【解答】解：AB、在t＝1.57×10﹣2s 和t＝3.14×10﹣2s 时，穿过线圈内的磁通量为0，则线圈转到
中性面的垂面位置，感应电动势最大，故AB 错误；
CD、线圈转动过程中产生感应电动势的最大值为：Em＝nBSω＝nΦm× 2π
T =10×1.0×10﹣2
×
2π
3.14×10
-2
V＝20V，有效值为：E= Em
√2 =10√2
V，故串联在外电路中的交流电流表的示数为：
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I=
E
R12+r =
E
R1 R2
R1+ R2
+r
=
10√2
18×18
18+18 +1
A=√2A。故C 错误，D 正确。
故选：D。
[例题7]
（多选）图甲为风力发电的简易模型。在风力作用下，风叶带动与杆固连的永磁
体转动，磁铁下方的线圈与电压传感器相连。在某一风速时，传感器显示如图乙所示，则（
）
A．磁铁的转速为5πr/s
B．线圈两端电压的有效值为6√2V
C．交变电流的电压表达式为u＝12sin5πtV
D．该交变电流可以直接加在击穿电压为6√2V 的电容器上
【解答】解：A、电流的周期为T＝0.4s，故磁体的转速为 n= 1
T =2.5r/s，故A 错误；
B、通过乙图可知电压的最大值为12V，故有效值U= U m
√2 =6√2V，故B 正确
C、周期T＝0.4s，故ω= 2π
T =5π rad/s，故电压的表达式为U＝12sin5πt（V），故C 正确
D、电容器的击穿电压为交流电的最大值，而交流电的最大值大于电容器的击穿电压，故不能加
在击穿电压为6√2V 的电容器上，故 D 错误。
故选：BC。
[例题8]
（多选）如图所示，匝数为n 的正方形线圈abcd 的电阻为r，线圈外接电阻R，
理想电压表与电阻R 并联，线圈ab 边和cd 边的中点连线OO′，恰好位于磁感应强度为B 的
匀强磁场的边界上，线圈绕OO′为轴以角速度ω 匀速转动，电压表的示数为U，下列说法中
正确的是（ ）
8
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A．从图示位置开始计时，电动势的表达式为e=√2Usinωt
B．穿过线圈的磁通量的最大值为Φm= √2( R+r )U
nRω
C．线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R 的电荷量为√2U
nRω
D．线圈从图示位置转到90°位置时，电阻R 的瞬时功率为2U
2
R
【解答】解：A、线圈绕OO′轴以角速度ω 匀速转动，产生正弦式交变电流，电压表示数：U
=RE
R+r
，
E= U ( R+r )
R
，感应电动势的最大值：Em=√2E= √2U ( R+r )
R
，故从图示位置开始计时，电动
势的表达式为e= √2U ( R+r )
R
sinωt，故A 错误；
B、圈转动时，总有一条边切割磁感线，且ac 边和bd 边转动的线速度大小相等，当线框平行于
磁场时，产生的感应电动势最大为：Em＝nBLv＝nBLω• L
2 = 1
2
nBL2ω= 1
2
nBSω= 1
2
nΦmω，则：
Φm= √2( R+r )U
nRω
，故B 正确；
C、由法拉第电磁感应定律得：E = n△∅
△t
=n
B⋅L
2
2
π
2ω
，电荷量：q＝I△t＝n
B L
2
2( R+r ) = √2U
2ωR
，
故C 错误；
D、线圈从图示位置转到90°位置时，感应电动势最大，R 两端电压最大，R 两端电压的瞬时值
U′=√2U，瞬时功率：P= U '
2
R = 2U
2
R
，故D 正确；
故选：BD。
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[例题9]
如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5T，边长L＝10cm 的正方形线圈共100
匝，线圈总电阻r＝1Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO'匀速转动，角速度ω＝2πrad/s，外
电路中的电阻R＝4Ω，求：
（1）感应电动势的最大值；
（2）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的过程中产生的平均速度感应电动势；
（3）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的瞬时感应电动势）；
（4）线圈转动一周产生的总热量；
（5）从图示位置开始的1
6
周期内通过R 的电荷量。
【解答】解：（1）感应电动势的最大值为：Em＝NBSω＝100×0.5×0.12×2πV＝πV。
（2）产生的平均感应电动势E=n △∅
△t =100×
√3
2 ×0.5×0．1
2
1
6
V = 3√3
2
V
（3）由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为：e＝Emcos 60°＝π×0.5V= π
2
V
（4）周期为：T= 2π
ω =1s
线圈转动一周产生的总热量为：Q=
( Em
√2 )
2
R+r t =
( π
√2 )
2
4 +1 ×1J = π
2
10 J
（5）平均电动势：E =n △∅
△t
电流：I =
E
R+r
在 1
6
周期内通过电阻R 的电荷量为：
q=q = I ⋅△t
即为：q= N △∅
R+r = NBSsin60°
R+r
= √3
20 C
答（1）感应电动势的最大值为πV；
（2）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的过程中产生的平均速度感应电动势为
10
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3√3
2
V ；
（3）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过60°的瞬时感应电动势为π
2 V ；
（4）线圈转动一周产生的总热量为π
2
10 J
；
（5）从图示位置开始的1
6周期内通过R 的电荷量为√3
20 C。
题型三 交变电流“四值”的比较
交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情
况
峰值
最大的瞬时值
Em＝nBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
有效值
跟交变电流的热效应等效
的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦式交变电
流
(1)计算与电流的热效应
有关的量(如电功、电功
率、电热等)
(2)电气设备“铭牌”上
所标的一般是有效值
(3)保险丝的熔断电流为
有效值
平均值
交变电流图象中图线与时
间轴所夹的面积与时间的
比值
＝Bl
＝n
＝
计算通过电路横截面的电
荷量
[例题1]
如图甲所示，标有“220V，40W”的电灯和标有“20μF，300V”的电容器并联
接到交流电源上，电压表为交流电压表。交流电源的输出电压如图乙所示，闭合开关，下列判
断正确的是（ ）
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A．t = T
2
时刻，交流电压表V 的示数为零
B．电灯会烧坏
C．电容器有可能被击穿
D．交流电压表V 的示数保持110√2V 不变
【解答】解：AD、交流电压表示数为有效值220V 不变，故AD 错误；
B、电压有效值正好等于灯泡额定电压，不会烧坏，故B 错误；
C、电压峰值为约为311V，超过了电容器击穿电压，故C 正确；
故选：C。
[例题2]
如图1 所示，线圈abcd 的面积是0.05m2，共100 匝；线圈总电阻为1Ω，外接电
阻R＝9Ω，匀强磁场的磁感应强度为B= 1
π
T，当线圈以300r/min 的转速匀速旋转时，求：
（1）线圈中感应电动势的峰值Em。
（2）若线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时表达式。
（3）线圈转过1
30
s 时电动势的瞬时值多大？
（4）在图2 中画出电动势随时间变化的图象，要用对应的物理量符号标清坐标系和对应的数值。
【解答】解：（1）转速为300r/min＝5r/s，则转动的角速度ω＝2πn＝10πrad/s，
线圈中感应电动势的峰值Em＝NBSω=100× 1
π ×0.05×10 πV =50V ．
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（2）若线圈处于中性面开始计时，线圈中感应电动势的瞬时表达式e＝Emsinωt＝50sin10πt。
（3）线圈转过1
30
s 时电动势的瞬时值E =50sin10 π × 1
30 V =25√3V 。
（4）电动势随时间的变化规律成正弦变化，如图所示。
答：（1）线圈中感应电动势的峰值为50V。
（2）若从图示位置开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时表达式为：e＝50sin10πt （V）。
（3）线圈转过1
30
s 时电动势的瞬时值为25√3V 。
（4）在图2 中画出电动势随时间变化的图象，如图所示。
[例题3]
如图所示，一个半径为r 的半圆形线圈，以直径ab 为轴匀速转动，转速为n，ab
的左侧有垂直于纸面向里（与ab 垂直）的匀强磁场，磁感应强度为B．M 和N 是两个集流环，
负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：
（1）从图示位置起转过1
4
转的时间内负载电阻R 上产生的热量；
（2）从图示位置起转过1
4
转的时间内通过负载电阻R 的电荷量；
（3）电流表的示数。
【解答】解：（1）转速为n，则ω＝2πn；s= 1
2
πr2
最大感应电动势Em＝BSω，
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Q＝（Em
√2
）2
× 1
R ×
1
n
4 = π
4 B
2r
4n
8 R
；
（2）转1
4 圈时磁通量的变化量为Φ＝BS＝Bπ r
2
2
；
所用的时间t= T
4 = 1
4 n
；
则平均电动势E = △Φ
△t =2nπBr2；
电量Q=It= 2nπBr
2
R
× 1
4 n = Bπ r
2
2 R
；
（3）则因只有一半区域内有磁场，由有效值的计算公式可得：
E
2
R T =（Em
√2
）2
× 1
R × T
2
解得有效值E= Em
2 = B π
2r
2n
2
；
则电路中电流I= E
R = π
2Bnr
2
2 R
；
电流表示数为I= π
2Bnr
2
2 R
答：（1）从图示位置起转过1
4 转的时间内负载电阻R 上产生的热量为π
4 B
2r
4n
8 R
（2）从图示位置起转过1
4 转的时间内通过负载电阻R 的电荷量为Bπ r
2
2 R
（3）电流表的示数为π
2Bnr
2
2 R
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