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襄阳四中 2024 级高二上学期 12 月月考
数 学 试 题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设 ， ，若 ，则k=（ ）
A. 4 B. C. 17 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：B
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 可得.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，即 ．
故选：C.
3. 经过点 作直线l，若直线l与连接 ， 两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为
，l的斜率为 k，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得 ，然后求解三角不等式得答案．
【详解】设直线 的倾斜角为 ，
,
所以 ，即 ，
由题意知： ，
解得： 或 ．
倾斜角 的取值范围是
故BCD错误，A正确，
故选：A
4. 已知圆 ： 关于直线 对称，圆 ：
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】先根据对称求出 值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系.
【详解】因为圆 ，即 关于直线 ，
说明该直线过圆心 ，则有 ，
解得 ，所以圆 的圆心坐标为 ，半径为1，
圆 的圆心坐标为 ，半径为4，而 .
所以两圆的位置关系是相交.
故选：B.
5. 、 分别为 与 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先判断两直线平行，再利用两平行直线 的距离公式计算即得.
【详解】因直线 与直线 互相平行， 、 是两直线上的点，
故当且仅当 为两直线的公垂线段时， 取得最小值，
即 最小值为两直线之间的距离，为 .
的
故选：B.
6. 已知动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】化简给定方程，再由方程特征确定轨迹.
【详解】由 两边平方得 ，
整理得 ，即 ，
因此点 的轨迹方程是 ，所以 的轨迹为椭圆.
故选：B
7. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点 满足 ，则曲线
的离心率等于
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出 的值，
再利用离心率公式可得结果.
【详解】因为 ，
所以可设 ，
若曲线为椭圆则 ，则 ；
若曲线为双曲线则， ，∴ ，故选 .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆
锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构
造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求
解．
8. 如图，过抛物线 的焦点 的直线 （斜率为正）交抛物线于点 两点（其中点
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学科网（北京）股份有限公司在第一象限），交其准线于点 ，若 ，则 到抛物线的准线的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形特征得出 ， ，得出 ，再计算得出解得 即得.
【详解】如图，分别过点 作准线的垂线，垂足分别为点 ，
设 ，所以 ，由抛物线的定义得 ，所以 ，
在 中， ，又因为 ，
解得 ，又记准线与对称轴交于点 ，因为 ，解得
，即 到抛物线的准线的距离为4.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题错误的是（ ）
A. 若事件 与事件 互斥，则
B. 若事件 与事件 相互独立，则事件 与事件 相互独立．
C. 事件 与事件 同时发生的概率一定比 与 中恰有一个发生的概率小．
D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大．
【答案】ACD
【解析】
【分析】举反例判断AC；根据独立事件的概念及乘法公式判断B；根据独立重复试验概率性质判断D.
【详解】选项 A：互斥事件指不能同时发生的事件，但只有对立事件 互斥且必有一个发生 的概率和为
.
例如，掷骰子时“出现 点”与“出现 点”互斥，但 ，故A错误．
选项B：若 与 独立，则 .计算 ：
，
满足独立事件的定义，故 与 独立，B正确．
选项C：举反例：若 即事件 与 完全相同 ，
则“ 与 同时发生”的概率为 ，“ 与 恰有一个发生”的概率为 ，
此时 ，故C错误．
选项D：抛掷均匀硬币是独立重复试验，每次正面向上的概率均为 ，前两次结果不影响第三次的概率，
故第三次正面与反面的可能性相等，D错误．
故选：ACD
10. 四棱锥 的底面为正方形， 平面 ， ， ，动点 在线段 上，
则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 四棱锥 的外接球表面积为
B. 的最小值为
C. 不存在点 ，使得
D. 点 到直线 的距离的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根
据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿 剪开得到平面图，最小值即为 ，根据已知求
出各边边长，进而计算即可得出答案；对于C项，假设存在点 ，建立空间直角坐标系，表示出
的坐标.进而根据 ，得出 ，列出方程解出 的值，即可得出判断；对于
D项，表示出 ，进而根据向量法表示出点 到直线 的距离 .结合二次函数
的性质，即可得出最小值.
【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知 即为该长方体的一条体对角线，
且 .
且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司表面积为 ，故A正确；
对于B项，如图1，将四棱锥沿 剪开得到平面图，连接 ，交 于点 ，
易知 均为直角三角形，且 全等，
且 ， ， ，
则 ，且 ，
即有 ，
所以 ，即 的最小值为 .故B正确；
对于C项，假设存在点 ，使得
如图2，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立 空间直角坐标系.
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
则 ， ， .
设 ， ，
则 .
因为 ，
所以 ，解得 .
故存在点 ，使得 .故C项错误；
对于D项，由已知可得 ， ，
所以点 到直线 的距离 ，
，
，
所以，当 时，点 到直线 的距离的最小值为 .故D正确.
故选：ABD.
11. 已知椭圆 ， 是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正
确的是（ ）
A. 的最大值是4
B. 的最大值是4
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学科网（北京）股份有限公司C. 取最小值时，点 的坐标为
D. 若 也在抛物线 上，则 到点 的最小距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得.
【详解】由 ，得 ，即 .如图：
对于A：由椭圆的定义得 ，当且仅当 时等号
成立，所以A正确；
对于B：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.所以B错误；
对于C：由 ，所以 ，即 ，
当且仅当 ，即 代入 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 有最小值 ，故C正确；
对于D：因为 点在抛物线 上，抛物线的焦点为 ，
根据抛物线的定义， 到点 的距离等于P点到准线的距离 .
因为 ，所以 ，得 ，
所以 到点 的距离 ，
当且仅当 ，即 （负值舍去）时等号成立.故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆 的焦距为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程确定长半轴的平方 ，短半轴的平方 ，根据椭圆中 、 、 的关系 求
出半焦距的平方 ，从而得到半焦距 ，由椭圆的焦距为 计算焦距.
【详解】由椭圆方程 可知，椭圆的焦点在 轴上 因为 ，
其中长半轴的平方 ，短半轴的平方 .
根据椭圆中 、 、 的关系 ，计算得： ，
故 .椭圆的焦距为 ，因此焦距为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13. 教材 页第 题：在空间直角坐标系中，已知向量 ，点 ，点
若直线 经过点 ，且以 为方向向量， 是直线 上的任意一点，求证：
； 若平面 经过点 ，且以 为法向量， 是平面 内的任意一点，求证：
利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面 的方程为
，直线 是平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦
值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据教材习题的结论，分别求得平面 的法向量和直线 的方向向量，再根据线面角的向量求法，
求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】 平面 的方程为 ， 平面 的一个法向量 ，
同理，可得平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的交线的方向向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
14. 已知 ，则 的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，原式化为 ，设
，则 可以看成点
到点 两点的距离之差，可求最大值.
【详解】因为 ，设 ，
，
令 ，则 ，
则上式为 ，
设 ，
点 为双曲线 位于第一象限的点，
可以看成点 到点 两点的距离之差，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 的最大值是 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，求入射光线和反射光线
所在直线的方程；
（2）若直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线 的方程．
【答案】（1）入射光线所在直线的方程为 ，反射光线所在直线的方程为 ；
（2） 或 或 ．
【解析】
【分析】（1）由点 的坐标求得入射光线的方程，进而得到入射光线的斜率，根据对称求得反射光线
的斜率，根据反射光线过点 求得反射光线的方程；
（2）讨论直线 在两坐标轴上的截距等于零和不等于零两种情况，当在两坐标轴上的截距均为零时，设直
线 的方程为 ；当在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线 的方程为 .分别代入点
，可求得直线 的方程．
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司【小问1】设入射光线为 ，反射光线为 ，
光线从点 射出，与 轴相交于点 ，
入射光线 的方程为 ，整理得 ，
入射光线 的斜率 ， 反射光线 的斜率 ，
又 反射光线要经过点 ，
反射光线 的方程为 ，即 .
【小问2】当直线 的截距为 时，设直线 的方程为 .
因为直线 经过点 ，所以 ，所以直线方程为 ，即 ，
当直线 的截距不为 时，设直线 的方程为 ，
则 解得 或 ．
若 ，则直线 的方程为 ，即
若 则直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为： 或 或 ．
16. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字 到 ，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面
上的数字，得到样本空间为 记事件 “得到的点数为偶数”，记事件 “得到的点数不大于 ”，记事
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学科网（北京）股份有限公司件 “得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明： ；
（3）连续抛掷 次这个正八面体，记事件 为第 次抛掷这个正八面体事件 发生，求连续
抛掷 次这个正八面体事件 只发生 次的概率．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意得到正八面体与地面接触的面上的数字，即可求解样本空间；
（2）由题意求出事件 所含的样本点，事件 所含的样本点，事件 所含的样本点，事件 所含的样
本点，利用古典概型概率公式求解即可证明；
（3）结合对立事件概率公式，根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可.
【小问1详解】
因为正八面体八个面分别标以数字 到 ，
任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是 ， ， ， ， ， ， ， ，
所以样本空间 ．
【小问2详解】
事件 所含的样本点为： ，事件 所含的样本点为： ，
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学科网（北京）股份有限公司事件 所含的样本点为： ，
故事件 所含的样本点为： ，所以 ，
又 ，所以 ，
【小问3详解】
依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记 为第 次抛掷这个正八面体发生事件 ，则 ，
所以事件 只发生 次的概率为：
．
17. 已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 ， 是 上的两点．
（1）求 的标准方程；
（2）若 （ 不在直线 上)，证明：直线 过定点．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率及 的值，求出 的值，代入双曲线方程即可.
（2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据 进
行化简，进而求出定点坐标.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以 ，故 的标准方程为 .
【小问2详解】
证明：设直线 的方程为 ， ， .
由 ，得 ，
则 ， ， ，
又 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，直线 ，直线 过点 ，不符合题意，舍去；
当 时，直线 ，则直线 过定点 .
综上，直线 过定点 ．
18. 如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，且 且为
锐角．
（1）求证： ；
（2）当 的值为多少时，能使 平面 ？请给出证明；
（3）若 在底面 的正投影为菱形 的对角线交点，且 ，
求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得；
（2）结合线面垂直性质定理与空间向量线性运算法则计算即可得；
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学科网（北京）股份有限公司（3）利用投影定义结合线面垂直性质定理与空间向量线性运算法则计算可得 与 的数量关系，再
找出平面 与平面 所成角的平面角，结合三角函数定义与同角三角函数基本关系计算即可得.
【小问1详解】
设 ， ， ， ，则 ，
由题意可得 ，
则 ，
故 ，即 ；
【小问2详解】
当 时， 平面 ，证明如下：
设 时， 平面 ，由 平面 ，
则 ， ，
又 ，
， ，
有
，
由 ，则 恒成立，即恒有 ，
有
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故当且仅当 时， 平面 ；
【小问3详解】
取 中点 ，连接 ，由 ，且底面 是菱形，
故点 即为菱形 的对角线交点，且 为等边三角形，
则 底面 ，又 平面 ，则 ，
， ，
则
，
即有 ，则 ，
过点 作 于点 ，则 即为平面 与平面 所成角的平面角，
由 ，则 ，
则 ，则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 公元前 180 年，古希腊数学家狄俄克利斯（ Diocles）独立发明了蔓叶线，其方程为
,如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，
平面内给定圆 和直线 ,从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线 于点A、B,
在射线 上取一点M满足 .
（1）求蔓叶线 的横坐标的取值范围；
在
（2）求证：点M 蔓叶线 上；
（3）已知：直线 与蔓叶线 交于三点 ,记直线 的斜率为 ,直
线 与圆C交于点 ,若 ,求 的值.
参 考 公 式 ： 若 是 一 元 三 次 方 程 的 三 个 根 ， 则 ,
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学科网（北京）股份有限公司, .
【答案】（1）[0,2) （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将蔓叶线方程中的 与 分离，根据 解得 的范围；
（2）依据向量相等的性质得到点 的坐标，再将点 的横坐标代入蔓叶线方程的右边，通过化简计算
与 进行比较，若相等则可证明点 在蔓叶线上；
（3）求 的值，可先由直线 与圆的交点表示 ，得到 ，再结合直线
与蔓叶线交点的三次方程，利用韦达定理和已知的 进行计算.
【小问1详解】
点 不在方程 上，故该式可化为 ，
则 且 ，则 且 ，可得 .
故蔓叶线 的横坐标的取值范围为 .
【小问2详解】
设 ，已知直线 的方程为 ，将其代入圆 的方程 ，
进行整理得
解得 或 ，因为 点不是原点，所以 点横坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司已知 ，设 ，
根据向量坐标运算， ，因为 ，所以
， .
将 代入蔓叶线方程 的右边，得： ，
而 ，
即 ，
点 的坐标满足蔓叶线方程，因此点 在蔓叶线 上.
【小问3详解】
将直线 方程 与圆方程 联立，
得 ，解得 或 （舍去）.
故 ，因此 ，
因此 .
齐次化联立直线 与蔓叶线方程 ，
得到 整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
根据方程联立的意义可知，所得的关于 的一元三次方程的三个根即为 ，
结合韦达定理可知， .
又 ，
=1.
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学科网（北京）股份有限公司
